宿常鵬 王雪梅 許哲 李駿霄 邱洪彬

摘要：為有效解決頻率特性測(cè)試中多頻正弦激勵(lì)信號(hào)的峰值因子最小化問(wèn)題，基于Schroeder相位編碼準(zhǔn)則，針對(duì)均勻功率譜信號(hào)，從相位修正的角度出發(fā)，提出一種基于自適應(yīng)遺傳算法的相位修正方法;針對(duì)非均勻功率譜信號(hào)，從功率調(diào)制的角度出發(fā)，采用代數(shù)方法推導(dǎo)出一種正弦調(diào)制的調(diào)制通式。通過(guò)Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，與采用Schroeder相位編碼方法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)表明：兩種方法均能使信號(hào)的峰值因子平均降低0.2，且使信號(hào)的峰值因子保持在2以內(nèi)，更適合作為頻率特性測(cè)試的激勵(lì)信號(hào)，其中添加修正項(xiàng)的均勻功率譜信號(hào)更適合大頻帶測(cè)試，而應(yīng)用正弦調(diào)制的非均勻功率譜信號(hào)更適合小頻帶測(cè)試。

關(guān)鍵詞：峰值因子;自適應(yīng)遺傳算法;相位編碼;功率調(diào)制

中圖分類號(hào)：TP206.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-5124（2019）04-0016-05

0引言

在測(cè)量線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)或傳遞函數(shù)時(shí)，使用高信噪比的信號(hào)進(jìn)行測(cè)試是非常重要的。一般通過(guò)增加信號(hào)的能量提高其信噪比，但是，為避免被測(cè)系統(tǒng)工作于非線性狀態(tài)，輸人信號(hào)的幅值是有限制的。此外，為激發(fā)被測(cè)系統(tǒng)的所有模態(tài)，輸入信號(hào)必須包含足夠的頻率分量。所以如何在給定的幅值約束下增加信號(hào)的能量或者在給定的能量約束下減少信號(hào)的幅值，即信號(hào)峰值因子最小化問(wèn)題，常見(jiàn)于雷達(dá)、聲吶、通信技術(shù)、語(yǔ)音合成和測(cè)試信號(hào)的設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。峰值因子問(wèn)題至今仍無(wú)法有效解決，除非頻譜分量的數(shù)量足夠小以允許對(duì)所有相位角的組合進(jìn)行窮盡搜索。

目前，雖然未發(fā)現(xiàn)使信號(hào)的峰值因子在全局最優(yōu)的解析解，但已提出各種能夠有效降低信號(hào)峰值因子的算法。如文獻(xiàn)[1]基于woodward定理提出多頻正弦信號(hào)的相位編碼準(zhǔn)則，其對(duì)于均勻功率譜（即各次諧波的幅值相等）的多頻正弦信號(hào)效果很好，但對(duì)于非均勻功率譜的多頻正弦信號(hào)效果不如隨機(jī)相位編碼的效果好。文獻(xiàn)[2]提出一種基于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的相位搜索方法，該方法通過(guò)并行搜索相位空間中的局部最優(yōu)解以降低多頻正弦信號(hào)的峰值因子，但計(jì)算量大導(dǎo)致算法的計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)。文獻(xiàn)[3]研究了一種利用互補(bǔ)自相關(guān)函數(shù)矩陣構(gòu)造多相互補(bǔ)碼對(duì)的方法，并提出利用多相互補(bǔ)碼構(gòu)成多頻正弦信號(hào)的方法降低信號(hào)峰值因子，但由于利用互補(bǔ)自相關(guān)函數(shù)矩陣構(gòu)造多相互補(bǔ)碼對(duì)的求解過(guò)程復(fù)雜，且與參數(shù)的初始值有關(guān)，因此需要以不同的初始條件重復(fù)多次獲得更好的結(jié)果。

本文基于schroeder提出的相位編碼準(zhǔn)則，從均勻功率譜和非均勻功率譜兩個(gè)方面進(jìn)行了改進(jìn)，即對(duì)均勻功率譜信號(hào)的相位提出了一種基于自適應(yīng)遺傳算法的相位修正方法，對(duì)非均勻功率譜信號(hào)的功率給出了二次正弦調(diào)制的調(diào)制通式。

