浙江省義烏市第四中學 方 婷

《數(shù)列的概念與簡單表示》是人教版高中數(shù)學必修5 的第二章第一節(jié)的內(nèi)容，是一節(jié)典型的概念課。這節(jié)課的教學目標是了解數(shù)列的概念，理解數(shù)列的通項公式的概念，會根據(jù)通項公式寫出數(shù)列的前幾項，會根據(jù)前幾項寫出數(shù)列的通項公式，而在這個過程中體現(xiàn)了函數(shù)的數(shù)學思想。因為數(shù)列這個章節(jié)的知識是高中數(shù)學知識的匯合點，又有著廣泛的實際應用，還可進行不少綜合性數(shù)學問題的思維綜合訓練，所以是一個很重要的內(nèi)容。又因為數(shù)列本身的特性，如果能好好把握這節(jié)概念課的教學，可以讓學生非常具象地體會數(shù)學學習的有趣性和實用性，從而提高學習數(shù)學的興趣和信信心。所以筆者上課以后又閱覽了一些論文，結(jié)合課堂教學過程中的學生反饋，利用信息技術對這節(jié)課進行了再設計。

一、課堂實錄

1．引入部分

原課情境1：作為一個天文學家需要有哪些必備的工具？望遠鏡、天文地理知識，還有數(shù)學知識。（PPT 顯示表格，并作簡單解釋）

水星 金星 地球 火星 木星 土星觀測值 0.387 0.723 1 1.52 5.203 9.839

按照這個規(guī)律，火星和木星之間存在一個空缺，于是推測這個地方應該還有一個行星。但是對于這個規(guī)律的懷疑還是存在的，直到1800 年1 月1 日，意大利天文學家皮亞齊發(fā)現(xiàn)了谷神星，距離為2.77。

原課情境2：形數(shù)理論。畢達哥拉斯學派的三角形數(shù)和正方形數(shù)（PPT 顯示），讓學生數(shù)出相對應的小石子的個數(shù)，并且預測接下去的兩個圖形和石子數(shù)，然后順勢歸納第n 堆的石子數(shù)的個數(shù)。

教師總結(jié)：對于數(shù)字分布規(guī)律的研究是有必要的，為了方便表述，我們給研究對象（一列一列的數(shù)字起個名字），這一列數(shù)……

2．新課概念

先讓學生根據(jù)老師的總結(jié)提示語歸納出數(shù)列的概念（按照一定順序排列的一列數(shù)），然后老師介紹“項”“首項”“第n 項”的概念及其符號表示和數(shù)列的一般形式。PPT 顯示思考題與例1，讓學生回答。

師：數(shù)列的分類按項數(shù)分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項之間的大小關系分遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列、常數(shù)列等，把上述數(shù)列分類并猜測這些數(shù)列的第n 項。

師：如果數(shù)列｛an｝的第n 項與序號n 之間的關系可以用一個公式（表達式）來表示，那么這個公式就叫作這個數(shù)列的通項公式。試寫出例1 中的通項公式。（點出并不是所有的數(shù)列都是有規(guī)律的和通項公式的）

練習：觀察下列數(shù)列，寫出它們的通項公式：（1）3，5，7，9，11……；（2）7，3，-1，-5，-9；（3）0，0，0，0，0，0……；（4）2，-2，2，-2，……

例1 （1）某數(shù)列的前幾項為2，5，8，11，……，則32 是這個數(shù)列的第幾項？（2）根據(jù)下列通項公式，求各數(shù)列的前4 項：，an=cos（nπ）。

師：同一個數(shù)列的通項公式未必唯一，也可能不存在。

練習：黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖規(guī)律拼成若干個圖案：

（1）第4 個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是 ______；

（2）第n 個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是 ______。

3．提升貫通

利用PPT 復習函數(shù)的概念，引導學生理解數(shù)列的函數(shù)特性。同時對比函數(shù)的3 種表示法，體會數(shù)列的表示法，理解其在圖像上是離散的點。

