鄭旭東，陳天偉，鄧捷利，段青達(dá)，甘 若，王 雷

(1.桂林理工大學(xué)測(cè)繪地理信息學(xué)院，廣西桂林541004；2.廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林541004)

0 引 言

目前，大壩變形預(yù)測(cè)的方法主要有BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、支持向量機(jī)法、相關(guān)向量機(jī)法、時(shí)間序列法等[1]。由于大壩工程的復(fù)雜性，以及外界條件的不確定性，決定了使用單一預(yù)測(cè)模型進(jìn)行變形預(yù)測(cè)時(shí)，難以得到預(yù)測(cè)精度和預(yù)測(cè)期數(shù)都較為優(yōu)秀的預(yù)測(cè)結(jié)果。針對(duì)大壩變形預(yù)測(cè)中存在的種種問題，部分學(xué)者進(jìn)行了如下研究：王利等使用改進(jìn)灰色模型在大壩沉降預(yù)測(cè)中取得相對(duì)誤差小于2%的預(yù)測(cè)結(jié)果[2]；何啟等使用改進(jìn)的加權(quán)馬爾可夫鏈模型得到了平均相對(duì)誤差為0.71%的預(yù)測(cè)結(jié)果[3]；覃邵峰使用改進(jìn)的ARIMA模型在大壩變形預(yù)測(cè)中平均相對(duì)誤差為0.48%[4]。為了能在實(shí)際預(yù)測(cè)中盡可能地發(fā)揮單一模型的預(yù)測(cè)優(yōu)勢(shì)，又能約束各自的缺陷，本文基于信息熵原理提出熵權(quán)法并聯(lián)組合模型。使用灰色—加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型用于解決變形預(yù)測(cè)中“少數(shù)據(jù)，貧信息”以及灰色模型預(yù)測(cè)周期短的問題，同時(shí)使用ARIMA模型來提高預(yù)測(cè)結(jié)果的精度，利用最大熵原理對(duì)兩模型合理組合，得到一個(gè)精度更高、更加合理的預(yù)測(cè)模型。

1 模型介紹

1.1 灰色—加權(quán)馬爾可夫鏈

1.1.1灰色預(yù)測(cè)模型GM(1.1)

灰色理論主要研究“小樣本，貧信息”的不確定系統(tǒng)的問題[5]。建立灰色模型時(shí)，為了淡化原始數(shù)據(jù)隨機(jī)性誤差的影響，首先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加處理，再用微分方程進(jìn)行建模，最后對(duì)模型值進(jìn)行還原，得到預(yù)測(cè)值。由于該模型在其他文獻(xiàn)中出現(xiàn)較多，本文不再加以詳述。

1.1.2加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)

對(duì)于一組隨機(jī)變量，在驗(yàn)證其滿足“馬氏性”后，通過各步長(zhǎng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，以及其相對(duì)應(yīng)的狀態(tài)做出預(yù)測(cè)后，利用其各階自相關(guān)系數(shù)能夠描述出各種滯時(shí)指標(biāo)值相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱這一特性[6]，對(duì)各步長(zhǎng)的預(yù)測(cè)結(jié)果按照相依關(guān)系的強(qiáng)弱進(jìn)行加權(quán)平均，這就是加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)法的基本思想。

加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的步驟：

(2)“馬氏性”檢驗(yàn)。

(3)計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù)rk，k∈E

(1)

(2)

式中，wk為各個(gè)滯時(shí)(即步長(zhǎng))的馬爾可夫鏈的權(quán)重；m為預(yù)測(cè)的最大階數(shù)。

(4)根據(jù)步驟(1)所劃分的狀態(tài)，統(tǒng)計(jì)出各步長(zhǎng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

(6)將同一狀態(tài)的各預(yù)測(cè)概率加權(quán)求和作為該指標(biāo)值處于該狀態(tài)的預(yù)測(cè)概率，即

(3)

則最終該指標(biāo)值的預(yù)測(cè)狀態(tài)，即max{Pi，i∈E}。

(7)求出級(jí)別特征值對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行估算[7]。待該指標(biāo)值預(yù)測(cè)完成后，將預(yù)測(cè)值加入到原始序列中，重復(fù)步驟(1)～(7)即可完成對(duì)下一指標(biāo)值的滾動(dòng)預(yù)測(cè)。

1.1.3灰色—加權(quán)馬爾可夫鏈

灰色預(yù)測(cè)模型的優(yōu)點(diǎn)是需要的數(shù)據(jù)信息較少，但其預(yù)測(cè)時(shí)間較短，而且對(duì)于波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)效果也不盡人意。而馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型是通過統(tǒng)計(jì)原始序列得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)，能夠在對(duì)變化較大的隨機(jī)序列的預(yù)測(cè)中取得不錯(cuò)的效果，但其需要足夠多的原始數(shù)據(jù)來統(tǒng)計(jì)出原始序列的內(nèi)在規(guī)律。故將兩模型進(jìn)行串聯(lián)組合，用馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型對(duì)灰色模型的結(jié)果進(jìn)行改正，以提高預(yù)測(cè)精度。其具體步驟如下：