1基本概念

多頻正弦信號(hào)為周期性信號(hào)，它是一系列離散頻率的正弦信號(hào)的總和。目前，多頻正弦信號(hào)主要應(yīng)用于線性系統(tǒng)頻率特性的快速測(cè)試，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

一般認(rèn)為，方波信號(hào)由于存在突變使得測(cè)試過(guò)程極不平穩(wěn)，故不適合用于系統(tǒng)頻率特性的測(cè)試。而正弦信號(hào)的峰值因子為詎，是頻率特性測(cè)試最理想的輸入信號(hào)。故選擇合理的相位疊加方式生成多頻正弦信號(hào)的峰值因子越接近詎，該信號(hào)就越適合作為系統(tǒng)頻率特性測(cè)試的輸入信號(hào)。

2多諧差相信號(hào)概述

多諧差相信號(hào)是一種特殊的多頻正弦信號(hào)，目前廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)頻率特性測(cè)試中。它由若干個(gè)功率、周期和初相有一定關(guān)系的余弦波疊加而成的周期性多頻信號(hào)，通過(guò)調(diào)整組成信號(hào)的各正（余）弦分量的初相來(lái)形成自己特性，其表達(dá)式為

多諧差相信號(hào)為周期信號(hào)，做快速傅里葉變換時(shí)可以整周截?cái)?，避免譜泄漏。而且信號(hào)的頻譜是離散的，可以抑制大部分的噪聲干擾。同時(shí)正弦波疊加信號(hào)易于通過(guò)計(jì)算機(jī)或板卡產(chǎn)生，對(duì)硬件要求低。測(cè)試過(guò)程中，通過(guò)改變基波周期T和諧波數(shù)N改變測(cè)試頻帶，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意頻率點(diǎn)模態(tài)的激活，以滿足不同系統(tǒng)測(cè)試的需要。

根據(jù)多諧差相信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和峰值因子計(jì)算公式，降低其峰值因子的方法主要有兩種：1）在均勻功率譜信號(hào)的相位編碼中添加修正項(xiàng);2）對(duì)諧波功率進(jìn)行調(diào)制產(chǎn)生非均勻功率譜信號(hào)。

3多諧差相信號(hào)峰值因子最小化方法

3.1峰值因子與信號(hào)總功率無(wú)關(guān)

由于均勻功率譜信號(hào)可以看作是非均勻功率譜信號(hào)的特例，故以非均勻功率譜的多諧差相信號(hào)為例進(jìn)行說(shuō)明。

由此可以得出結(jié)論，在各次諧波的相對(duì)功率保持不變的條件下，多諧差相信號(hào)的總功率不改變信號(hào)的峰值因子，該結(jié)論對(duì)于均勻功率譜信號(hào)同樣成立。因此，對(duì)于多諧差相信號(hào)的峰值因子最小化問(wèn)題可僅研究總功率為1時(shí)的情況。

3.2均勻功率譜信號(hào)峰值因子最小化問(wèn)題

由均勻功率譜的多諧差相信號(hào)表達(dá)式可知，信號(hào)的峰值因子與總功率P無(wú)關(guān)，只與諧波數(shù)Ⅳ和基波周期T有關(guān)。由于N和T決定了測(cè)試頻帶，可根據(jù)實(shí)際被測(cè)系統(tǒng)確定，當(dāng)N、T確定時(shí)，信號(hào)的峰值因子也隨之確定。

schroeder M.R在文獻(xiàn)[1]中提出，對(duì)具有均勻功率譜的多諧差相信號(hào)，如果改變個(gè)別諧波的初相將得到更低的峰值因子，并給出了具體的例子。因

