馬婷婷,刁兆師,魏鈺良,何 婷

(1 北京控制工程研究所,北京 100190;2 中國兵器工業(yè)導(dǎo)航與控制技術(shù)研究所, 北京 100094)

0 引言

隨著現(xiàn)代化作戰(zhàn)任務(wù)變化和精確制導(dǎo)彈藥技術(shù)快速發(fā)展,為更好地發(fā)揮戰(zhàn)斗部威力,針對多約束制導(dǎo)律的研究具有很大實際工程價值。

針對不同應(yīng)用對象,根據(jù)多種理論方法提出了多種帶終端角度約束的制導(dǎo)律[1]。迄今研究較為深入、應(yīng)用較為廣泛的是基于最優(yōu)控制依據(jù)不同期望指標獲得不同形式的帶多約束制導(dǎo)律。帶終端角度約束制導(dǎo)相關(guān)理論成果于1969年在Apollo飛船月球表面垂直著陸得到應(yīng)用[2],Kim和Grider于1973年較早地提出帶落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律問題[3],自此開始該課題一直吸引著專家學者的關(guān)注,并取得許多成果。Zarchan[3]應(yīng)用施瓦茨(Schwarz)不等式詳細地推導(dǎo)了彈道成型制導(dǎo)律,并解析分析了角度約束和確定性誤差干擾對過載指令的影響。Ben-Asher等[4]研究表明彈道成型制導(dǎo)律有利于降低對剩余時間估計偏差的敏感度。Ryoo等[5-6]后續(xù)研究了考慮動力學滯后的制導(dǎo)系統(tǒng)特性以及剩余飛行時間估計問題。常超、祁載康等[7]研究了系統(tǒng)滯后及階次對位置脫靶量和角度脫靶量的影響。Ohlmeyer等[8]以剩余飛行時間冪函數(shù)的倒數(shù)為最優(yōu)目標罰函數(shù)的權(quán)重,最早推導(dǎo)了廣義矢量最優(yōu)制導(dǎo)律,推廣了傳統(tǒng)彈道成型制導(dǎo)律。劉大衛(wèi)等[9]采用施瓦茨不等式推導(dǎo)了廣義彈道成型制導(dǎo)律,研究了一階動力學滯后系統(tǒng)的位置和角度脫靶量特性,并給出可用過載限制的導(dǎo)引系數(shù)設(shè)計方法。王輝等[10-11]求解得到了由初始位置誤差、方向誤差、目標機動及角度約束引起的加速度指令解析解,研究了一階動力學滯后制導(dǎo)系統(tǒng)的無量綱位置脫靶量和角度脫靶量特性。溫求遒等[12]基于線性二次最優(yōu)控制推導(dǎo)了擴展多約束制導(dǎo)律;通過無量綱化加速度指令變化規(guī)律分析,提出了制導(dǎo)初始條件設(shè)計方法及最大需用過載估計方法。張文淵等[13]推導(dǎo)了含一階動力學滯后的多約束最優(yōu)制導(dǎo)律,研究了導(dǎo)引頭隔離度和制導(dǎo)參數(shù)對穩(wěn)定性及制導(dǎo)性能的影響。

在上述文獻基礎(chǔ)上,文中進一步深入研究了擴展多約束制導(dǎo)律的無量綱化加速度指令特性,同時推導(dǎo)了相應(yīng)視線角變化的解析解并分析了無量綱化視線角變化特性。最后仿真驗證了相關(guān)解析結(jié)論的有效性。

1 擴展多約束最優(yōu)制導(dǎo)律

將導(dǎo)彈控制系統(tǒng)視為理想環(huán)節(jié),在小角度假設(shè)下導(dǎo)彈-目標相對運動幾何關(guān)系的簡化線性模型如圖1所示[2],其中:at是目標常值機動加速度,ac是導(dǎo)彈加速度指令。

圖1 制導(dǎo)律簡化模型

將圖1模型寫成狀態(tài)方程形式為

(1)

帶終端落角約束問題可轉(zhuǎn)化為終端約束最優(yōu)控制問題[2],其最優(yōu)目標罰函數(shù)為:

(2)

對應(yīng)終端約束條件為:

其中,R(t)為正定時變權(quán)函數(shù),其定義為:

