黎椏娟，葉瑞松

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

0 引言

隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和多媒體的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)傳輸和交流變得越來(lái)越重要，并且圖像在網(wǎng)絡(luò)中的分享與傳輸變得越來(lái)越流行.因此，信息安全問(wèn)題成了一個(gè)緊要的問(wèn)題，由于數(shù)據(jù)容量大、冗余度高、相鄰像素之間的相關(guān)性強(qiáng)，傳統(tǒng)的加密算法如DES 和AES 已經(jīng)不適用于圖像加密[1-2]，因此許多研究者開(kāi)始尋求一種既高效又安全的圖像加密算法，1989年，Matthews 首次提出基于混沌系統(tǒng)的加密方案[3].1997年，F(xiàn)ridrich 將混沌映射應(yīng)用到圖像加密系統(tǒng)[4].1998年，F(xiàn)ridrich 利用2D 混沌系統(tǒng)提出置亂-擴(kuò)散結(jié)構(gòu)的圖像加密方案[5]，在這種結(jié)構(gòu)下，為了減少相鄰像素之間的強(qiáng)相關(guān)性，首先在置換過(guò)程中對(duì)像素位置進(jìn)行擾亂.之后，在擴(kuò)散過(guò)程中像素值逐一改變，后一個(gè)值與前一個(gè)值相關(guān)，前后擴(kuò)散兩輪，類(lèi)似雪崩效應(yīng).現(xiàn)有的圖像加密算法中，此結(jié)構(gòu)占據(jù)很大部分[6-10].

為了提高圖像安全，研究者提出了許多有效的加密系統(tǒng)，如DNA 加密[10-11]，混合圖像加密[12]，利用小波，卷積變換等加密算法[13-14]等等，在這些算法中，混沌序列的應(yīng)用最為廣泛[9-13，15-17]，這歸功于混沌映射的一些固有性質(zhì)如對(duì)初始值敏感，不可預(yù)測(cè)性，以及周期性，這些性質(zhì)恰好能在圖像加密中得到較好的應(yīng)用[4].下面將介紹一些應(yīng)用混沌映射加密的算法.文獻(xiàn)[14]，第一次提出將圖像濾波應(yīng)用在圖像加密算法中，它是基于圖像塊的置亂和圖像濾波擴(kuò)散的算法，最后的性能分析顯示其加密效果很好.文獻(xiàn)[15]，基于級(jí)聯(lián)調(diào)制耦合（CMC）模型提出一種新的2D Logistic ICMIC 耦合映射（2D-LICM），比起參數(shù)較少，軌道相對(duì)而言較簡(jiǎn)單的一維混沌映射，它的效果會(huì)更加優(yōu)良[16].文獻(xiàn)[10]，提出自適應(yīng)性DNA 隨機(jī)加密算法，一般而言傳統(tǒng)的DNA 加密算法，它的DNA 編碼規(guī)則是固定的，因此可能會(huì)泄露明文信息，讓攻擊者有機(jī)可乘，而本文采用的是動(dòng)態(tài)編碼規(guī)則，即DNA 編碼規(guī)則是由獨(dú)立的隨機(jī)序列控制.本文的性能分析顯示，算法具有較高的安全性.文獻(xiàn)[17]，利用塊圖加密，首先將原圖切分成很多子塊，先對(duì)子塊分別加密，再組合，與之相似的有文獻(xiàn)[12]，[12]的不同之處在于它是讀入很多個(gè)原圖，將這些原圖，均分成子塊，對(duì)這些子塊全部混合加密，輸出一系列密圖.文獻(xiàn)[18]，提出在位平面上加密，將位平面分割成多個(gè)3D 小方塊，用Chua 系統(tǒng)產(chǎn)生置亂過(guò)程的密鑰，將密鑰應(yīng)用于3D 布朗運(yùn)動(dòng)中，然后對(duì)位平面的3D 小方塊進(jìn)行加密，復(fù)雜度比較高.