4實(shí)驗(yàn)分析

多諧差相信號(hào)常用于伺服機(jī)構(gòu)的頻率特性測(cè)試，而伺服機(jī)構(gòu)頻率測(cè)試的范圍一般為0.1～100Hz，其核心工作頻帶為0.1～20Hz。根據(jù)Nyquist定理，采樣頻率必須大于被測(cè)信號(hào)最高頻率的兩倍。工程上采樣頻率一般按照上限頻率的10～50倍確定。另外考慮到采樣點(diǎn)數(shù)量過(guò)大會(huì)急劇增加數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和處理的難度，故常采用分段采樣的方法減少采樣點(diǎn)數(shù)。因此，實(shí)驗(yàn)中將測(cè)試頻帶分為大頻帶100Hz和小頻帶20Hz，由此確定諧波數(shù)Ⅳ、基波周期T的數(shù)值。同時(shí)設(shè)置總功率P=1w，采樣頻率1kHz，即采樣時(shí)間T4=0.001s。

由此可得，多諧差相信號(hào)的峰值因子與信號(hào)總功率P無(wú)關(guān)，該結(jié)論對(duì)于均勻功率譜信號(hào)和非均勻功率譜信號(hào)均成立。

4.2新方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在解決均勻功率譜信號(hào)相位編碼公式中修正項(xiàng)的取值問(wèn)題時(shí)，為提高遺傳算法的收斂精度，加快收斂速度，采用自適應(yīng)交叉策略對(duì)交叉概率進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。在進(jìn)化的初始階段，設(shè)置較大的交叉概率進(jìn)行粗略搜索，以保持種群的多樣性，而在進(jìn)化的后期，為防止破壞最優(yōu)解，選擇較小的交叉概率進(jìn)行細(xì)致搜索。主要參數(shù)設(shè)置為：初始種群數(shù)目為50，初始種群范圍為（0，1），自變量上下限為（0，1），變異概率固定為0.1，初始交叉概率設(shè)為0.8。

以參數(shù)設(shè)置為（20，l，0.001，1）的均勻功率譜信號(hào)為例，應(yīng)用自適應(yīng)遺傳算法運(yùn)行結(jié)果如圖4所示，解算結(jié)果為：修正項(xiàng)ε=0.127，峰值因子CF=1.7311。

設(shè)置不同的信號(hào)參數(shù)，將相應(yīng)的均勻功率譜信號(hào)、加修正的均勻功率譜信號(hào)和非均勻功率譜信號(hào)的峰值因子進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1所示。

由表可知，添加修正項(xiàng)的均勻功率譜信號(hào)和應(yīng)用二次正弦調(diào)制的非均勻功率譜信號(hào)均能有效降低信號(hào)的峰值因子。添加修正項(xiàng)的均勻功率譜信號(hào)更適合大頻帶測(cè)試，而應(yīng)用二次正弦調(diào)制的非均勻功率譜信號(hào)更適合小頻帶測(cè)試。

實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于均勻功率譜信號(hào)和非均勻功率譜信號(hào)來(lái)說(shuō)，信號(hào)的峰值因子CF主要與其所含的諧波數(shù)Ⅳ有關(guān)，基波周期T的影響很小。當(dāng)諧波數(shù)N固定時(shí)，基波周期T增大，峰值因子CF增大;當(dāng)基波周期T固定時(shí)，諧波數(shù)N增大，峰值因子CF增大，具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2和表3所示。

5結(jié)束語(yǔ)

本文研究了多頻正弦信號(hào)中多諧差相信號(hào)的峰值因子最小化問(wèn)題，該研究方法同樣適用于其他多頻正弦信號(hào)的峰值因子最小化問(wèn)題。對(duì)均勻功率譜信號(hào)提出了一種基于自適應(yīng)遺傳算法的相位修正方法，對(duì)非均勻功率譜信號(hào)給出了二次正弦調(diào)制的功率調(diào)制通式。通過(guò)與標(biāo)準(zhǔn)的均勻功率譜信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明本文提出的兩種方法均能有效降低信號(hào)的峰值因子，添加修正項(xiàng)的均勻功率譜信號(hào)更適合大頻帶測(cè)試，而應(yīng)用二次正弦調(diào)制的非均勻功率譜信號(hào)更適合小頻帶測(cè)試。