摘要：一道求三角形邊長的幾何計算題，經(jīng)過三角形一邊的中點或三角形的頂點作平行線構(gòu)造相似三角形求解，能達(dá)到化未知為已知，化難為易的目的.本文給出該題的八種解法.

關(guān)鍵詞：中點;頂點;平行線;相似三角形

近日，教學(xué)中遇到一道已知三角形的中線、角平分線長，求三角形邊長的幾何計算題.因直接求解非常困難，故想到了添加輔助線.經(jīng)過仔細(xì)觀察圖形，排除圖形干擾[l]，發(fā)現(xiàn)此題可以通過巧作平行線，構(gòu)造相似三角形，進(jìn)而運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識求解.現(xiàn)摘錄其中的八種解法，供讀者參考.

題目如圖1，已知AD、BE分別是AABC的中線和角平分線，ADIBE，垂足為點F，AD =BE =4，求AC的長.

1 過AABC邊BC的中點D作平行線構(gòu)造相似三角形求解

評注 此解法首先通過△ABF≌△DBF，得到AF= DF =2.然后，過△ABC邊BC的中點D作BE的平行線，巧妙地構(gòu)造了兩對相似三角形：△CDG∽△CBE.△AFE∽ △ADG.運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，不但順利得到AC與AE間的數(shù)量關(guān)系，還求出了EF的長，這就為運(yùn)用勾股定理求AE的長創(chuàng)造了重要條件.求出AE的長，旋即得到AC的長.

解法2 如圖2，過點D作DH//CA交BE于點H.

由DH//CA，得△BDH∽ △BCE.

評注 此解法過△ABC邊BC的中點D作AC的平行線后，巧妙地構(gòu)造了一對相似三角形和一對全等三角形（相似三角形的特例）：△BDH∽△BCE，△AEF：△DHF.運(yùn)用相似三角形、全等三角形的性質(zhì)，順利得到AC與AE間的數(shù)量關(guān)系以及EF的長.運(yùn)用勾股定理求出AE的長，旋即得到AC的長.

2 經(jīng)過AABC的各個頂點作平行線構(gòu)造相似三角形求解

解法3 如圖3，過點C作CM//BE交AD的延長線于點M.

評注 對于解法3-解法7，就構(gòu)圖而言，解法3是過AABC的頂點G作BE的平行線，巧妙地構(gòu)造了一對全等三角形（相似三角形的特例）和一對相似三角形：△BFD∽△CMD，△AEF∽△ACM;

解法4是過AABC的頂點C作AD的平行線，巧妙地構(gòu)造了兩對相似三角形：△BDF∽△BCN，△AEF∽△CEN;

解法5是過AABC的頂點A作BE的平行線，巧妙地構(gòu)造了兩對相似三角形：△DBF∽△DPA，△CEB∽△ACAP：

解法6是過AABC的頂點A作BC的平行線，巧妙地構(gòu)造了一對全等三角形和一對相似三角形：△AFQ≌△DFB，△AQE∽△CBE;

解法7是過AABC的頂點B作AC的平行線，巧妙地構(gòu)造了一對全等三角形和一對相似三角形：△ACD≌△RBD.△AEF∽△RBF.

以上各種解法，運(yùn)用相似三角形、全等三角形的性質(zhì)后，都比較順利地得到了AC與AE間的數(shù)量關(guān)系以及EF的長.再運(yùn)用勾股定理求出AE的長，旋即得到AE的長.

解法8 如圖8，過點B作BS//AD交CA的延長線于點S，則∠SBE= ∠AFE =90°.

評注 解法8是過AABC的頂點B作AD的平行線，巧妙地構(gòu)造了兩對相似三角形：△CAD∽△CSB，△EAF∽ △ESB.先由前一對相似三角形，運(yùn)用性質(zhì)得到AC =AS以及SB的長;再運(yùn)用勾股定理求出ES的長;之后，由后一對相似三角形，運(yùn)用性質(zhì)得到EA的長，這樣，AS的長便唾手可得，旋即得到AE的長.

實踐表明，作平行線構(gòu)造相似三角形是解決此類問題的常用方法.運(yùn)用這種方法，建立了未知量和已知量之間的關(guān)系，達(dá)到了化未知為已知，化難為易的目的.一題多種解法，不但能體會作輔助線的好處，還能培養(yǎng)思維的發(fā)散性、廣闊性和深刻性[2]，從而提升靈活解題和創(chuàng)新解題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬先龍.構(gòu)造“K型圖”速解題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2014（10）：43 - 44.

[2]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.