馬翠芹 姚俊毅 韓康 趙云波

近年來(lái),物聯(lián)網(wǎng)、信息物理系統(tǒng)、工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)及其應(yīng)用領(lǐng)域,例如智慧家居、車聯(lián)網(wǎng)、智慧工廠等各種智能互聯(lián)系統(tǒng)得到了迅猛的發(fā)展.這種發(fā)展得益于通信和計(jì)算兩種技術(shù)的巨大進(jìn)步,一方面,通信技術(shù)的進(jìn)步,特別是無(wú)線通信網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,使得信息流動(dòng)更容易,成本更低,促進(jìn)了大規(guī)?；ヂ?lián)系統(tǒng)的構(gòu)建;另一方面,計(jì)算能力的進(jìn)步,特別是微型嵌入式計(jì)算芯片的發(fā)展,使得更多的微型設(shè)備也可以具有計(jì)算能力,為系統(tǒng)的智能化發(fā)展提供了物質(zhì)基礎(chǔ)[1?6].無(wú)線通信和嵌入式計(jì)算等技術(shù)在控制系統(tǒng)中的廣泛使用為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析提出了新的挑戰(zhàn),也促使了各個(gè)不同但相關(guān)的研究領(lǐng)域的出現(xiàn)和發(fā)展.從考慮各種通信網(wǎng)絡(luò)在控制系統(tǒng)信息傳輸中的作用的角度,出現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的概念,該領(lǐng)域在過(guò)去近20年的大量研究為包含通信網(wǎng)絡(luò)因素的控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)[7－10];從考慮多個(gè)設(shè)備間互聯(lián)及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和群體行為的角度,為多自主體系統(tǒng)的研究提供了一個(gè)重要的模型基礎(chǔ)[11－12];從物理系統(tǒng)和信息系統(tǒng)交互影響的角度,信息物理系統(tǒng)的研究也在近些年蓬勃發(fā)展起來(lái)[13－14].

與上述角度不同,本文關(guān)注各類智能系統(tǒng)中大量采用的微型處理器及其帶來(lái)的計(jì)算能力限制問(wèn)題.事實(shí)上,各類智能系統(tǒng)以多個(gè)具有有限計(jì)算和通信能力的設(shè)備的互聯(lián)互通為基本特征,勢(shì)必導(dǎo)致其計(jì)算能力成為關(guān)注的焦點(diǎn),一方面運(yùn)行控制器設(shè)備本身的計(jì)算能力有限,另一方面又要在互聯(lián)的設(shè)備間共享計(jì)算資源,使得對(duì)某特定的控制系統(tǒng)而言,其控制器的可用計(jì)算資源成為有限時(shí)變且不可預(yù)測(cè)[15?16].

傳統(tǒng)控制系統(tǒng)的可用計(jì)算資源很少有不可預(yù)測(cè)的特點(diǎn).因?yàn)閭鹘y(tǒng)控制系統(tǒng)往往不存在大量設(shè)備的互聯(lián),從而在系統(tǒng)邊界上是封閉的,即控制系統(tǒng)的各個(gè)組件對(duì)該系統(tǒng)是私有的.因此,即便計(jì)算資源有限時(shí)變,這一變化特點(diǎn)在控制系統(tǒng)的范疇內(nèi)也往往是事先預(yù)知的.而對(duì)已知的時(shí)變資源的分配可以采用各種資源調(diào)度的算法進(jìn)行有效處理[17－19].

在本文研究的問(wèn)題中,對(duì)于提供計(jì)算能力的設(shè)備,仍依賴調(diào)度算法對(duì)該設(shè)備的計(jì)算資源進(jìn)行全局分配,但是,因?yàn)槿终{(diào)動(dòng)算法的分配很難實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地將控制系統(tǒng)的需要考慮在內(nèi),分配給控制系統(tǒng)的可用計(jì)算資源就難免具有有限時(shí)變且不可預(yù)知的特點(diǎn).有限時(shí)變的特點(diǎn)意味著在某些時(shí)刻控制系統(tǒng)可能會(huì)因?yàn)橛?jì)算資源太少而無(wú)法運(yùn)行控制器,使得系統(tǒng)開環(huán),在極端情況下可造成系統(tǒng)失穩(wěn),而不可預(yù)測(cè)的特點(diǎn)又使得任何離線設(shè)計(jì)的方法失效.這使得不考慮這一新特性的傳統(tǒng)控制方法很難在這種新情境下有效發(fā)揮作用,從而要求一種全新的在線控制框架來(lái)處理這一問(wèn)題.

