馬 健，魏子卿，任紅飛

1. 地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安 710054； 2. 西安測繪研究所，陜西 西安 710054； 3. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001

Stokes/Hotine積分是計算(似)大地水準面的理論工具[1-6]。Stokes/Hotine積分理論上需要全球積分，但由于全球重力數(shù)據(jù)難以獲取，且全球積分計算量較大，因此實際計算通常使用移去恢復(fù)技術(shù)，此時邊值解算僅需進行近區(qū)Stokes/Hotine積分。為了減弱遠區(qū)影響、提高(似)大地水準面的解算精度，出現(xiàn)了眾多核函數(shù)的修正方法。核函數(shù)修正方法可分為確定性修正與隨機性修正兩類。確定性修正理論包括有Meissl方法[7]、Molodensky方法、Sj?berg方法[8]、Wong和Gore方法等[9-10]，隨機性修正需將模型重力數(shù)據(jù)和實測重力數(shù)據(jù)的誤差階方差作為先驗信息，而實測數(shù)據(jù)的誤差階方差信息很難獲取，限制了隨機性修正方法的應(yīng)用[11]。

使用移去恢復(fù)技術(shù)時需選定一個模型重力場作為參考場，因此Stokes/Hotine積分中包含了實測重力和模型重力兩類重力數(shù)據(jù)。重力測量、水準測量、地形歸算[12-13]、格網(wǎng)化[14]等使Stokes/Hotine積分中的實測重力數(shù)據(jù)存在一定的長波誤差[15]，而重力場模型的長波精度較高(satellite-only衛(wèi)星重力場模型的前20階已達到非常高的精度[16-17])，因此Stokes/Hotine積分時，應(yīng)選擇對實測重力數(shù)據(jù)具有高通濾波屬性的積分核函數(shù)。截斷核函數(shù)(the spheroidal kernel，由標準核函數(shù)除去一定階數(shù)的Legendre多項式得到)是一種非常有效的高通濾波器[18]，可有效地避免實測重力數(shù)據(jù)的長波誤差傳播到(似)大地水準面中，因此在基于移去恢復(fù)的邊值解算中應(yīng)用較為廣泛。但模型重力數(shù)據(jù)的累積誤差隨著模型階數(shù)的增加而增大，而實測重力數(shù)據(jù)的中高頻誤差相對較小，因此為了獲得高精度的(似)大地水準面不宜過濾過多頻段的實測重力信息。

傳統(tǒng)積分核函數(shù)的研究主要為了減小遠區(qū)截斷誤差，但在移去恢復(fù)模式下，積分核對邊值解算精度的影響方式發(fā)生了轉(zhuǎn)變：在高頻波段(大于模型重力場截止階數(shù)的頻率波段)，核函數(shù)決定了高頻遠區(qū)截斷誤差的大小以及譜泄露的程度；在低頻波段(小于模型重力場截止階數(shù)的頻率波段)，核函數(shù)決定了實測與模型兩類重力數(shù)據(jù)對低階高程異常/大地水準面高的貢獻率。因此，在移去恢復(fù)模式中核函數(shù)的研究應(yīng)分高頻和低頻兩個頻段展開。

Stokes積分核與Hotine積分核[19-21]具有相似的頻譜特性，Stokes核函數(shù)理論可方便地應(yīng)用于Hotine積分核，反之亦然。根據(jù)Stokes-Helmert理論方法構(gòu)建的加拿大重力大地水準面CGG2010[22]使用了高低階均修正的截斷Stokes核函數(shù)。本文以Hotine積分核為例在其基礎(chǔ)上提出了更加高效的低階修正的截斷核函數(shù)，不僅包括余弦低階修正核函數(shù)，還構(gòu)造了一種線型低階修正核函數(shù)。本文首先對擴展Hotine核函數(shù)展開頻譜分析，然后根據(jù)Hotine-Helmert理論方法使用不同的Hotine核函數(shù)解算了試驗區(qū)的似大地水準面，以驗證不同Hotine核函數(shù)的應(yīng)用效果。

