姜正川

生物學視野下的教學論研究提出：知識如樹，知識具有樹一樣的生命性和生長性。知識是人類生命運動的產(chǎn)物，也是人類生命運動的記錄。我們可以把知識看作一種生命運動，知識的發(fā)生發(fā)展具有樹一樣的生命性和生長性。知識如樹，有樹根，樹桿，枝桿，枝葉，花果。知識樹有其自身的生命運動規(guī)律，最為典型的如語文知識和數(shù)學知識，語文的字詞句章，數(shù)學知識的整數(shù)，小數(shù)，分數(shù)，有理數(shù)，方程，函數(shù)等初等數(shù)學，一直到線性代數(shù)和微積分等高等數(shù)學，每一個知識內(nèi)容，都有知識之根，都具有樹一樣的生命性和生長性。

我們先以數(shù)學教學為例，知識如樹，樹有根。在中小學數(shù)學學習的過程中，學生學習數(shù)學的知識之根是什么呢？

（1）學生熟悉的生活經(jīng)驗是學生學習數(shù)學的知識之根。

數(shù)學研究的是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)學中的有些知識，有時和學生熟悉的生活經(jīng)驗有密切聯(lián)系。利用數(shù)學知識和學生的生活經(jīng)驗之間的相互聯(lián)系，可以使抽象的數(shù)學變得直觀易學。

例如，在教分數(shù)概念的時候，常舉這樣的例子：把一個西瓜平均分成八等份，取其中的一份就是八分之一，記作1/8，取其中的三等分就是八分之三，記作3/8。把一張長方形的紙平均分成4等份，取其中的一份就是四分之一，記作1/4，取其中的三等份就是四分之三，記作3/4。

再如，在學習有理數(shù)加法法則時，先開展統(tǒng)計競賽結(jié)果的討論，規(guī)定贏的分數(shù)為正，輸?shù)姆謹?shù)為負，請同學們統(tǒng)計以下比賽結(jié)果：（+3）+（-5）=？（-4）+（+6）=？（-5）+（+5）=？（-2）+（-3）=？（+2）+（+6）= ？。幾乎百分之百的學生都能統(tǒng)計出正確的結(jié)果。在學生實際上已經(jīng)理解有理數(shù)加法法則的情況下，再學習有理數(shù)加法法則，學生很容易學好而且充滿信心和興趣。

學生們熟悉的生活經(jīng)驗，是學生學習數(shù)學的知識之根。把一個數(shù)學知識和學生們熟悉的生活經(jīng)驗結(jié)合起來學習和思考，學生很容易理解所學的數(shù)學知識。

（2）學生已有的知識經(jīng)驗是學生學習數(shù)學的知識之根。

就學習的本質(zhì)而言，學生的學習，一般總是利用已有的知識學習新的知識。一個新學的數(shù)學知識，如果和學生已有的知識經(jīng)驗有密切聯(lián)系，就會變得容易學習。在新舊知識有密切聯(lián)系的情況下，學生的直覺、猜想、估計、比較、分析、轉(zhuǎn)化、感悟、發(fā)現(xiàn)、好奇、興趣等思維和情感的內(nèi)部機制，往往會得到充分啟動。

例如，在教負數(shù)的概念時，在學生已有的知識經(jīng)驗的基礎上提出新的問題：4-1=3，4-2=2，4-3=1，4-4=0，4-5=？實踐證明，幾乎所有的學生都會寫出答案等于-1。再接下來問學生：1-100=？27-53=？實踐證明，同樣幾乎所有的學生都能寫出正確的答案。在此基礎上，再引出負數(shù)的概念：小于0的數(shù)用負數(shù)表示。進而指出大于0的數(shù)為正數(shù)，小于0的數(shù)為負數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，并且順勢提出數(shù)軸的概念和形數(shù)結(jié)合的思想方法，學生很容易學好所學的知識。

一位學者在回憶自己中學時代的學習時指出：自己中學時代覺得數(shù)學很容易學習，教自己的數(shù)學老師好像從來不講新的知識，上課總是和大家討論，我們已經(jīng)掌握了什么知識，現(xiàn)在有一個新的問題，這個問題如何解決，師生交流討論解決新問題的過程就是學習新知識的過程，教師經(jīng)常這樣教我們以已有的知識經(jīng)驗來學習和研究新的知識，我們學習數(shù)學很容易而且很有興趣。

學生已有的知識經(jīng)驗是學生學習數(shù)學的知識之根。教一個新的數(shù)學知識，設計教法時，盡量和學生已有的知識經(jīng)驗結(jié)合起來學習和思考，學生們往往會很容易學好新的知識。