本文面向計(jì)算受限控制系統(tǒng)提出一種全資源預(yù)測(cè)控制策略及相關(guān)控制器設(shè)計(jì)方法.該策略注意到了有限時(shí)變可用計(jì)算資源的另一個(gè)可能特點(diǎn),即在某些時(shí)刻可用計(jì)算資源可能極為充足,在運(yùn)行控制器外還有大量剩余,因此就可以使用這些充足剩余的計(jì)算資源進(jìn)行控制量的前向預(yù)測(cè),這些控制預(yù)測(cè)量進(jìn)而能夠在控制系統(tǒng)可用計(jì)算資源不足時(shí)閉合系統(tǒng).這一策略僅使用已分配給控制系統(tǒng)的計(jì)算資源,但通過(guò)對(duì)其更充分的利用可獲得更好的控制系統(tǒng)性能.

本文結(jié)構(gòu)安排如下:第1節(jié)嚴(yán)格定義所考慮的問(wèn)題;第2節(jié)提出全資源預(yù)測(cè)控制策略;第3節(jié)提供了一種改進(jìn)的模型預(yù)測(cè)控制算法作為該策略所要求的控制器的一種具體實(shí)現(xiàn);第4節(jié)使用基于MATLAB的數(shù)值仿真和MATLAB/LabVIEW聯(lián)合仿真對(duì)提出的策略和算法進(jìn)行驗(yàn)證;第5節(jié)總結(jié)全文.

1 問(wèn)題描述

考慮圖1所示的控制系統(tǒng),其受控對(duì)象由離散時(shí)間多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)描述.

在圖1中,控制器通過(guò)計(jì)算能力受限的某嵌入式處理器實(shí)現(xiàn),并且該處理器同時(shí)負(fù)責(zé)其他系統(tǒng)(可能并非控制系統(tǒng))的計(jì)算任務(wù).這一模型的提出受近些年快速發(fā)展的無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)和信息物理系統(tǒng)等類系統(tǒng)的啟發(fā),該類系統(tǒng)具有計(jì)算能力受限的設(shè)備大規(guī)?；ヂ?lián)使用的基本特征.該模型意味著分配給所考慮的控制系統(tǒng)的計(jì)算資源一方面是有限的,因?yàn)樘幚砥鞯挠?jì)算能力本身有限,另一方面又呈現(xiàn)出不可預(yù)知的時(shí)變特性,因?yàn)樵撚?jì)算能力與所考慮的控制系統(tǒng)外的其他系統(tǒng)和設(shè)備共享,造成該計(jì)算能力在所考慮控制系統(tǒng)的邊界之外而無(wú)法有效管理.

圖1 具有時(shí)變不可預(yù)知計(jì)算資源的控制系統(tǒng)Fig.1 Control systems with time-varying and unpredictable computational resources

如果用R(k)表示k時(shí)刻分配給所考慮控制系統(tǒng)的可用計(jì)算資源,用R?表示處理器的總計(jì)算資源,則有

將計(jì)算控制信號(hào)u(k)所需的最小計(jì)算資源記為,則應(yīng)有,否則該處理器的最大計(jì)算能力都不足以運(yùn)行控制器,也就是對(duì)控制系統(tǒng)而言完全不可用.在時(shí)刻k控制量可被計(jì)算的條件是在此時(shí)刻控制系統(tǒng)可使用的計(jì)算資源不小于所要求的最小計(jì)算資源,即

如式(3)不滿足,則控制信號(hào)u(k)無(wú)法計(jì)算.若式(3)太長(zhǎng)時(shí)間不被滿足,則系統(tǒng)將很可能因?yàn)楸３珠_環(huán)太長(zhǎng)時(shí)間而不穩(wěn)定,這在實(shí)際系統(tǒng)中是不允許的.

式(2)和式(3)可合并為式(4),這是傳統(tǒng)控制方法能夠使用的前提條件.