1 Hotine截斷核函數(shù)

在移去恢復(fù)模式下，使用傳統(tǒng)截斷Hotine核函數(shù)計算高程異常(高程異常為似大地水準面到參考橢球面的距離)的算法公式為

(1)

式中，ζ為高程異常；ζM為模型高程異常；C1為Hotine的近區(qū)積分范圍；R為地球平均半徑；r為計算點的地心向徑；γ為地面點的正常重力；ψ為流動點與計算點間的球心角距；δgT為地面重力擾動；δgM為模型重力擾動；*表示向下延拓過程[23-26]，通過向下延拓可將地面重力值轉(zhuǎn)化為邊界面重力值；Hbl(r,ψ)為擴展形式的Hotine截斷核函數(shù)，為方便表述下文省略“擴展”。

目前廣泛使用的Hotine截斷核函數(shù)有兩種。一種是高低階均截斷的核函數(shù)

(2)

式中，L為低階截斷頻率(階數(shù))；M為由地形分辨率決定的高階截斷頻率；Pn(cosψ)為Legendre函數(shù)。另一種為僅低階截斷的核函數(shù)

(3)

式中，Hstd為標準形式的Hotine積分核

(4)

2 修正的Hotine截斷核函數(shù)

修正的截斷核函數(shù)是通過對傳統(tǒng)截斷核函數(shù)增加修正因子得到的，即

(5)

式中,αn為修正因子，也可稱為平滑因子。

2.1 高低階均修正

文獻[22]提出了余弦函數(shù)構(gòu)建的高低階均修正的截斷核函數(shù)，其修正因子為

(6)

式中，μ為低階修正帶寬；υ為高階修正帶寬，修正帶寬表示修正的階數(shù)區(qū)間。從式(6)可以看出該修正因子在L-μ階到L階的頻率波段從0逐漸增大至1，在M階到M+υ階的頻率波段由1逐漸減少至0。當(dāng)修正區(qū)間(L-μ,L)和(M,M+υ)的各階修正因子均取0時，高低階均修正的截斷核函數(shù)轉(zhuǎn)化為式(2)所示的傳統(tǒng)高低階均截斷的核函數(shù)。

由于邊值解算采用的重力數(shù)據(jù)、地形數(shù)據(jù)均為離散的網(wǎng)格數(shù)據(jù)，因而需對Hotine積分進行離散化。當(dāng)對中央網(wǎng)格(計算點地心向徑穿過的網(wǎng)格)進行離散化時，通常將中央網(wǎng)格近似為圓形區(qū)域。采用高低階均修正的Hotine截斷核函數(shù)時，通過推導(dǎo)可得出中央網(wǎng)格重力擾動對高程異常貢獻ζ0的近似公式為

(7)

2.2 低階修正

本文在高低階均修正的截斷核函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了僅低階修正的截斷核函數(shù)，兩種修正核函數(shù)的差別在于修正因子的不同。低階修正的截斷核函數(shù)的修正因子αn為

(8)

從式(8)可看出，低階修正核函數(shù)的修正因子在L-μ階到L階的頻率區(qū)間由0逐步增大至1。當(dāng)?shù)碗A修正頻率區(qū)間(L-μ,L)的各階修正因子均取0時，低階修正核函數(shù)轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)僅低階截斷的核函數(shù)。式(8)所示的低階修正核函數(shù)的修正因子是由余弦函數(shù)構(gòu)造的。本文進一步提出一種線型低階修正的核函數(shù)，其修正因子為

(9)

式(9)所示的線型低階修正核函數(shù)的修正因子同樣具有在L-μ階至L階的頻段由0逐步增大至1的特點。圖1為兩種低階修正核函數(shù)的修正因子的取值。

由圖1可知，對于余弦修正核函數(shù)，修正因子在修正初始頻段和修正末尾頻段變化相對較慢，而在修正的中間頻段變化相對較快；對于線型低階修正核函數(shù)，修正因子在修正頻段保持固定的變化速度。修正因子的類型及參數(shù)設(shè)置與實測重力數(shù)據(jù)和模型重力數(shù)據(jù)的相對精度有關(guān)。當(dāng)使用低階修正的Hotine截斷核函數(shù)時，通過推導(dǎo)可得出中央網(wǎng)格重力擾動對高程異常貢獻ζ0為