本文設(shè)計(jì)了一種新的二維混沌映射，通過(guò)對(duì)它的Lyapunov 指數(shù)曲線(xiàn)變化圖，分岔圖以及時(shí)間序列進(jìn)行分析，可以看出它表現(xiàn)出較好的混沌性能，然后將此二維映射應(yīng)用在自適應(yīng)性圖像加密算法中.在置亂階段，僅改變圖像像素的位置，并在此階段計(jì)算出圖像的特征，將此特征應(yīng)用在擴(kuò)散階段，因此，不同的原圖將為擴(kuò)散算法產(chǎn)生不同的特征，達(dá)到擁有更強(qiáng)的抵抗選擇明文或已知明文攻擊的能力.

余下的部分由以下幾個(gè)章節(jié)組成，第一節(jié)，主要介紹了新混沌映射的構(gòu)造.第二節(jié)，重點(diǎn)分析了新映射的動(dòng)力學(xué)性能，第三節(jié)，介紹了基于新混沌映射的自適應(yīng)性圖像加密算法，第四節(jié)，對(duì)本文提出的加密算法進(jìn)行了相關(guān)的性能分析，如密鑰分析、敏感性分析、統(tǒng)計(jì)分析等等，第五節(jié)給出全文的總結(jié)，基于所有仿真實(shí)驗(yàn)分析，本文所提出的算法，在數(shù)字圖像加密中具有較好的性能.

1 構(gòu)造新的混沌映射

考慮動(dòng)力系統(tǒng){R2；f}，其中f：R2→R2定義為

該動(dòng)力系統(tǒng)與迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS{R2；W1，W2，W3}有關(guān)，其中

當(dāng)a＝0.5，b＝0.5 時(shí)，此迭代函數(shù)系統(tǒng)的吸引子就是頂點(diǎn)在（0，0），（0，1），（1，0）的Sierspinski 三角形（如圖1），而這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng){R2；f}和IFS 之間的聯(lián)系就是伴隨迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS 的位移動(dòng)力系統(tǒng){Δ；f}，其中Δ 表示Sierspinski 三角形，于是可將f（x，y）重寫(xiě)為

f（x，y）將Δ 映射到自身，{R2；f}是{Δ；f}的擴(kuò)展.再將f 離散化，拓展為：[0，1]2→[0，1]2，具體如公式（4）所示，其中a∈（0，1），b＞0.

圖1 Sierspinski 三角形

2 映射f的性能分析

本節(jié)將對(duì)新構(gòu)造的映射（4）進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性質(zhì)分析，包括Lyapunov 指數(shù)曲線(xiàn)變化圖，它的分岔圖以及時(shí)間序列分析.

圖2 是f 的Lyapunov 指數(shù)變化曲線(xiàn)圖，通過(guò)取定初始值和參數(shù)b，控制a 的變化得到相應(yīng)的Lyapunov 指數(shù)圖，從圖中可以看出在a∈[0.45，1]時(shí)，f 的Lyapunov 指數(shù)均大于0，從而可以說(shuō)明本文提出的f 的結(jié)構(gòu)在參數(shù)區(qū)間上是混沌的.

一個(gè)混沌系統(tǒng)的分岔圖可以直觀地觀察到其動(dòng)力學(xué)行為演化的過(guò)程，圖3 畫(huà)出了f 的分岔圖，可以看出它幾乎充滿(mǎn)整個(gè)相平面，從而說(shuō)明混沌性能優(yōu)良，產(chǎn)生的序列很難被預(yù)測(cè)，這對(duì)于圖像加密算法而言，是比較有利的.