然而,可用計(jì)算資源的時(shí)變特性意味著在某些時(shí)刻R(k)會(huì)太過(guò)有限而不能計(jì)算控制信號(hào),即

為了解決上述問(wèn)題,一種可能的解決方案是對(duì)計(jì)算資源進(jìn)行全局調(diào)度.然而,調(diào)度算法在該問(wèn)題中難以見(jiàn)效,原因有二:1)在處理器的計(jì)算資源是有限的并且共享的系統(tǒng)和設(shè)備對(duì)處理器計(jì)算資源要求較高的前提下(這是本文考慮問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)),式(4)中的計(jì)算資源要求不可能對(duì)所有時(shí)刻都滿足(否則傳統(tǒng)控制方法即可滿足要求),意味著式(5)中的情形總會(huì)出現(xiàn)(在這些情形時(shí)傳統(tǒng)控制方法失效);2)調(diào)度算法通常無(wú)法將控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)計(jì)算資源要求考慮在內(nèi),因此,或者會(huì)分配計(jì)算資源過(guò)少造成式(5)中的情形,或者太過(guò)保守將非必需的寶貴的計(jì)算資源分配給控制系統(tǒng)而造成浪費(fèi),也就是會(huì)出現(xiàn)如下情形:

綜合上述討論,本文考慮如下問(wèn)題:

問(wèn)題1.考慮如圖1所示的控制系統(tǒng),其中控制系統(tǒng)可用計(jì)算資源是有限時(shí)變而不可預(yù)知的,即在某些時(shí)刻會(huì)太少而不能執(zhí)行控制器的計(jì)算(式(5)),而在其他一些時(shí)刻在執(zhí)行完控制器計(jì)算后還有大量剩余(式(6)).設(shè)計(jì)控制策略以有效使用計(jì)算資源,提升控制系統(tǒng)性能.

注1.圖1中嵌入式處理器的有限計(jì)算資源在控制系統(tǒng)的控制器和其他可能的共享設(shè)備中通過(guò)某種調(diào)度算法進(jìn)行分配.本文并不研究這些計(jì)算資源的調(diào)度算法,而是在一定的計(jì)算資源調(diào)度算法下,研究如何對(duì)分配給控制系統(tǒng)的有限時(shí)變而不可預(yù)知的計(jì)算資源進(jìn)行高效的使用.在這個(gè)意義上,本文所做的研究并非是計(jì)算資源調(diào)度算法的替代,而是其在控制系統(tǒng)應(yīng)用場(chǎng)景下的補(bǔ)充.

2 全資源預(yù)測(cè)控制策略

本節(jié)首先討論控制系統(tǒng)可用計(jì)算資源與控制預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的一個(gè)基本關(guān)系,隨之給出全資源預(yù)測(cè)控制策略的描述,最后討論使用該策略的算法性能和閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

2.1 可用計(jì)算資源與控制預(yù)測(cè)步長(zhǎng)

本節(jié)的討論主要基于如下事實(shí)[20]:控制器所需的計(jì)算資源隨著控制預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的增加而嚴(yán)格增加.注意到計(jì)算資源一般由分配給的處理器時(shí)間來(lái)衡量,在不引起誤解的前提下,用R(k)自身表示在k時(shí)刻分配給控制系統(tǒng)的處理器時(shí)間,從而,這里是非負(fù)實(shí)數(shù)集.記計(jì)算控制預(yù)測(cè)步長(zhǎng)i所需最小計(jì)算資源為(從而),有如下的從可用計(jì)算資源到控制預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的映射,f:,其中是非負(fù)整數(shù)集.

式(7)說(shuō)明,對(duì)時(shí)刻k的任意可用計(jì)算資源,將有唯一的控制預(yù)測(cè)步長(zhǎng)Nk與之對(duì)應(yīng).可以注意到,函數(shù)f(·)是分段常值且右連續(xù)的.

式(7)中的映射提供了看待控制系統(tǒng)可用計(jì)算資源R(k)的另一個(gè)視角,即它可以被等價(jià)看作計(jì)算資源可以處理的控制預(yù)測(cè)步長(zhǎng)Nk.另外,從式(5)和式(6)可以得出:1)若式(5)成立,則Nk=0;2)若式(6)成立,則Nk?1.

前一個(gè)條件Nk=0使得傳統(tǒng)控制算法在此處失效,因?yàn)榭捎玫挠?jì)算資源連一步控制信號(hào)都無(wú)法算出(要求Nk≥1,?k),而后一個(gè)條件Nk?1則提供了更為有效利用可用計(jì)算資源的可能性.注意到在這種情況下,利用可用計(jì)算資源可以計(jì)算多步控制信號(hào).