(10)

式中，lP0(ψ0)的計算公式為

3 移去恢復(fù)模式下Hotine積分的譜分解式

在移去恢復(fù)模式下，Hotine積分僅需近區(qū)積分。根據(jù)勒讓德函數(shù)的球面積分算法和Molodensky截斷理論，近區(qū)Hotine積分可表示為如下譜形式

(11)

(12)

式(11)、式(12)不僅適用于修正形式的Hotine截斷核函數(shù)，對于傳統(tǒng)Hotine截斷核函數(shù)也是適用的，此時αn只有0和1兩種取值(傳統(tǒng)Hotine截斷核函數(shù)為修正Hotine截斷核函數(shù)的特例)。根據(jù)式(11)所示的譜表示方法可對式(1)進行如下改化

(13)

4 試驗與分析

4.1 頻譜分析

根據(jù)上文分析，在移去恢復(fù)模式下核函數(shù)在高、低頻波段對高程異常的影響方式不同，因此對核函數(shù)的頻譜分析應(yīng)分高、低頻兩個波段進行。本節(jié)頻譜分析過程中將計算點高程設(shè)為1000 m，Hotine積分半徑設(shè)為1°，低、高階截斷頻率(階數(shù))分別取為360、5400。圖2為使用不同的Hotine核函數(shù)時實測重力數(shù)據(jù)對高程異常的高階貢獻率，其中修正因子采用余弦函數(shù)形式，低、高階修正帶寬均為180階。

根據(jù)圖2，在高頻波段的初始頻段，高低階均截斷與低階截斷的Hotine核函數(shù)對高程異常的高階貢獻率差異很小，而高低階均修正與僅低階修正的Hotine核函數(shù)的高階貢獻率的差異也非常小。貢獻率越接近1，重力數(shù)據(jù)越能夠有效地傳播到解算的高程異常中。圖2中傳統(tǒng)截斷核函數(shù)在高頻波段的初始頻段貢獻率較低，說明傳統(tǒng)截斷核函數(shù)存在較嚴重的譜泄露現(xiàn)象。修正的截斷核函數(shù)能夠有效地控制譜泄露現(xiàn)象，提高了實測數(shù)據(jù)在高頻波段初始頻段的貢獻率。在高階截斷頻率附近，幾種核函數(shù)中高低階均截斷的核函數(shù)存在比較明顯的譜泄露現(xiàn)象。圖3為使用不同的Hotine核函數(shù)時模型和實測數(shù)據(jù)對高程異常的低階貢獻率。

圖1 兩種修正因子的取值Fig.1 Values of the two modification factors

圖2 實測數(shù)據(jù)的高階貢獻率Fig.2 High-degree contribution rates of the measured data

圖3 模型和實測數(shù)據(jù)的低階貢獻率Fig.3 Low-degree contribution rates of the measured data and model data

從圖3可以看出，在低頻波段，兩種截斷Hotine核函數(shù)的低階貢獻率差異很小，兩種修正Hotine核函數(shù)的低階貢獻率差異也很小。在低頻波段的初始頻段，使用截斷和修正形式的核函數(shù)時模型數(shù)據(jù)的貢獻率均接近1，說明在低頻波段的初始頻段高程異常主要來自模型數(shù)據(jù)的貢獻。在修正頻段(L-μ～L，此處為180～360)，使用修正核函數(shù)時實測數(shù)據(jù)對高程異常的貢獻多于使用傳統(tǒng)截斷核函數(shù)時實測數(shù)據(jù)對高程異常的貢獻。

下面分析不同修正帶寬下實測和模型數(shù)據(jù)對高程異常的貢獻率的變化，使用的核函數(shù)分別為余弦低階修正和線型低階修正的Hotine截斷核函數(shù)。圖4所示為不同修正帶寬下實測數(shù)據(jù)的高階貢獻率。