時(shí)間序列分析是對(duì)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的時(shí)間序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行研究分析，尋找其變化規(guī)律，從而判斷對(duì)未來(lái)的情況進(jìn)行預(yù)測(cè)、決策和控制的可能性大小.為了更進(jìn)一步說(shuō)明映射f 所產(chǎn)生的混沌序列具有較好的隨機(jī)性質(zhì)和不可預(yù)測(cè)性，本文測(cè)試了映射f 產(chǎn)生時(shí)間序列的相關(guān)性，其中自相關(guān)性系數(shù)和互相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)主要的度量指數(shù)[11].對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列x＝{x（0），x（1），x（2），…，x（N－1）}，y＝{y（0），y（1），y（2），…，y（N－1）}，它們延遲k 階的互相關(guān)性系數(shù)（crosscorr）和延遲k 階的自相關(guān)系數(shù)（autocorr）的數(shù)學(xué)公式定義分別如下：

mean（x）是序列x的算術(shù)平均值.圖4 是映射f 兩個(gè)變量的偽隨機(jī)序列變化圖，圖5是映射f 產(chǎn)生偽隨機(jī)序列的自相關(guān)性和互相關(guān)性測(cè)試結(jié)果.從測(cè)試結(jié)果可以看到，混沌序列的自相關(guān)和互相關(guān)性均在0 上下波動(dòng)，這說(shuō)明映射f 產(chǎn)生的序列具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，因而具有不可預(yù)測(cè)性等好的密碼特性，特別適合用于設(shè)計(jì)加密算法.

圖2 f的Lyapunov 指數(shù)變化圖

圖3 f的分岔圖

圖4 （a）-（b）分別是映射f的x，y 時(shí)間序列變化圖.

圖5 （a）-（c）分別為映射f 時(shí)間序列的自相關(guān)性和互相關(guān)性測(cè)試結(jié)果.

3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖6 為整個(gè)系統(tǒng)的加密過(guò)程.首先，輸入明文p，混沌系統(tǒng)f的兩套參數(shù)a1＝0.45，b1＝0.8，a2＝0.651，b2＝0.78 和初始值x0＝0.454 272 34，y0＝0.625 128 33，然后計(jì)算明文p的特征：

并更新初始值和參數(shù)值：

再對(duì)混沌系統(tǒng)f 進(jìn)行迭代，迭代所產(chǎn)生的序列即與明文相關(guān)，最后對(duì)圖像進(jìn)行置亂-擴(kuò)散操作，詳細(xì)的加密過(guò)程展現(xiàn)在算法1 中.

4 仿真實(shí)驗(yàn)和性能分析

我們采用MatlabR2016a 對(duì)本文提出的圖像加密算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，本文實(shí)驗(yàn)圖像均來(lái)自于文獻(xiàn)[13]提到的圖像數(shù)據(jù)庫(kù)，我們分別對(duì)Boat，Man，Elaine 用本文提出的算法進(jìn)行加密，它們的圖像尺寸均為512×512，密鑰分別采用x0＝0.454 272 34，y0＝0.625 128 33，a1＝0.45，b1＝0.8，a2＝0.651，b2＝0.78，K＝1 000.其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7，從解密加密圖中可以看出，所有密文呈現(xiàn)雜亂無(wú)章且無(wú)明顯紋理，直觀上說(shuō)明我們的算法加密效果可行.

算法1：圖像加密

輸入：明文P，混沌系統(tǒng)f 初始值x0＝0.454 272 34，y0＝0.625 128 33，和參數(shù)a1＝0.45，b1＝0.8；a2＝0.651，b2＝0.78，參數(shù)K，iter＝100 000

輸出：密圖C

1.按（7）～（9）更新初始值，和參數(shù)a1，b1；

2.系統(tǒng)f 迭代iter 次，得到序列x1，iter，y1，iter，然后從x，y 分別取M，N 個(gè)值，為了避免瞬態(tài)效應(yīng)，應(yīng)丟棄前K 個(gè)值，即x＝x（K:K＋M－1），y＝y(tǒng)（K:K＋N－1）；

3.計(jì)算移位參數(shù)L＝floor（sum（x）×105）mod 256，并將x，y 按升序排序，根據(jù)值在原始x，y 中的位置可以得到下標(biāo)向量X，Y；