注2.式(7)中的映射是依賴具體的控制算法的.若控制算法本身復(fù)雜度高,則由R(k)映射到的Nk值較小,否則Nk值較大.但這并不影響這一映射的基本形式和Nk隨R(k)遞增且函數(shù)f(·)是分段常值且右連續(xù)的基本性質(zhì),因此也并不影響本文后續(xù)的討論.

2.2 全資源預(yù)測(cè)控制策略及算法

本文提出的針對(duì)計(jì)算受限控制系統(tǒng)的全資源預(yù)測(cè)控制策略的基本架構(gòu)見(jiàn)圖2.

圖2 面向計(jì)算受限控制系統(tǒng)的全資源預(yù)測(cè)控制策略Fig.2 The full resource predictive control strategy for control systems subject to computational constraints

傳統(tǒng)控制方法僅計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻的控制量,而在本文的全資源預(yù)測(cè)控制策略中,可用的計(jì)算資源被充分使用計(jì)算盡可能多的前向預(yù)測(cè)控制量.這些預(yù)測(cè)控制量進(jìn)而存儲(chǔ)在執(zhí)行器端以備使用.依照式(7)中的映射,并記基于k時(shí)刻信息計(jì)算的k+i時(shí)刻的控制預(yù)測(cè)量為u(k+i|k),i=0,1,···,Nk,則k時(shí)刻的前向預(yù)測(cè)控制序列可構(gòu)建如下:

圖2中的控制信號(hào)選擇器包含兩個(gè)部件:1個(gè)寄存器,能夠存儲(chǔ)最大可能長(zhǎng)度的前向預(yù)測(cè)控制序列;1個(gè)簡(jiǎn)單的邏輯電路,可以用來(lái)選擇合適的控制信號(hào).控制信號(hào)選擇器按如下方式工作:

1)在新的前向控制預(yù)測(cè)序列到達(dá)時(shí)更新寄存器,保證寄存器中的前向控制預(yù)測(cè)序列總是最新的.由于式(5),寄存器中k時(shí)刻的前向控制預(yù)測(cè)序列并不一定是在當(dāng)前時(shí)刻計(jì)算的.記k時(shí)刻寄存器中的前向控制預(yù)測(cè)序列已經(jīng)在其中存儲(chǔ)了步,k時(shí)刻的前向控制預(yù)測(cè)序列則是在時(shí)刻計(jì)算,可寫為.

2)在當(dāng)前計(jì)算資源不足無(wú)法計(jì)算控制信號(hào)時(shí),從前向控制預(yù)測(cè)序列中選取合適的替代控制量.使用上面符號(hào),k時(shí)刻從中選取的控制量為

為使得在任何時(shí)刻從前向控制預(yù)測(cè)序列中都有控制量可用,可用計(jì)算資源需滿足一定條件,如推論1所述.這也是此后所提算法1能夠工作的前提條件.

推論1.若下式成立:

則式(9)中的控制量總在控制信號(hào)選擇器中可供選擇.

證明.注意到k時(shí)刻的前向控制預(yù)測(cè)序列U(k是在時(shí)刻計(jì)算的. 為了使得按照式(9)選取的控制量在中,前向控制預(yù)測(cè)序列的長(zhǎng)度,即,需大于或等于k,這正是推論中給出的條件.□

注3.考慮如下兩種推論1的特例情況.

所提出的策略總結(jié)為算法1,采用該算法的系統(tǒng)整體架構(gòu)見(jiàn)圖2.

算法1.全資源預(yù)測(cè)控制策略

步驟1.傳感器采樣系統(tǒng)狀態(tài)并將采集數(shù)據(jù)傳輸至控制器;

步驟2.由可用計(jì)算資源R(k)按照式(7)獲得可計(jì)算的控制預(yù)測(cè)步長(zhǎng)Nk,進(jìn)而按照式(8)計(jì)算前向控制預(yù)測(cè)序列并將之傳至執(zhí)行器;

步驟3.控制信號(hào)選擇器更新寄存器,按式(9)選擇控制量并令執(zhí)行器執(zhí)行控制量.