圖4 不同修正帶寬下實測數(shù)據(jù)的高階貢獻率Fig.4 High-degree contribution rates of the measured data using different modification bandwidths

由圖4可知，在高頻波段的初始頻段，對于兩種(余弦與線型)低階修正的Hotine核函數(shù)，低階修正帶寬為90階時實測重力數(shù)據(jù)的貢獻率均明顯小于修正帶寬為180、270、360階時的貢獻率，說明90階修正帶寬下兩種低階修正核函數(shù)對譜泄露現(xiàn)象的改善程度不及180、270、360階修正帶寬下修正核函數(shù)對譜泄露的改善程度。圖4中，使用余弦與線型低階修正核函數(shù)時實測重力數(shù)據(jù)的高階貢獻率相差不大，但當(dāng)修正帶寬為360階時，使用線型低階修正核函數(shù)時實測重力數(shù)據(jù)的高階貢獻率更接近1，說明此時線型低階修正核函數(shù)稍優(yōu)于余弦低階修正核函數(shù)。圖5所示為不同修正帶寬下模型和實測重力數(shù)據(jù)的低階貢獻率。

圖5 不同修正帶寬下實測和模型數(shù)據(jù)的低階貢獻率Fig.5 Low-degree contribution rates of the measured data and model data using different modification bandwidths

從圖5可以看出，使用兩種低階修正核函數(shù)時實測與模型重力數(shù)據(jù)對低階高程異常的貢獻率相差不大。在未修正的頻率區(qū)間(0～L-μ)，低階高程異常的貢獻主要來自于模型重力擾動；在修正的頻率區(qū)間(L-μ～L)，實測重力擾動的貢獻逐漸增大，而模型重力擾動的貢獻逐漸減少。從圖5中還可看出，修正帶寬越大，模型重力數(shù)據(jù)的貢獻越少而實測重力數(shù)據(jù)的貢獻越多，因此可通過調(diào)整修正帶寬控制實測和模型重力數(shù)據(jù)對低階高程異常貢獻的權(quán)重。

4.2 應(yīng)用試驗

為了說明不同Hotine核函數(shù)的應(yīng)用效果，針對不同形式的Hotine核函數(shù)解算似大地水準面進行了試驗。似大地水準面的區(qū)域范圍為108°E—114°E，28°N—32°N，該區(qū)域海拔最高2700 m，平均607 m。本試驗收集了105.5°E—116.5°E，25.5°N—34.5°N范圍內(nèi)的70 822個地面離散重力點，剔除粗差后，將剩余的70 379個實測重力點作為邊值解算的基礎(chǔ)重力數(shù)據(jù)。本試驗邊值解算采用基于移去恢復(fù)的Hotine-Helmert理論方法[27]，其中地形直接、間接影響采用文獻[28]給出的算法公式。試驗區(qū)共有68個GPS水準點，利用試驗區(qū)GPS水準點對截斷至360階和2190階的EIGEN-6C4、EGM2008重力場模型分別進行精度檢核，其結(jié)果統(tǒng)計于表1。

表1 截斷到不同階數(shù)的重力場模型精度

Tab.1 Accuracies of the gravity field models with different cutoff degreesm

表1中，截斷到360和2190階的EIGEN-6C4模型精度(標準差)分別為±28.2 cm與±7.8 cm，而截斷到360和2190階的EGM2008模型精度分別為±29.5 cm與±10.6 cm，由此可看出試驗區(qū)EIGEN-6C4模型精度優(yōu)于EGM2008模型。

下面首先利用兩種截斷(高低階均截斷、低階截斷)Hotine核函數(shù)計算似大地水準面，為了提高計算速度，本試驗采用2′×2′的格網(wǎng)分辨率。表2統(tǒng)計了解算的重力似大地水準面的精度與Hotine積分所需時間，其中Hotine積分半徑為1°，高階截斷階數(shù)取5400階(根據(jù)Nyquist采樣定律可知2′×2′分辨率格網(wǎng)對應(yīng)5400階的高階截斷頻率)，低階截斷階數(shù)取360，參考模型取EIGEN-6C4模型的前360階。

