張亞中，李玉簫，劉雨享，何 偉

（南京郵電大學，江蘇 南京 210003）

0 引 言

近年來，互聯(lián)網(wǎng)業(yè)務的迅速發(fā)展使信道容量接近飽和，頻譜利用率也逼近香農(nóng)限。而帶有軌道角動量（Orbital Angular Momentum，OAM）的渦旋電磁波OAM渦旋電磁波具有相互正交的不同模態(tài)，有望通過開辟一個新的維度“模分復用”，提高頻譜效率，實現(xiàn)同一頻帶承載更大的傳輸容量，因此成為通信領域和電磁波領域的熱點。

當發(fā)射和接收陣列天線個數(shù)相同并且彼此完全對齊時，OAM系統(tǒng)的信道容量與多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）陣列信號相比擬。但是當發(fā)射接收機之間出現(xiàn)軸心偏角時，接收器可能會收到錯誤的模態(tài)，即產(chǎn)生模態(tài)串擾，導致誤碼率增大，系統(tǒng)性能下降，劣于MIMO系統(tǒng)[1-2]。

這是由于渦旋電磁波的螺旋傳輸特性，OAM系統(tǒng)要求收發(fā)天線軸心對齊，而由于用戶接入數(shù)量的巨大和模態(tài)復用的存在，以及多址用戶的動態(tài)性，都會引起波達角的時變，帶來大量的信息丟失和不必要的功率損耗，這都對大型天線陣列精準對齊和應對多址用戶動態(tài)變化提出了更高的要求。周葉青等人對OAM系統(tǒng)在不對齊情況下的接收功率譜密度進行了仿真，提出一種基于二分法迭代的軌道角動量無線通信中軸向?qū)实男路椒╗3]。但是這種對準算法收斂速度較慢，初始狀態(tài)不容易滿足，并且過程繁瑣，不適合于機器的高效操作。本文提出一種基于機器學習梯度下降法的自動對齊算法，通過步長的逐步優(yōu)化，降低收斂時間，過程簡單，是一種適合于機器的高效算法。

1 基于梯度下降的對準算法

為了使發(fā)射天線和接收天線的軸心對準，OAM系統(tǒng)需要調(diào)整的參數(shù)主要有兩種[4]，第一，方向偏移，對應的參數(shù)為偏角γ；第二，水平位置偏移，對應的參數(shù)為水平坐標（x,y）。檢驗發(fā)射天線和接收天線是否對齊的指標有多種，本文中使用的是接收天線接收到的信號能量譜方差，當發(fā)射接收天線軸心對齊時，天線接收到的能量譜方差應達到最小。

當實際中的OAM系統(tǒng)中伴隨著橫向偏移和角度偏移時，文獻[5]研究了偏移情況下的拉蓋爾高斯電磁波，給出了對于發(fā)生軸偏移的OAM系統(tǒng)的諧波能量計算。文獻[4]給出了一種基于二分法迭代求解能量譜方差最小的最優(yōu)解的方法，但是這種方法對每一個參數(shù)初始狀態(tài)的要求比較高，需要找到分別在最優(yōu)解兩側(cè)的兩個點。但是實際上，我們考慮到機器實際上不知道自己當前位置，只能獲取當前位置相關數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)由于環(huán)境因素以及發(fā)射機狀態(tài)是一直在變化的，因此我們考慮用機器學習中的梯度下降法，依靠在當前位置以及相鄰較近位置處接收機測量到的能量譜方差求出近似梯度。

機器學習算法中，解決無約束問題常用的方法有梯度下降法和最小二乘法。在最小化損失函數(shù)時，可以通過梯度下降法來一步步的迭代求解，得到最小化的損失函數(shù)和模型參數(shù)值。在微積分中，各個參數(shù)的偏導組合成的向量就是梯度。梯度的幾何意義就是函數(shù)變化最快的地方，沿著梯度向量的方向，更容易找到函數(shù)的最值。但是梯度下降法不一定找到全局最優(yōu)解，有可能是一個和局部最優(yōu)解。但是如果損失函數(shù)是凸函數(shù)，梯度下降法得到的解就一定是全局最優(yōu)解[6]。