注4.算法1并未考慮計(jì)算時(shí)間導(dǎo)致的時(shí)延.因?yàn)榕c控制系統(tǒng)的時(shí)間尺度相比,該計(jì)算時(shí)延往往是足夠小且可以忽略的.不過(guò),需要指出的是,如果絕對(duì)必要,這一時(shí)延可以放入到執(zhí)行器的等待時(shí)延中,因此可以在不更改系統(tǒng)架構(gòu)下進(jìn)行有效處理.

注5.算法1僅對(duì)已經(jīng)分配給控制系統(tǒng)的計(jì)算資源做有利于控制系統(tǒng)性能的合理使用,其權(quán)限局限于控制系統(tǒng)本身.對(duì)整個(gè)嵌入式處理器的計(jì)算資源的分配需由上一級(jí)機(jī)構(gòu),即計(jì)算資源的調(diào)度算法做出.本文的全資源預(yù)測(cè)控制策略是在此意義下對(duì)計(jì)算資源調(diào)度的一個(gè)有效補(bǔ)充.

2.3 算法1性能討論

傳統(tǒng)控制方法在無(wú)法獲得當(dāng)前控制信號(hào)時(shí),往往或者使用零階保持(即保持先前的控制輸入),或者采用零控制(使系統(tǒng)臨時(shí)開環(huán)).這樣,面對(duì)本文考慮的計(jì)算資源有限的控制系統(tǒng),使用傳統(tǒng)控制方法實(shí)際所采用的控制信號(hào)如下:

與之相對(duì)應(yīng)的,采用全資源預(yù)測(cè)控制策略的實(shí)際控制信號(hào)由式(9)給出,或等價(jià)地寫為

從式(11)和式(12)可以看出,在控制系統(tǒng)被分配的計(jì)算資源充足時(shí),就實(shí)際使用的控制信號(hào)而言,使用或不使用本文提出的全資源預(yù)測(cè)控制策略并無(wú)區(qū)別;但是,在當(dāng)前計(jì)算資源不足以進(jìn)行控制計(jì)算時(shí)(即式(5)成立),本文策略提供了額外的自由度,使得可以針對(duì)具體情形設(shè)計(jì)式(8)中的前向預(yù)測(cè)控制序列對(duì)本來(lái)缺少的控制信號(hào)進(jìn)行替代補(bǔ)償.

從這一角度來(lái)說(shuō),本文提出的全資源預(yù)測(cè)控制策略通過(guò)充分使用分配給的計(jì)算資源(而并不要求更多),可以實(shí)現(xiàn)至少不差于傳統(tǒng)控制所帶來(lái)的控制性能 (使或 0),但通過(guò)合理設(shè)計(jì)式(8)中的前向預(yù)測(cè)控制序列U(k|k),提供了提升控制系統(tǒng)性能的自由度和可能性.

另外,式(8)中的前向預(yù)測(cè)控制序列U(k|k)僅是一種一般形式,針對(duì)具體形式和目標(biāo)的系統(tǒng)還需要具體的設(shè)計(jì).事實(shí)上,只要可以產(chǎn)生所需的前向控制預(yù)測(cè)序列,它允許所有可能的控制器設(shè)計(jì)方法.例如,在第3節(jié)給出了一種基于改進(jìn)的模型預(yù)測(cè)控制的設(shè)計(jì)方法.進(jìn)一步,從U(k|k)的一般性上說(shuō),所提出的全資源預(yù)測(cè)控制策略可用于任意受控對(duì)象,而并不局限于線性系統(tǒng)模型,本文采用線性對(duì)象僅為了后續(xù)系統(tǒng)分析和具體前向預(yù)測(cè)控制序列實(shí)現(xiàn)的方便.

2.4 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性

采用算法1的控制系統(tǒng)所使用的控制信號(hào)由式(8)和式(9)給出.但是,式(8)中預(yù)測(cè)控制序列U(k|k)的設(shè)計(jì)是一個(gè)開放問(wèn)題,并沒(méi)有事先規(guī)定任何特定形式,因此閉環(huán)系統(tǒng)的具體形式和相應(yīng)的閉環(huán)穩(wěn)定性分析就難以一般性的給出.另一方面,控制系統(tǒng)的可用計(jì)算資源由上層調(diào)度機(jī)構(gòu)給出,很多情況下可能無(wú)法事先估計(jì),這導(dǎo)致了對(duì)可用計(jì)算資源(進(jìn)而)定量描述的缺乏,也使得一般性的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析較難進(jìn)行.