（3）動手操作的實踐活動是學生學習數(shù)學的知識之根。

數(shù)學中的有些知識，通過做中學，通過動一動手，會變得比較容易理解和掌握。

小學生剛開始學習數(shù)學時，利用10個手指來學習10以內(nèi)的加法是一個典型的例子。教圓錐的體積等于等高的圓柱的體積的三分之一這個知識時，讓學生動手操作一下，分3次將圓錐中的米倒入等底等高的圓柱容器正好倒?jié)M，學生通過動一動手，很容易掌握圓錐的體積公式。讓學生把一個粉筆頭向上拋出去，再看著粉筆頭落下來，進而使學生在頭腦中形成拋物線的初步認識。凡是學生動手操作而獲得的知識，總是直觀易懂，總會深刻而經(jīng)久不忘。

2001年，教育部和國家科學技術(shù)協(xié)會共同倡導和推動了有重大意義的“做中學”科學教學實驗項目，在幼兒園和小學進行基于動手做的探究式學習和教育。做中學的案例來源于生活，在兒童的生活中就地取材。引導兒童主動探究，親歷發(fā)現(xiàn)過程。

近年來，我們開展了平面幾何做中學的實驗，在小學開展平面幾何做中學的活動。如兩直線的位置關(guān)系有平行和相交，相交中的有垂直。什么是角，銳角、直角、鈍角、平角。余角和補角。對頂角，對頂角的性質(zhì)和證明。三線八角中的同位角、內(nèi)錯角、同旁互角。平行線的判定定理和性質(zhì)定理，一直到幾何證明的基礎知識。所有的知識和大多數(shù)習題，都是學生動手操作，在動手操作中理解和掌握幾何初步知識。實踐證明，通過平面幾何做中學的活動，小學高年級學生可以熟練地掌握幾何初步知識和關(guān)于平行線的推理證明，這對他們進入初中后學習幾何要順利得多。

動手操作的實踐活動是學生學習數(shù)學的知識之根。研究和實踐表明，通過“做中學”的活動，數(shù)學不僅變得容易學習。而且學生在做中學獲得的知識，由于在學生自身的親自經(jīng)歷中獲得，常?？梢詢?nèi)化為人的終身難忘的科學素養(yǎng)和文化素質(zhì)。

（4）數(shù)學知識的本質(zhì)是學生學習數(shù)學的知識之根。

有些數(shù)學知識比較抽象，學生比較難學。在這種情況下，有時候，直接揭示數(shù)學知識的本質(zhì)，學生對數(shù)學知識的理解會變得比較容易。

上世紀八十年代跟隨錢學森從事思維科學探究，以研究“相似論”著稱的張光鑒先生，經(jīng)常提起這樣的例子：SinA是什么？學生比較難學。教師應當直接告訴學生SinA這個數(shù)學符號的本質(zhì)。SinA就是在一個直角三角形中，銳角A所對的直角邊和斜邊的比。你揭示了這個本質(zhì)，看似復雜的三角函數(shù)，小學生都很容易理解和學習。另一位學者舉了物理學中壓強的例子。他提出，壓強是什么？壓強是壓力和面積的比，學生很容易理解，也很容易計算壓強。再舉一個極限的例子，先和學生一起研究0.999……為什么等于1。對于0.999……=1，學生理解起來總會有一些困惑，總感到0.999……怎么會等于1呢？通過揭示本質(zhì)的方法，向?qū)W生提出兩個思考途徑。第一途徑：0.999……無限地接近1?？梢钥醋?.999……和1之間距離為0，所以0.999……=1。第二途徑：0.999……=0.333……乘以3=1/3乘以3=1。通過以上二個途徑的思考，學生很容易理解0.999……的極限等于1。

數(shù)學知識的本質(zhì)是學生學習數(shù)學的知識之根。有時候，揭示數(shù)學知識的本質(zhì)，學生很容易理解所學的數(shù)學知識。

（5）數(shù)學知識之間的相似規(guī)律是學生學習數(shù)學的知識之根。

數(shù)學的許多知識之間，存在著廣泛的相似性特點，有的是基本原理的相似性，有的是解題思想方法之間的相似性。利用數(shù)學之間的相似性規(guī)律，可以使數(shù)學變得容易學習，

上世紀八十年代，我國著名科學家錢學森在全國組織和發(fā)起了思維科學研究。張光鑒先生在思維科學研究中提出了相似論，得到了錢學森的肯定?！断嗨普摗芬晃模痪幦脲X學森主編的《思維科學》一書。張光鑒先生在相似論中提出：一切事物都是以相似為中介而聯(lián)系的。一切創(chuàng)造，無論是自然界的創(chuàng)造還是人類的創(chuàng)造，都是基于某種相似而進行的。事物包含的相似功能越多，其作用就越大，應用就越廣。