表2 兩種傳統(tǒng)截斷核函數(shù)計算的重力似大地水準面精度

Tab.2 Accuracies of the gravimetric quasi-geoids using the two traditional spheroidal kernels

核函數(shù)最小值/m最大值/m平均值/m均方差/m標準差/m耗時/min高低階均截斷-0.0580.4270.1260.1520.086150.0低階截斷-0.0580.4260.1260.1520.08710.5

從表2可以看出，兩種傳統(tǒng)截斷核函數(shù)計算的似大地水準面精度基本沒有差別，但圖2中兩種傳統(tǒng)截斷核函數(shù)在高階截斷頻率附近差異較大，這反映了高程異常對高頻信息不敏感的頻譜特性。根據(jù)表2，在解算精度一致的前提下，使用低階截斷核函數(shù)時Hotine積分所需的計算時間較高低階均截斷的核函數(shù)明顯縮短，因此對于兩種截斷核函數(shù)，低階截斷的核函數(shù)比高低階均截斷的核函數(shù)更適于邊值解算。

表3比較了兩種修正(高低階均修正、低階修正)Hotine核函數(shù)在邊值解算精度與計算時間上的差別，其中低階修正帶寬取180階，高階修正帶寬分別取180、540階，修正核函數(shù)采用余弦修正形式，其他參數(shù)設(shè)置與表2相同。

表3 兩種修正核函數(shù)計算的重力似大地水準面精度

Tab.3 Accuracies of the gravimetric quasi-geoids using the two modified spheroidal kernels

核函數(shù)高階修正帶寬/階最小值/m最大值/m平均值/m均方差/m標準差/m耗時/min高低階均修正1800.0080.4080.1500.1660.072156.75400.0080.4080.1500.1660.072166.8低階修正—0.0080.4070.1500.1660.07212.3

從表3可得出，當(dāng)?shù)碗A修正帶寬一定時，兩種修正核函數(shù)解算的似大地水準面的精度基本相同。另外還可看出，高階修正帶寬對似大地水準面的精度的影響非常小。由于低階修正核函數(shù)較高低階均修正核函數(shù)大大縮短了計算時間，而二者的計算精度相同，因此低階修正的核函數(shù)比高低階均修正的核函數(shù)更適于邊值解算。此外，對比表2、表3可看出，低階修正核函數(shù)計算的似大地水準面精度優(yōu)于低階截斷核函數(shù)的計算精度，二者在計算效率方面的差別也不大，因此低階修正的截斷核函數(shù)的應(yīng)用效果優(yōu)于其他核函數(shù)。

為了說明低階修正帶寬對邊值解算精度的影響，表4統(tǒng)計了使用不同的低階修正帶寬時求解的重力似大地水準面的精度，其中低階修正核函數(shù)采用余弦修正形式，地形分辨率為1.5′×1.5′，Hotine積分半徑為1°，同樣以EIGEN-6C4重力場模型的前360階作為參考模型。

表4 余弦低階修正核函數(shù)計算的重力似大地水準面的精度

Tab.4 Accuracies of the gravimetric quasi-geoids using the cosine low-degree modified kernels

低階修正帶寬/階最小值/m最大值/m平均值/m均方差/m標準差/m0(未修正)-0.0690.3490.1230.1470.08290-0.0360.3330.1310.1480.071180-0.0070.3090.1430.1570.066270 0.0050.2620.1410.1530.059360-0.0220.1940.1040.1150.048