為了能夠探討閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,考慮一種簡(jiǎn)單情況.首先假設(shè)預(yù)測(cè)控制序列U(k|k)采用狀態(tài)反饋的情況.此時(shí)實(shí)際使用的控制信號(hào)也具有狀態(tài)反饋的形式,即

閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)而具有如下形式:

其次,有理由假設(shè)分配給控制系統(tǒng)的計(jì)算資源不是一直缺乏的,那么存儲(chǔ)在寄存器中的前向預(yù)測(cè)控制序列就總可以在有限時(shí)間內(nèi)得到更新.即存在某上界NR,使得.進(jìn)而,可構(gòu)建增廣系統(tǒng)狀態(tài)X(k)為

閉環(huán)系統(tǒng)(14)的增廣形式可寫為

其中,Λχ?k由A,B,等參數(shù)確定.

將上述系統(tǒng)視為一般的切換系統(tǒng),則可以利用標(biāo)準(zhǔn)切換系統(tǒng)方法在李雅普諾夫理論和線性矩陣不等式框架下得到其穩(wěn)定性條件.該理論方法已經(jīng)較為成熟,在相關(guān)文獻(xiàn)中有更多的技術(shù)細(xì)節(jié).

需要指出的是,上述穩(wěn)定性分析基于對(duì)控制律的狀態(tài)反饋形式假設(shè),并不具有普適性,所得結(jié)論也很難對(duì)前向控制預(yù)測(cè)序列的設(shè)計(jì)提供好的指導(dǎo)意義,實(shí)際應(yīng)用中閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性尚需在具體的控制律設(shè)計(jì)方法給出后另行具體分析.不過(guò),盡管在此并未給出閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的一般結(jié)論,但由前面兩小節(jié)的分析可以看出,U(k|k)設(shè)計(jì)所帶來(lái)的自由度可保證采用算法1的控制系統(tǒng)性能(也包括閉環(huán)穩(wěn)定性)永遠(yuǎn)不差于常規(guī)方法.如何針對(duì)具體系統(tǒng)進(jìn)行具體設(shè)計(jì)將是后續(xù)的主要工作.

3 基于改進(jìn)模型預(yù)測(cè)控制的前向控制預(yù)測(cè)序列計(jì)算

如前所述,前向預(yù)測(cè)控制序列U(k|k)需針對(duì)所考慮系統(tǒng)具體化.針對(duì)本文所考慮系統(tǒng)形式(1),本節(jié)提出一種改進(jìn)的模型預(yù)測(cè)控制設(shè)計(jì)方法作為U(k|k)的一種具體實(shí)現(xiàn)方法.經(jīng)典模型預(yù)測(cè)控制是一種有限時(shí)域優(yōu)化控制方法,通過(guò)優(yōu)化有限步長(zhǎng)的系統(tǒng)軌跡來(lái)求取一串控制序列,然后將其中的第1步用于實(shí)際控制.通過(guò)在每一步的滾動(dòng)優(yōu)化,模型預(yù)測(cè)控制方法可以處理噪聲、不確定性和其他限制[21].

模型預(yù)測(cè)控制的目標(biāo)函數(shù)一般定義如下:

其中,Jk(N)是k時(shí)刻的目標(biāo)函數(shù),定義于式(8)的U(k|k)=[u(k|k)···u(k+N?1|k)]T是需確定的控制預(yù)測(cè)序列,X(k|k)=[x(k+1|k)···x(k+N|k)]T是預(yù)測(cè)狀態(tài)軌跡,Q(N)和R(N)是權(quán)重矩陣,N為預(yù)測(cè)時(shí)域.

上述優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜性主要決定于預(yù)測(cè)時(shí)域N.記解決預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)镹的優(yōu)化問(wèn)題所需的最小計(jì)算資源為RJN,式(7)中所定義的函數(shù)f(·)可對(duì)目標(biāo)函數(shù)(17)進(jìn)一步具體化如下:

依照式(18),在如下討論中將以Nk指代控制系統(tǒng)的可用計(jì)算資源R(k).