數(shù)學的某些知識之間，存在著廣泛的相似性。例如，單位相同才能相加減，這是加減法的基本原理。整數(shù)加減法強調(diào)數(shù)位對齊，小數(shù)加減法強調(diào)小數(shù)點對齊，分數(shù)加減法強調(diào)先通分，分數(shù)單位相同后再相加減，整式的加減強調(diào)同類項才能合并，分式的加減也是強調(diào)先通分，化成同分母分式后再相加減等等，都是基于單位相同才能相加減。整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、整式的加減法法則，看似各不相同，但基本原理都是相似的。小數(shù)除法法則和分數(shù)除法法則看似根本不同，但它們的推導方法都可以根據(jù)被除數(shù)和除數(shù)擴大相同的倍數(shù)商不變的性質(zhì)而得到。數(shù)學的知識之間存在著廣泛的相似性，如學好整數(shù)的運算，就容易學好小數(shù)和分數(shù)的運算。學好一元一次方程就容易學好二元一次方程和一元二次方程。學好幾何中的三角形就容易學好四邊形。所有這些，都是因為數(shù)學的知識之間存在著廣泛的相似性和內(nèi)在的密切聯(lián)系性。在數(shù)學的學習過程中，人們經(jīng)常強調(diào)舉一反三，觸類旁通，萬變不離其宗，這里的舉一反三的“一”，觸類旁通的“類”，萬變不離其宗的“宗”都是數(shù)學的知識和數(shù)學的方法之間存在著廣泛的相似性的具體體現(xiàn)。因為知識之間的相似聯(lián)系是一種事實存在，所以人們在學習數(shù)學時才會有比較、轉(zhuǎn)化、歸納、遷移、聯(lián)想、想象等思維方法。

數(shù)學知識之間的相似性規(guī)律是學生學習數(shù)學的知識之根。它為我們的數(shù)學教學提供了兩個重要的啟示。第一，根據(jù)數(shù)學之間的相似性規(guī)律來設計數(shù)學教學內(nèi)容的編排，可以使數(shù)學容易學習，有時可以節(jié)省大量時間。第二，在數(shù)學的知識之間有相似性聯(lián)系時，教師揭示這種相似性，學生對數(shù)學的理解就會容易很多。

（6）數(shù)學基礎和數(shù)學思想方法是學生學習數(shù)學的知識之根。

數(shù)學的知識有時比較復雜，數(shù)學的習題很多而且有許多變化。如果真正幫助學生打好了基礎，如果幫助學生掌握了數(shù)學思想方法，學生學習新的知識和思考復雜的數(shù)學問題，就會有一個較好的基礎和基本的方向和思路，就會以不變應萬變，就會容易學好數(shù)學和容易解決所面臨的數(shù)學問題。

學生的學習，總是以已有的知識經(jīng)驗來學習新的知識。在教學過程中，新知識的學習一般總是基于學生已有知識經(jīng)驗而展開的。因此，學生的基礎顯得極為重要，基礎好，新知識的學習必然容易。在該打基礎的地方一定要幫助學生打好扎實的基礎。乘除法的基礎好，學生學習約數(shù)和倍數(shù)等數(shù)的整除性知識就會十分容易。約數(shù)和倍數(shù)方面的知識基礎好，學習通分和約分就會十分容易，進而到初中學習分式時就會很容易。一元一次方程的基礎打得好，學習二元一次方程組必然容易。這里所說的基礎，除了基礎知識和基本技能以外，還有許多極為重要的內(nèi)容，如良好的學習習慣，科學的學習方法，較高的思維品質(zhì)和情感品質(zhì)等等。

數(shù)學教學幫助學生打好堅實的基礎，包括不斷幫助學生掌握數(shù)學思想方法。常用的數(shù)學思想方法，如類比的方法，化歸的方法，歸納的方法，分類討論的方法，形數(shù)結(jié)合的方法等等。每一個數(shù)學知識點的學習，每一個數(shù)學題的解答，都和一定的數(shù)學思想方法有關(guān)。以初中數(shù)學為例，學生進入初中學習數(shù)學，一開始學習有理數(shù)概念就碰到分類討論的思想方法，接下來學習絕對值概念時又會碰到分類討論的思想方法和形數(shù)結(jié)合的思想方法。教師在教學過程中經(jīng)常向數(shù)學思想方法和哲學理論升華，幫助學生掌握數(shù)學知識的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)，幫助學生掌握數(shù)學知識的相互聯(lián)系和規(guī)律，學生學習數(shù)學知識就會比較容易。

綜上所述，學生熟悉的生活經(jīng)驗，學生已有的知識經(jīng)驗，學生的實踐活動，數(shù)學知識的本質(zhì)，數(shù)學知識之間的相似聯(lián)系，數(shù)學基礎和數(shù)學思想方法，是學生學習數(shù)學的知識之根。在現(xiàn)實的中小學數(shù)學教學活動中，當我們教學一個新的知識時，把這個知識和其相應的學生學習數(shù)學的知識之根聯(lián)系起來而設計教學的過程和方法，數(shù)學的教學就具有了樹一樣自然的生命性和生長性，這樣的數(shù)學教學就會事半功倍。知識如樹，學習如樹?；谥R如樹和學習如樹的教學方法，適用于數(shù)學教學，也適用于其他學科的教學。