(3)

(4)

式中:Np=2(n+2),Nλ=(n+1)(n+2),Nt=(n+2)(1-n)/2。經(jīng)典比例制導(dǎo)律經(jīng)驗導(dǎo)引系數(shù)Np取值為3～6,且最優(yōu)控制器往往增益太高、帶寬過高,引起系統(tǒng)失穩(wěn)[14],因此對應(yīng)n有效取值范圍為n∈[0,1]。表1給出了3組典型導(dǎo)引系數(shù)。

表1 擴展多約束最優(yōu)制導(dǎo)律典型導(dǎo)引系數(shù)

2 最優(yōu)制導(dǎo)律特性分析

掌握不同確定性誤差及約束因素下的彈道解析特性,尤其是需用過載和視線角變化趨勢,將非常有助于總體方案設(shè)計和指標論證,其確定性誤差包括初始位置誤差、初始瞄準方向誤差、目標機動3項,約束是指終端落角約束。

2.1 加速度指令變化

按照文獻[2,10]中最優(yōu)制導(dǎo)律的解析加速度指令表達式為:

(5)

令導(dǎo)彈初始瞄準方向角誤差為β0,小角度假設(shè)下有：

(6)

根據(jù)視線角幾何關(guān)系有λ=y/r=y/(vctgo),對該式求導(dǎo)得：

(7)

進一步整理得:

(8)

因此可知加速度指令式(5)右側(cè)各項為誤差擾動或約束的所需加速度分量,即

ac(t)=a(t)|y(0)+a(t)|β0+a(t)|λf+a(t)|at

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

另外,由圖2知對于n不同取值,無量綱化加速度曲線相交于t1(0.2tf附近)和t2(0.8tf附近)。初始位置誤差、瞄準誤差以及終端落角約束的無量綱化加速度變化趨勢隨n變化一致,當tt2,無量綱化加速度隨n的增大而減小。目標機動的無量綱化加速度變化趨勢與上述相反。

圖2 無量綱加速度變化趨勢

2.2 視線角變化

(18)

(19)

(20)

(21)

對式(19)～式(22)再次積分可得:

(24)

(25)

(26)

由各項引起的視線角變化表達式分別為:

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

另外,由圖3看出,對于初始位置誤差、瞄準誤差引起的無量綱化視線角變化趨勢一致,隨著n增大,曲線上拉，更快趨于0;終端落角約束引起的無量綱化視線角曲線隨著n增大而下拉,更快趨于1;而目標機動引起的無量綱化視線角曲線隨著n增大而下拉,放慢趨于0。

圖3中無量綱化視線角均大于零,說明4個因素的極性將直接影響視線角變化趨勢。若瞄準角誤差β0與終端期望落角λf極性相反,前者引起的視線角變化趨勢與后者的變化趨勢一致,有利于彈道成型。因此,中制導(dǎo)方案設(shè)計最好要保證在轉(zhuǎn)到多約束制導(dǎo)律時瞄準角誤差β0與終端期望落角λf極性相反。若目標機動at與終端期望落角λf極性相同,前者引起的視線角變化趨勢與后者的變化趨勢一致,有利于彈道成型。

圖3 無量綱視線角變化趨勢

3 工程化應(yīng)用準則

對于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈末制導(dǎo)階段，導(dǎo)彈-靜止目標相對運動幾何關(guān)系如圖4。圖中,r、λ、θ分別表示彈目相對距離、視線角、彈道傾角。對于打擊靜止目標,終端視線角λf=θf[15]。則視線角變化量為λ*f=λf-λ0,初始瞄準方向角誤差量為β0=θ0-λ0。

圖4 彈目相對運動幾何關(guān)系

由式(9)～式(13)、無量綱化加速度因子和y(0)=0得:

(39)

(40)

式中:at是由作用在導(dǎo)彈上的重力等效而來[2],其大小為at=gcosθ,飛行時間tf可由r/vc近似估計。

令導(dǎo)彈可用過載為ap,啟動時刻需要滿足

(41)

(42)

經(jīng)過分析可得，當0

(43)

考慮控制系統(tǒng)動力學滯后,為保證位置脫靶量和終端角度要求,飛行時間tf應(yīng)大于控制系統(tǒng)響應(yīng)時間的15～16倍[10,12],即tf≥(15～16)Tm,可轉(zhuǎn)化為彈目距離

r0≥vctf

(44)