從式(18)得到的具體形式的f(·)意味著帶目標(biāo)函數(shù)(17)和N=Nk的優(yōu)化問(wèn)題可以在時(shí)刻k使用可用計(jì)算資源求解.為解決優(yōu)化問(wèn)題,k時(shí)刻的預(yù)測(cè)狀態(tài)可遞歸求解如下:

定義E(Nk)=[AT···(ANk)T]T,F(Nk)是Nk×Nk下三角矩陣塊,其非零項(xiàng)定義為F(Nk)ij=Ai?jB,j≤i.則上式的向量形式可表示為

最優(yōu)的前向控制預(yù)測(cè)序列可以通過(guò)將式(19)代入式(17)并最小化Jk(Nk)得到,其解具有如下的狀態(tài)反饋形式:

其中,

使用如上的改進(jìn)模型預(yù)測(cè)控制方法進(jìn)行全資源預(yù)測(cè)控制的步驟總結(jié)為算法2.

算法2.基于改進(jìn)模型預(yù)測(cè)控制的全資源預(yù)測(cè)控制算法

步驟1.傳感器采樣系統(tǒng)輸出并將數(shù)據(jù)傳輸至控制器;

步驟2.基于分配的計(jì)算資源R(k),依照式(18)決定前向控制預(yù)測(cè)序列的步長(zhǎng)Nk,通過(guò)式(20)計(jì)算前向控制預(yù)測(cè)序列并將之傳至執(zhí)行器;

步驟3.控制選擇器更新其寄存器并依照式(9)選擇合適的控制量并令執(zhí)行器應(yīng)用至系統(tǒng).

注6.本節(jié)中的改進(jìn)模型預(yù)測(cè)控制算法在兩個(gè)方面不同于傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制.首先,算法2中的預(yù)測(cè)時(shí)域是時(shí)變的并決定于可用計(jì)算資源R(k).其次,傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制只使用所計(jì)算的控制序列中的第一個(gè),而算法2卻利用了所有可能的前向控制預(yù)測(cè).

4 仿真算例

本節(jié)通過(guò)如圖3所示的小車–倒立擺系統(tǒng)對(duì)所提出的全資源預(yù)測(cè)控制策略和算法進(jìn)行驗(yàn)證.該系統(tǒng)可建模為式(1)中的線性系統(tǒng),其系統(tǒng)矩陣如下:

其中,狀態(tài)變量x(k)=[x1(k)x2(k)x3(k)x4(k)]T且x1(k)為小車的位移,x2(k)為小車的速度,x3(k)為倒立擺與垂直方向的夾角或偏離角度,x4(k)為剛性擺桿的角速度.各物理量都具有相應(yīng)的單位,其值如下:小球的質(zhì)量m=1,小車的質(zhì)量M=10,剛性擺長(zhǎng)度l=10,重力加速度g=9.8.

為了驗(yàn)證提出的控制策略的有效性,考慮兩種情況的比較,兩種情況都使用第3節(jié)提出的模型預(yù)測(cè)控制器,但一種使用第2節(jié)提出的全資源預(yù)測(cè)控制策略,另一種則不使用.也就是說(shuō),前者可利用存儲(chǔ)在前向控制預(yù)測(cè)序列中的預(yù)測(cè)控制量,而后者在可用計(jì)算資源無(wú)法進(jìn)行控制計(jì)算的時(shí)候,即R(k)<時(shí),只能使用零控制,而在其他時(shí)刻則如傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制一樣使用預(yù)測(cè)序列的第1個(gè)控制量.

圖3 小車–倒立擺系統(tǒng)示意圖Fig.3 The vehicle and inverted pendulum system

首先進(jìn)行基于MATLAB的數(shù)值仿真,進(jìn)而采用MATLAB/LabVIEW相結(jié)合的聯(lián)合仿真方法進(jìn)行驗(yàn)證.

例1.基于MATLAB的數(shù)值仿真

將計(jì)算資源用整數(shù)表示,并設(shè)處理器的最大計(jì)算資源R?=100.設(shè)控制系統(tǒng)進(jìn)行1～7步控制預(yù)測(cè)所需的最小計(jì)算資源如下:

控制系統(tǒng)的可用計(jì)算資源R(k)假設(shè)為某一馬爾科夫過(guò)程,并具有較高的概率小于(見(jiàn)式(5))或接近R?(見(jiàn)式(6)).在實(shí)際中,已分配計(jì)算資源的突然大幅度切換較為少見(jiàn),因此在下一時(shí)刻控制系統(tǒng)的可用計(jì)算資源有較高概率仍保持在原有或相近水平.在R(k)的轉(zhuǎn)移概率矩陣中本文也將此特性考慮在內(nèi).