4.初始化矩陣BM，N，DM，N，CM，N，M，N 表示矩陣的大小；

5.for i＝1:M

6.for j＝1:N

7.B（i，j）＝P（X（i），Y（j））；置亂圖像像素位置；

8.if j－L≥1

9.D（i，j－L）＝B（i，j）；移位

10.else

11.D（i，j－L＋N）＝B（i，j）；

12.end

13.end

14.end

15.利用更新前的初始值x0，y0和a2，b2 再對(duì)系統(tǒng)f 迭代iter 次，得到序列x1，y1；

16.取x1＝x1（K:K＋M*N－1），y1＝y(tǒng)1（K:K＋M*N－1），并且得到X1：x1＝reahspe（x1，M，N），X1＝floor（x1×1014）mod 256，floor 表示向下取整，mod 表示取余，sum 表示求和；

17.擴(kuò)散算法：

18.C（i，j）＝D（1，1）＋X1（1，1）＋sumx1＋sumy1mod 256；

19.for j＝2:N

20.C（1，j）＝D（1，j）＋X1（1，j）＋C（1，j－1）mod 256；

21.end

22.for i＝2:M；

23.C（i，1）＝D（i，1）＋X1（i，1）＋C（i－1，1）mod 256；

24.end

25.for i＝2: M

26.for j＝2:N

27.C（i，j）＝D（i，j）＋X1（i，j）＋C（i－1，j）＋C（i，j－1）mod 256

28.end

29.end

4.1 統(tǒng)計(jì)分析

本節(jié)將通過(guò)直方圖、相鄰像素之間的相關(guān)性和信息熵來(lái)評(píng)估算法抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊的能力[19].

4.1.1 直方圖分析 圖像的直方圖反映了一副圖像像素值的分布情況，為了對(duì)抗統(tǒng)計(jì)分析的強(qiáng)力攻擊，圖像的直方圖最好是接近完全一致分布的，且與原圖的直方圖相比具有顯著差異[15]，圖7 中的（d）～（f），（j）～（l）分別表示三幅原圖像的直方圖，和加密后的直方圖，直觀上可以看出，加密圖像的直方圖是接近完全一致分布的，且與原圖具有顯著差異，所以這個(gè)算法足夠?qū)菇y(tǒng)計(jì)分析的強(qiáng)力攻擊.

4.1.2 像素間的相關(guān)性分析 一般地，數(shù)字圖像具有異于文本的一些固有特性如數(shù)據(jù)的高度冗余、相鄰像素的相關(guān)性非常強(qiáng)等，攻擊者往往利用這些特性對(duì)密文圖像進(jìn)行攻擊，所以一個(gè)理想的圖像加密算法應(yīng)該產(chǎn)生在水平、垂直、正對(duì)角方向上的相鄰像素點(diǎn)間相關(guān)性都比較弱的密文圖像[20].

圖6 圖像密碼系統(tǒng)流程圖

設(shè)從需要考察的圖像中任取N 對(duì)相鄰的像素點(diǎn)，記它們的灰度值（ui，vi）i＝1，2，…，N，則向量u＝{ui}和v＝{vi}間的相鄰系數(shù)計(jì)算公式如下：

在實(shí)驗(yàn)分析中，我們將從明文Man 及其密圖中分別隨機(jī)選取5 000 對(duì)像素，分析它們?cè)谒?、垂直、?duì)角方向的相關(guān)性，結(jié)果顯示如圖8，由圖可知明文圖像在各個(gè)方向上的相鄰像素點(diǎn)對(duì)密集在y＝x 直線(xiàn)上，而密文圖像在各個(gè)方向上的相鄰像素點(diǎn)對(duì)在矩陣為（255，255）區(qū)域內(nèi)均勻散布著，說(shuō)明明文圖像在各個(gè)方向上具有頗強(qiáng)的相關(guān)性，而密文圖像在各個(gè)方向上的相關(guān)性很弱.同時(shí)我們計(jì)算了Boat，Man，Elaine的相關(guān)性系數(shù)，結(jié)果顯示在表1.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明明文圖像相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性比較高，而密文圖像相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)接近于0，近似無(wú)相關(guān)性（兩個(gè)獨(dú)立不相關(guān)的序列的相關(guān)系系數(shù)理論值為0）.