(45)

以下3個要素可作為末制導(dǎo)設(shè)計的參考準則:

①適當?shù)闹兄茖?dǎo)來保證瞄準方向角誤差和視線角變化量控制在一定范圍內(nèi),保證式(41)、式(45)成立;

②選取適當大的制導(dǎo)時間tf滿足式(44),并保證式(41)、式(45)成立,可用過載留有一定裕量;

③若期望終端加速度收斂于零,選取導(dǎo)引系數(shù)n>0;同時,導(dǎo)引系數(shù)n保證式(41)、 式(45)成立。

4 數(shù)學仿真

以航空制導(dǎo)彈藥縱向平面運動為例進行數(shù)學仿真，驗證上述設(shè)計原則的有效性,該彈藥無動力,經(jīng)過穩(wěn)定、適當中制導(dǎo)進入末制導(dǎo)段完成垂直攻擊任務(wù),初始條件及終端約束要求為:初始高度為Hm=3 km、初始速度vm=300 m/s、彈目水平距離x=6 km、水平投彈θm=0°、期望落角θf=-90°。

取表1擴展多約束最優(yōu)制導(dǎo)律典型導(dǎo)引系數(shù)來進行數(shù)學仿真,其結(jié)果見表2,彈道曲線如圖5。由表2知,上述典型導(dǎo)引系數(shù)均可達到期望脫靶量和期望落角要求,且終端速度散布很小,說明n在[0,1]上取值對終端速度影響不大;當n=0.5、n=1.0時,終端過載接近為零,與解析結(jié)論一致,有利于終端攻角收斂,避免大攻角“跳彈”發(fā)生。

另外,由圖6(a)知：解析與仿真所需加速度指令變化趨勢基本一致,當n=0時,加速度指令單調(diào)遞減;當0

表2 理想情況仿真結(jié)果

圖5 仿真曲線

考慮控制系統(tǒng)滯后,令控制系統(tǒng)響應(yīng)時間Tm=0.3 s進行仿真,其結(jié)果見表3,其加速度指令與實際值見圖7。從表2與表3對比可以看出，控制系統(tǒng)滯后對飛行時間、末速、脫靶量、落角影響不大,但對終端過載影響嚴重,違背攻角收斂要求;結(jié)合圖7知,其原因是在滯后影響下在接近目標時加速度指令存在半震蕩甚至發(fā)散現(xiàn)象。因此實際工程應(yīng)用時必須對終端加速度指令采取必要措施,如終端加速度指令歸零等。

表3 滯后情況仿真結(jié)果

5 結(jié)論

主要解析結(jié)論如下:

1)該制導(dǎo)律簇可以克服初始位置誤差、初始瞄準方向角誤差以及常值目標機動干擾和實現(xiàn)終端落角約束;當0

圖6 解析解和仿真結(jié)果

圖7 帶滯后動力學時加速度變化

2)導(dǎo)引系數(shù)n決定著各項因素引起的無量綱化過載在時間軸上分配規(guī)律,其影響無量綱化過載曲線單調(diào)性、極點以及過零點,當n=0時,各無量綱化過載線性變化,而當0

3)制導(dǎo)時間tf決定著各項因素過載幅值規(guī)律,其中初始位置誤差引起的過載幅值與制導(dǎo)時間平方成反比,瞄準方向角誤差及終端落角約束引起的過載幅值與制導(dǎo)時間成反比,常值目標機動引起的過載幅值與制導(dǎo)時間無關(guān)。

4)從無量綱化視線角變化角度,4個因素極性不同將直接影響視線角變化趨勢。若瞄準角誤差與終端期望落角極性相反,有利于彈道成型。若常值目標機動與終端期望落角極性相同,有利于彈道成型。

基于上述結(jié)論,提出了工程應(yīng)用設(shè)計準則。通過實例仿真,驗證了該制導(dǎo)律相關(guān)解析結(jié)論的有效性;指出了由于實際控制系統(tǒng)存在滯后影響,制導(dǎo)加速度指令終端變化劇烈現(xiàn)象不利于終端攻角收斂,需要采取終端攻角歸零措施。