(1)將灰色模型的擬合值和實(shí)際觀測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，求出相對(duì)誤差。

(2)用求出的相對(duì)誤差進(jìn)行馬爾可夫鏈建模，由馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)出某時(shí)段的相對(duì)誤差。

(3)用馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)出的相對(duì)誤差對(duì)灰色模型的預(yù)測(cè)值進(jìn)行改正。

1.2 ARIMA模型

ARIMA模型也寫作為ARIMA(p，d，q)模型，它的實(shí)質(zhì)是將ARIMA(p，q)進(jìn)行d階差分得到的。通過這樣的操作，把一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列轉(zhuǎn)化成一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，再通過觀察相關(guān)函數(shù)結(jié)尾和拖尾特征得到自回歸階數(shù)p和移動(dòng)平均階數(shù)q，對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行ARIMA建模，達(dá)到預(yù)測(cè)的效果[8]。ARIMA模型為

φ(B)(1-B)dYt=θ(B)et或
φ(B)dYt=θ(B)et

(4)

1.3 基于熵權(quán)法的組合模型

并聯(lián)組合模型的關(guān)鍵在于對(duì)單一模型的確定及單一模型權(quán)重的確定。本文采用熵權(quán)法確定各個(gè)單一模型權(quán)重，建立組合模型來預(yù)測(cè)大壩變形的數(shù)據(jù)。熵權(quán)法是根據(jù)評(píng)價(jià)對(duì)象的指標(biāo)值構(gòu)成的判斷矩陣來確定權(quán)重的一種方法。如果把信息熵理解為某種特定信息xi出現(xiàn)的概率p(xi)，那么信息熵H(x)的定義為

(5)

根據(jù)信息熵的定義可知，我們將特定信息認(rèn)為是單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的誤差，如果單項(xiàng)模型的誤差的信息熵越小，其變異程度也就越大，則該單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的權(quán)重也越小。反之，模型誤差的信息越大，那么其變異程度越小，則模型的權(quán)重也就越大[9]。

因此，可以利用信息熵原理來確定單一模型的權(quán)重。具體步驟如下：

(1)計(jì)算單個(gè)模型對(duì)應(yīng)時(shí)刻的相對(duì)誤差權(quán)重

(6)

式中，eij為第i個(gè)模型第j時(shí)刻的相對(duì)誤差。

(2)計(jì)算第i個(gè)模型相對(duì)誤差的熵值

(7)

式中，k=1/lnn，其中，n為選擇的單一模型數(shù)量。

(3)計(jì)算第i個(gè)模型相對(duì)誤差序列的變異程度系數(shù)

di=1-Hi

(8)

(4)計(jì)算第i個(gè)模型的權(quán)重系數(shù)

(9)

(5)將單一模型的預(yù)測(cè)值和求得的權(quán)重加權(quán)求和，獲得組合模型的預(yù)測(cè)值

(10)

式中，yi為單一模型的預(yù)測(cè)值。

組合預(yù)測(cè)模型建?；玖鞒倘鐖D1所示。

圖1 組合模型建模流程

表1 各模型預(yù)測(cè)值對(duì)比

2 具體實(shí)例

本文以某大壩水平變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平徑向位移觀測(cè)值為例，數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[2，10]。這里取前16期的觀測(cè)值作為原始起算數(shù)據(jù)，后4期數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。觀測(cè)原始數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 原始數(shù)據(jù)

2.1 單項(xiàng)模型預(yù)測(cè)

將灰色模型預(yù)測(cè)得到的前16期的擬合值與實(shí)際觀測(cè)值對(duì)比得到的相對(duì)誤差，對(duì)相對(duì)誤差進(jìn)行馬氏性檢驗(yàn)，用馬爾可夫鏈模型進(jìn)行建模，預(yù)測(cè)得到后4期相對(duì)誤差，用此結(jié)果對(duì)灰色模型的預(yù)測(cè)值進(jìn)行改進(jìn)，即可得到灰色—加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值；將前16期數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分處理，對(duì)處理的數(shù)據(jù)進(jìn)行自回歸系數(shù)與偏回歸系數(shù)分析，確定ARIMA(p，d，q)模型的參數(shù)。經(jīng)分析，確定p=3，d=1，q=3。利用SPSS軟件進(jìn)行ARIMA建模，獲得預(yù)測(cè)值。其結(jié)果見表1。