圖7 （a）～（c）分別為Boat, Man, Elaine的原圖;（d）～（f）是（a）～（c）的直方圖;（g）～（i）是（a）～（c）的加密圖;（j）～（l）是（g）～（i）的直方圖;（m）~（o）是（g）~（i）的解密圖;

4.1.3 圖像信息熵分析 信息熵是反映一個(gè)信息源的隨機(jī)性和不可預(yù)測(cè)性的數(shù)學(xué)概念.對(duì)于數(shù)字圖像來(lái)說(shuō)，信息熵反映了圖像信息的不確定性.一副圖像如果有L 種灰度值mi（i＝0，1，2，…，L－1），且各灰度值出現(xiàn)的概率分別p（mi）（i＝0，1，2，…，L－1），則根據(jù)Shannon 定理，圖像的信息量為：

稱(chēng)H為圖像的信息熵，當(dāng)圖像中各灰度值出現(xiàn)的概率相等時(shí)，圖像的信息熵最大，信息熵表示一副圖像所包含信息的多少，信息熵可以度量灰度值的分布，對(duì)于理想的隨機(jī)圖像，其信息熵等于8[14]，本文分別計(jì)算了Boat，Man，Elaine的信息熵，及其相應(yīng)密文的信息熵，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示，由表2中數(shù)據(jù)可看出，各個(gè)密文圖像的信息熵接近于理論值8，而各個(gè)明文圖像與理論值有明顯差異.

根據(jù)文獻(xiàn)[21]提出的Local Shannon entropy（LocSE）從局部觀點(diǎn)測(cè)試一副圖像的隨機(jī)性.它對(duì)不同的尺寸的圖像有效且公平.從一副圖像中隨機(jī)選取k 個(gè)不重疊的圖像塊S1，S2，…，Sk，共有TB個(gè)像素，則LocSE的定義如下：

H（Si）可以利用（14）計(jì)算.根據(jù)參考文獻(xiàn)給出的參考值，本文中取k＝30，TB＝1 936，α＝0.05，則Hleft＝7.901 901 309，Hright＝7.903 037 329，計(jì)算結(jié)果顯示在表3，計(jì)算得到的結(jié)果均在Hleft，Hright之間，這意味著本文提出的算法可以將各種不同的明文圖像加密成隨機(jī)密文圖像.

圖8 （a），（b），（c）分別為明文和密文在水平、垂直和對(duì)角方向像素的分布

表1 明文與其密文分別在水平、垂直和對(duì)角方向上的相關(guān)系數(shù)

4.2 密鑰空間

密鑰空間是指所有合法密鑰構(gòu)成的集合，圖像密碼系統(tǒng)的密鑰空間應(yīng)該足夠大，從而可以有效地對(duì)抗窮舉攻擊，特別是加密解密速度非?？斓拿艽a系統(tǒng)，密碼長(zhǎng)度至少應(yīng)該為128b[14]，本文所提出的加密算法有7 個(gè)密鑰：x0，y0，a1，b1，a2，b2，K，其中x0，y0，a1，b1，a2，b2 均在0 和1 之間，設(shè)計(jì)算機(jī)精度為10－14，圖像大小為512×512，K＝103，則整個(gè)密鑰空間至少約為這個(gè)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于128b，這意味著我們的算法能夠經(jīng)受得住暴力破解.