例2 已知數(shù)列｛an｝的通項公式是，試判斷0.1，是不是數(shù)列中的項？如果是，分別是第幾項？

4．小結(jié)鞏固

師：本節(jié)課我們主要學習了數(shù)列的概念、表示、通項公式和函數(shù)性。

二、教學反思之再修改

這節(jié)課上，學生的參與度和積極性對比其他知識點高了很多，作業(yè)完成的正確率和效率都很高?；谶@樣的反應，讓我覺得這節(jié)課還可以在“玩”上面再增加比重，讓學生充分體會數(shù)學是好玩的、實用的。要對效率提出更高要求——幸運的是，我們學校普及了平板教學。

修改1：對于“原課情境1”的最后，其實還有兩個故事點。（可以百度）一個是發(fā)現(xiàn)推動了數(shù)學（高斯為此推出了數(shù)學公式），另一個就是數(shù)學應用與發(fā)現(xiàn)（奧伯斯再次找到了谷神星）。這樣的故事有跌宕轉(zhuǎn)折，也有深意，更體現(xiàn)了數(shù)學的神奇。

但是這個故事講長了，在課堂上容易控制不住時間，所以不如做成4 分鐘的微課，在上課之前（也可以周末）直接發(fā)送給學生觀看。保留關鍵PPT 內(nèi)容，方便抄出相關數(shù)據(jù)為后續(xù)數(shù)列的定義引入做好鋪墊。

修改2：在“原課情境2”之前，再做一個游戲：11 個同學圍成一個圈，定好每個人的順序，從2 號同學開始重復報數(shù)，報到3 的同學退出圈子回座位，最后剩下的兩位同學獎勵接下來1 個月衛(wèi)生值日全部跳過。

與切身利益相關，學生一定會很興奮，這時可以提一句海格西普斯的著作里猶太人約瑟夫憑借這樣的巧思而挽救了自己的性命，同時把這個數(shù)列抄出在黑板上。

這個游戲預計需要7 分鐘（組織，解釋規(guī)則，玩起來），但是這個游戲可能有持續(xù)的影響，學生可能沉浸其中不能自拔，建議這時在下課結(jié)束前再作為一個思考題，比如有沒有某個數(shù)一定可以逃避值日，或者滿足什么樣的條件一定可以逃避值日，讓學生進一步感受數(shù)字游戲的有趣，同時繼續(xù)“原課情境2”的內(nèi)容。

修改3：在新課概念部分的中間，關于通項公式的練習有點拖沓，例3 之前的練習可以省略幾個。

修改4：在提升貫通部分，復習函數(shù)定義后，讓學生平面直角坐標系中找出例1 后的練習（2）中對應的點，其中橫坐標表示項數(shù)，縱坐標表示第幾項的值（如圖），引導學生理解數(shù)列是特殊的函數(shù)。利用函數(shù)的三要素來分析數(shù)列，同時還可以利用函數(shù)圖像的性質(zhì)推斷數(shù)列的走勢，這樣更具直觀性。

修改5：在最后還可以給出數(shù)學史中一些古老的數(shù)學問題，比如萊因紙草書上7 人7 屋7 鼠7 貓的問題；斐波那契數(shù)列；古印度發(fā)明國際象棋的故事；九連環(huán)的拆解步驟：《周髀算經(jīng)》中的“七衡圖”：《九章算術》中衰分章、均輸章之類的題目，例如盈不足術；又或《張丘建算經(jīng)》卷上第 22 題等。這些分別制作成幾個小視頻和文檔，發(fā)送給學生拓展，并為了后面要學到的等差、等比數(shù)列做鋪墊。

本節(jié)課是一個概念課，應該讓它慢下來、“肥”起來、讓數(shù)學文化深入其中，讓學生感受數(shù)學的美，感覺到數(shù)學是有用的有趣的，從而更加努力地投入到數(shù)學學習中去。