在上述系統(tǒng)設(shè)置下,控制系統(tǒng)可用計(jì)算資源R(k)的典型時(shí)間演化可見(jiàn)圖4(a).由式(21)可知,前向控制預(yù)測(cè)序列的長(zhǎng)度Nk可由計(jì)算資源R(k)來(lái)確定,如圖4(b)所示.另外,從圖4(c)中χ?k的演化可看出,可用計(jì)算資源經(jīng)常會(huì)太少不足以計(jì)算任何控制量,這使得傳統(tǒng)控制方法無(wú)法在這種情況下工作.

圖5(a)的系統(tǒng)響應(yīng)支持本文期望的結(jié)論:在不增加任何計(jì)算消耗的前提下,使用我們的控制策略的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)更快的到達(dá)穩(wěn)定,并較少波動(dòng).圖5(b)也顯示采用我們的控制策略的實(shí)際控制量也更為平滑.

圖4 MATLAB仿真的R(k),Nk和χk隨時(shí)間的典型演化曲線Fig.4 Typical evolution curves ofR(k),Nkandχkin MATLAB simulation

圖5 MATLAB仿真的系統(tǒng)響應(yīng)和控制量曲線Fig.5 The system responses and control signals in MATLAB simulation

例2.MATLAB/LabVIEW聯(lián)合仿真

本例仍考慮圖3中的小車–倒立擺系統(tǒng),但使用MATLAB/LabVIEW聯(lián)合仿真的方法來(lái)驗(yàn)證我們提出的全資源預(yù)測(cè)控制策略和算法的有效性.系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的架構(gòu)見(jiàn)圖6.其中受控對(duì)象即小車–倒立擺系統(tǒng)在LabVIEW中實(shí)現(xiàn),而控制部分則在MATLAB中實(shí)現(xiàn),二者通過(guò)LabVIEW中的MATLAB腳本調(diào)用實(shí)現(xiàn)聯(lián)合仿真.LabVIEW 中的小車–倒立擺系統(tǒng)添加了一個(gè)很小的外部擾動(dòng)以模擬真實(shí)情況.計(jì)算資源的刻畫則以MATLAB的控制器程序運(yùn)行時(shí)間為標(biāo)準(zhǔn).因此,與僅基于MATLAB的純數(shù)值仿真相比,這一聯(lián)合仿真方案具有如下優(yōu)點(diǎn):1)LabVIEW中實(shí)現(xiàn)的小車–倒立擺系統(tǒng)更為真實(shí)的模擬了受控對(duì)象;2)計(jì)算資源的具體定量描述也更為真實(shí),因此可更有效地驗(yàn)證本文中提出的控制策略和算法.

圖6 MATLAB與LabVIEW聯(lián)合仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.6 The diagram of MATLAB and LabVIEW Co-simulation

控制器執(zhí)行所需要的計(jì)算資源通過(guò)MATLAB重復(fù)實(shí)驗(yàn)并歸一化,結(jié)果如下:

與例1類似,同樣使用兩種方法進(jìn)行比較,一種使用我們的全資源預(yù)測(cè)策略,另一種不使用.系統(tǒng)響應(yīng)證明了全資源預(yù)測(cè)控制策略可以保證倒立擺在垂直方向的穩(wěn)定性(圖7(a)),而不使用我們的策略,即便采用同樣的控制器設(shè)計(jì),也無(wú)法保證倒立擺的穩(wěn)定性(圖7(b)).

5 結(jié)論

通過(guò)對(duì)可用計(jì)算資源的充分利用,在不增加額外計(jì)算資源要求的前提下實(shí)現(xiàn)了計(jì)算受限控制系統(tǒng)的性能提升.這是一種控制和計(jì)算的聯(lián)合設(shè)計(jì)方法,對(duì)該方法的進(jìn)一步改進(jìn)將依賴于前向預(yù)測(cè)控制序列的更為有效的設(shè)計(jì),另外對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的保證也是后續(xù)的研究工作之一.

圖7 MATLAB和LabVIEW聯(lián)合仿真的系統(tǒng)響應(yīng)Fig.7 The system responses using MATLAB and LabVIEW co-simulation