2.2 單項(xiàng)模型熵權(quán)計(jì)算

根據(jù)前文介紹的熵權(quán)計(jì)算公式以及兩個(gè)單一模型的變形值的預(yù)測(cè)結(jié)果，可得到灰色—加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型，ARIMA預(yù)測(cè)模型在并聯(lián)組合模型中所占的權(quán)重分別為：ω1=0.75，ω2=0.25；再由式(10)求得最終大壩水平徑向位移的預(yù)測(cè)值Y={87.837，87.555，87.196，86.862}。

2.3 結(jié)果分析

為了更加直觀的表現(xiàn)出3種模型的預(yù)測(cè)效果，把3種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)值的對(duì)比用折線圖的形式表現(xiàn)，如圖3所示。

表中，模型一是指灰色—加權(quán)馬爾可夫鏈模型，模型二是指ARIMA模型，模型三是指基于熵權(quán)法的組合模型。

從表1、圖3分析相對(duì)誤差可得，組合模型預(yù)測(cè)效果最好，平均相對(duì)誤差約為-0.26%，其次為ARIMA預(yù)測(cè)模型，平均相對(duì)誤差約為0.27%；加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型相對(duì)較差，平均相對(duì)誤差為0.46%。單就平均誤差而言，組合模型和ARIMA模型差別不大。為了進(jìn)一步分析3種模型的平穩(wěn)性以及精確度，按照整體評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)方法的原則，引入以下評(píng)價(jià)

(10)

表3 預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

圖3 各模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)值對(duì)比

(11)

根據(jù)以上兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)，得出預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)結(jié)果見表2。

表2 模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比

實(shí)例分析表明，組合模型的預(yù)測(cè)精度最好，與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)相比較，Theil不等系數(shù)和誤差平方和均優(yōu)于單一的預(yù)測(cè)模型，顯示出它在大壩變形預(yù)測(cè)精度上的優(yōu)越性；其次，組合預(yù)測(cè)模型可以有效的彌補(bǔ)單一預(yù)測(cè)模型實(shí)際預(yù)測(cè)中存在的不足。對(duì)于現(xiàn)有的大壩變形預(yù)測(cè)模型而言，并聯(lián)加權(quán)模型可以合理的結(jié)合各單一模型的優(yōu)點(diǎn)，提高預(yù)測(cè)結(jié)果精度。為避免其偶然性，筆者使用文獻(xiàn)[3]中的數(shù)據(jù)再次進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，求得的模型一和模型二的權(quán)重為ω1=0.14，ω2=0.86。由于篇幅限制，在此只對(duì)結(jié)果進(jìn)行呈現(xiàn)。其結(jié)果見表3、4。

表4 預(yù)測(cè)結(jié)果精度指標(biāo)對(duì)比

由表3、4結(jié)果可知，對(duì)文獻(xiàn)中的大壩水平位移分別進(jìn)行灰色—加權(quán)馬爾可夫鏈模型，ARIMA模型和組合模型的預(yù)測(cè)，得到的預(yù)測(cè)結(jié)果從平均相對(duì)誤差，誤差平方和，以及Theil不等系數(shù)來看組合模型均為最優(yōu)，由此可見基于熵權(quán)法的并聯(lián)組合模型對(duì)于大壩變形預(yù)測(cè)來說是一種行之有效的預(yù)測(cè)方法。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)有限的觀測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)合灰色理論適用于“小樣本、貧信息”的特點(diǎn)；馬爾可夫鏈能夠準(zhǔn)確擬合波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)；ARIMA模型能夠挖掘非平穩(wěn)時(shí)間序列的內(nèi)部信息，擬合出變化趨勢(shì)，從而實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)目的，具有建模簡(jiǎn)單的特點(diǎn)；并且結(jié)合最大熵的原理對(duì)模型進(jìn)行合理的組合，建立了基于最大熵原理的混合預(yù)測(cè)模型，通過實(shí)例驗(yàn)證了該模型對(duì)于小樣本序列預(yù)測(cè)精度較高。具體結(jié)論如下：

(1)基于信息熵原理，建立并聯(lián)組合模型來預(yù)測(cè)大壩的形變量，該方法在精度上較單一模型有所提高，并且平衡了單一模型的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和樣本數(shù)據(jù)之間在質(zhì)量和數(shù)量上的需求，同時(shí)能夠平衡各單一模型的擬合及預(yù)測(cè)精度以及普適性等方面的優(yōu)點(diǎn)及缺點(diǎn)。

(2)基于信息熵原理，可對(duì)在真實(shí)值上下浮動(dòng)的單一模型的預(yù)測(cè)值進(jìn)行合理組合，減少了人為因素，使得組合模型在預(yù)測(cè)結(jié)果上更加接近真實(shí)值，從而提高了預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度以及合理性，為數(shù)據(jù)處理以及大壩變形預(yù)測(cè)提供了一條新的途經(jīng)。