低階修正帶寬取0時低階修正核函數(shù)實際即為傳統(tǒng)的低階截斷核函數(shù)。從表4可知，低階修正帶寬對似大地水準面的精度具有較大的影響。在本文試驗區(qū)360階低階修正帶寬解算的似大地水準面精度最高(±4.8 cm)，而傳統(tǒng)截斷核函數(shù)計算的似大地水準面精度僅為±8.2 cm。似大地水準面精度的提高一方面是由于低階修正核函數(shù)有效地控制了傳統(tǒng)截斷核函數(shù)存在的譜泄露問題，另一方面是由于低階修正核函數(shù)增大了實測重力數(shù)據(jù)在低階修正頻段對高程異常的貢獻。

表5統(tǒng)計了不同低階修正帶寬下線型低階修正Hotine核函數(shù)計算的重力似大地水準面精度，其參數(shù)設(shè)置同表4。

表5 線型低階修正核函數(shù)計算的重力似大地水準面的精度

Tab.5 Accuracies of the gravimetric quasi-geoids using the linear low-degree modified kernels

低階修正帶寬/階最小值/m最大值/m平均值/m均方差/m標準差/m90-0.0360.3330.1310.1490.071180-0.0100.3060.1420.1560.065270-0.0060.2460.1300.1410.056360-0.0700.1580.0730.0870.048

比較表4、表5可知，在相同的低階修正帶寬下，線型低階修正與余弦低階修正核函數(shù)計算的似大地水準面精度基本一致。將表4、表5的結(jié)果與表2進行比較可以看出低階修正核函數(shù)的應(yīng)用效果較好。

由于不同重力場模型的精度不同，而修正帶寬起到調(diào)整模型和實測重力數(shù)據(jù)在高程異常中貢獻的比重的作用，因此使用不同的參考模型時適宜的低階修正帶寬也存在差異。為此，表6統(tǒng)計了以EIGEN-6C4模型與EGM2008模型的前360階作為參考模型時不同低階截斷階數(shù)下適宜的低階修正帶寬(即使用該低階修正帶寬時邊值解算精度相對較高)及相應(yīng)的似大地水準面精度，其中核函數(shù)采用余弦低階修正核函數(shù)。

表6 以重力場模型的前360階作為參考模型時解算的重力似大地水準面精度

Tab.6 Accuracies of the gravimetric quasi-geoids with the first 360 degrees of the gravity field model as the reference field

重力場模型低階截斷階數(shù)/階適宜的低階修正帶寬/階最小值/m最大值/m平均值/m均方差/m標準差/mEIGEN-6C4模型360360-0.022 0.194 0.104 0.115 0.048240240-0.1070.1810.0600.0790.0511200-0.0770.2550.0910.1050.053EGM2008模型360360-0.604 -0.092 -0.304 0.314 0.081240240-0.646-0.144-0.3490.3560.07112060-0.687-0.189-0.3830.3900.074

表6中，當(dāng)以EIGEN-6C4模型的前360階作為參考模型時，低階截斷階數(shù)與低階修正帶寬均取360解算的似大地水準面精度最高(±4.8 cm)，而當(dāng)?shù)碗A截斷階數(shù)取120時，核函數(shù)不進行修正時邊值解算精度相對較高。當(dāng)以EGM2008模型的前360階作為參考模型時，低階截斷階數(shù)與低階修正帶寬均取240解算的似大地水準面精度最高(±7.1 cm)，但不及以EIGEN-6C4模型的前360階作為參考模型的邊值解算精度。

表7統(tǒng)計了采用2190階的EIGEN-6C4模型與EGM2008模型作為參考模型時，不同低階截斷階數(shù)下適宜的低階修正帶寬及相應(yīng)的似大地水準面精度。

表7中，當(dāng)以2190階的EIGEN-6C4模型與EGM2008模型作為參考模型時，低階截斷階數(shù)取2190階計算的似大地水準面精度并不理想。根據(jù)上文頻譜分析可知，當(dāng)?shù)碗A截斷階數(shù)取2190階時解算的高程異常主要來自于模型數(shù)據(jù)的貢獻，因此不能有效地利用實測數(shù)據(jù)的信息。當(dāng)2190階EIGEN-6C4模型作為參考場時邊值解算精度(最高達±4.5 cm)優(yōu)于2190階EGM2008模型作為參考場時邊值解算精度(最高達±6.8 cm)。對比表6可以看出，以2190階EIGEN-6C4模型作為參考模型較以360階EIGEN-6C4模型作為參考模型求解的似大地水準面的精度提高不明顯(分別為±4.5 cm與±4.8 cm)，這反映了遠區(qū)高程異常的高頻(361～2190階頻段)信息非常少。