表2 信息熵實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表3 不同圖像的LocSE 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.3 密鑰敏感性

為了保證系統(tǒng)的安全性，一個(gè)優(yōu)良的加密系統(tǒng)必須對(duì)密鑰極端敏感，即當(dāng)使用不同的密鑰對(duì)密碼圖像進(jìn)行解密時(shí)，將得不到明文.在實(shí)驗(yàn)中，我們將用密鑰key 去加密Man，得到密圖，而用幾個(gè)與key 差別極其微小的密鑰去解密密圖，如果系統(tǒng)足夠敏感的話(huà)，是無(wú)法得到明文的，圖9 展示了密鑰敏感性測(cè)試，同時(shí)，表4 展示了用key1～key7 解密圖與用key 加密的密圖之間的NPCR 和UACI.

表4 用極小差別密鑰解密的圖片與密文的NPCR 和UACI

圖9 加密敏感性測(cè)試：（a）～（f）分別為用key 和key1～key7 去解密key 所產(chǎn)生密文得到的明文

4.4 差分分析

在圖像加密系統(tǒng)中，差分分析指探究在相同加密密鑰的條件下，密文圖像會(huì)在多大程度上受明文圖像的影響，攻擊者通常通過(guò)選擇明文分析或選擇密文分析來(lái)實(shí)現(xiàn)差分攻擊，為了測(cè)試加密系統(tǒng)對(duì)明文的極端敏感性，采用兩個(gè)常用的度量：不同密文圖像之間的像素改變率（number of pixels change rate，NPCR）和不同密文圖像之間的一致改變強(qiáng)度（unified averagechanging intensity，UACI），NPCR 是用來(lái)比較兩幅圖像相應(yīng)位置的像素點(diǎn)的值，記錄不同的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)占全部像素點(diǎn)的比例，而UACI 則是比較兩幅圖像相應(yīng)位置的像素點(diǎn)的值，記錄它們的差值，然后計(jì)算全部相應(yīng)位置像素點(diǎn)的差值與最大差值（即255）的比值的平均值.它們的數(shù)學(xué)定義如下：

這里W，H 分別是矩陣圖像的行數(shù)和列數(shù)，c1（i，j），c2（i，j）分別是對(duì)應(yīng)于兩副微小差別圖像用同一個(gè)密鑰加密的密圖像素點(diǎn)的值.理論上來(lái)說(shuō)兩幅隨機(jī)圖像的NPCR，UACI 理論期望值分別約為99.609 4%，33.463 5%，本文將用Man 和Boat 來(lái)完成差分實(shí)驗(yàn)，對(duì)于每一個(gè)實(shí)驗(yàn)圖片，將隨機(jī)選取1 000 個(gè)像素點(diǎn)，每次改變一個(gè)像素值，得到一個(gè)新的圖像，然后用同樣的密鑰去加密兩個(gè)原圖，這兩個(gè)原圖之間只相差一個(gè)像素值，結(jié)果呈現(xiàn)在表5，6 以及圖10，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的算法所得的NPCR，UACI 值極其地接近期望值，這表明本文算法達(dá)到一個(gè)優(yōu)良的擴(kuò)散性能，它對(duì)原文非常敏感.所以它能夠抵抗差分攻擊.

表5 不同明文的NPCR

表6 不同明文的UACI

圖10 只改變一個(gè)像素值的1 000 張圖片的NPCR 和UICA.

5 總結(jié)

本文提出基于一種新的二維混沌映射的自適應(yīng)性圖像加密算法.首先本文設(shè)計(jì)了一種新的二維混沌映射，對(duì)其混沌學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了全方位的分析，其展現(xiàn)出較好的混沌學(xué)性質(zhì)，將其應(yīng)用在加密算法中.然后，將本文加密算法分為置亂和擴(kuò)散兩部分，為了加強(qiáng)抵抗選擇明文或已知選擇明文攻擊，在置亂階段，計(jì)算出圖像特征，將此特征應(yīng)用在擴(kuò)散階段，從而不同的原圖將為擴(kuò)散算法產(chǎn)生不同的特征.最后有關(guān)本文提出算法的重要安全性能分析被提出，包括密鑰分析、敏感性分析和統(tǒng)計(jì)分析等，所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明，本文提出算法具有較強(qiáng)的魯棒性，因而具有一定的應(yīng)用價(jià)值.