表7 以2190階重力場模型作為參考模型解算的似大地水準面精度

Tab.7 Accuracies of the gravimetric quasi-geoids with the 2190 degree gravity field model as the referencefield

重力場模型低階截斷階數(shù)/階適宜的低階修正帶寬/階最小值/m最大值/m平均值/m均方差/m標準差/mEIGEN-6C4模型2190360-0.1100.3240.1270.1520.084360360-0.0160.1910.1040.1140.047240240-0.0900.1550.0610.0770.0471200-0.0420.2040.0910.1010.045EGM2008模型2190360-0.646-0.049-0.2790.3000.113360360-0.604-0.092-0.3040.3140.081240240-0.629-0.170-0.3480.3540.06812060-0.687-0.189-0.3830.3900.074

5 結(jié) 論

利用基于移去恢復(fù)技術(shù)的Stokes-Helmert邊值理論或Hotine-Helmert邊值理論求解(似)大地水準面時，截斷形式的Stokes/Hotine核函數(shù)是一種有效的高通濾波器。但傳統(tǒng)的截斷核函數(shù)存在譜泄露現(xiàn)象，影響了(似)大地水準面的解算精度，因此本文引入并進一步發(fā)展了一種低階修正的截斷核函數(shù)。本文的創(chuàng)新點與結(jié)論主要有：

(1) 在余弦函數(shù)構(gòu)造的高低階均修正的核函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了余弦低階修正核函數(shù)，進一步提出了線型低階修正核函數(shù)，并給出了使用高低階均修正核函數(shù)與低階修正核函數(shù)時Hotine積分的中央?yún)^(qū)算法。

(2) 對移去恢復(fù)模式下核函數(shù)在解算似大地水準面中的作用進行了頻譜分析，說明了在移去恢復(fù)模式下核函數(shù)研究的內(nèi)容及內(nèi)涵已發(fā)生轉(zhuǎn)變：在高頻波段，核函數(shù)影響著高頻遠區(qū)截斷誤差的大小以及譜泄露的程度，但在低頻波段，核函數(shù)決定了實測重力數(shù)據(jù)與模型重力數(shù)據(jù)對高程異常的貢獻率。通過對不同核函數(shù)的頻譜分析得出，修正核函數(shù)能夠有效地控制譜泄露現(xiàn)象，并且增大了實測數(shù)據(jù)在修正頻段對高程異常的貢獻率。余弦低階修正與線型低階修正核函數(shù)的頻譜特性比較接近。

(3) 試驗結(jié)果表明，采用相同的低階修正帶寬時，線型和余弦低階修正的核函數(shù)計算的似大地水準面精度與高低階均修正的核函數(shù)的計算精度一致，均優(yōu)于傳統(tǒng)截斷核函數(shù)計算的似大地水準面精度。在計算效率上，低階修正的核函數(shù)明顯優(yōu)于高低階均修正的核函數(shù)。

(4) 通過本文的試驗可看出，在基于Helmert第二壓縮法的邊值問題中低階修正的截斷核函數(shù)能夠有效地改善邊值解算的精度，具體應(yīng)用時應(yīng)結(jié)合參考模型精度、試驗區(qū)實測重力數(shù)據(jù)精度、模型截止階數(shù)等因素確定適宜的低階截斷階數(shù)以及低階修正帶寬。

本文的研究是對文獻[29]提出的厘米級精度要求下重新研究核函數(shù)的改進和構(gòu)造截斷函數(shù)問題進行的理論探索與實踐，在Stokes-Helmert/Hotine-Helmert邊值理論的研究和應(yīng)用方面具有一定的參考價值。