收發(fā)天線需要調(diào)整的參數(shù)有三個，可以采用對參數(shù)逐一優(yōu)化的方案，使發(fā)射天線和接收天線逐步對準，最終精確對準。為了使算法更優(yōu)化，可以同時調(diào)整多個參數(shù)即多維梯度下降法，但是需要注意這時每個參數(shù)需要有不同的學習率。我們使用三維梯度下降法，得到在偏移狀態(tài)下間隔較小每一點的數(shù)據(jù)，然后按照如下步驟：

（1）隨機給出一組當前機器的偏移狀態(tài)（x0,y0,γ0）；

（2）確定損失函數(shù)，能量譜方差V（x,y,γ）。

（3） 測 出 機 器 當 前 位 置 （x0,y0,γ0）和 和 的（x0+Δ1,y0+Δ2,γ0+Δ3）能量譜方差，其中 Δi是一個很小的量，根據(jù)這兩點算出處的梯度；

（4）接下來需要分別為三個參數(shù)確定合適的學習因子 ηi（i=1,2,3），進而確定步長 αi（i=1,2,3），即，即每個參數(shù)在當前位置每次移動的距離。

（5）確定是否所有的變量，梯度下降的距離是否都小于ε，如果小于ε則算法終止，當前（x,y,γ）即為最終結(jié)果。否則進入步驟6。

（6）做最小值優(yōu)化，則更新所有的變量，以x為例，其更新表達式如下，y，γ同理。更新完畢后繼續(xù)轉(zhuǎn)入步驟3。

（7）算法調(diào)優(yōu)。算法的步長選擇。算法中步長α的取值取決于數(shù)據(jù)樣本，其取值應從大到小，分別運行算法，使迭代效果中損失函數(shù)變小的取值有效，否則要增大步長。前面說了。步長太大，會導致迭代過快，甚至有可能錯過最優(yōu)解。步長太小，迭代速度太慢，很長時間算法都不能結(jié)束。所以算法的步長需要多次運行后才能得到一個較為優(yōu)的值。

2 算法仿真

2.1 一維梯度下降法

對于每一個參數(shù)變量，能量譜都是關于變量的凸函數(shù)，因此使用梯度下降法最終都能得到損失函數(shù)的最優(yōu)解。以參數(shù)x為例，任意選擇一個初始狀態(tài)，仿真時我們選擇初始狀態(tài)為x0=6，學習因子的選取與具體的數(shù)據(jù)樣本有關，我們分別設置學習因子為0.7和0.3，循環(huán)終止狀態(tài)為ε=0.1，按照上文中的算法步驟進行仿真。得到兩種不同的收斂路徑下，能量譜方差（用符號V表示）隨橫向偏移之間的曲線如圖1所示。

圖1 一維梯度下降法收斂路徑示意圖

圖1 中，曲線上的點表示實際可測量到的樣本數(shù)據(jù)，實線表示η1=0.3時的搜索路徑，搜索點只分布在最優(yōu)解右側(cè)；虛線表示η1=0.7時的搜索路徑，搜索點分布在最優(yōu)解兩側(cè)。由此可見，選擇不同的學習因子時，收斂路徑也會不同，但最終都將收斂到損失函數(shù)最小的最優(yōu)解。我們列出了不同學習因子的搜索點，見表1。

表1 不同學習因子的收斂步數(shù)

由表1可見，不同的學習因子η會導致不同的收斂速率，選擇合適的學習因子會使算法的效率有效提升。本次仿真中最優(yōu)的學習因子為0.5。

2.2 多維梯度下降法

為例更加直觀地看出算法的收斂路徑，我們先仿真給出二個參數(shù)同時調(diào)整的示意圖，實際中可以同時調(diào)整三個參數(shù)，各自步長的選取需要人為靈活調(diào)整。

按照梯度下降法求解能量譜方差隨（x,y）的路徑示意圖如圖2所示。其中實線路徑表示學習因子較小的情況，虛線路徑表示學習因子較大的情況，兩者最終都收斂至凸函數(shù)的最優(yōu)解。

多維梯度下降法可以提高算法效率，但是步長的確定需要根據(jù)實際的數(shù)據(jù)樣本靈活調(diào)整。

圖2 多維梯度下降法收斂路徑示意圖

3 結(jié) 語

OAM渦旋電磁波在提高無線通信系統(tǒng)容量方面有很大的潛力，但是對收發(fā)天線的對準非常嚴格。本文我們建立了基于機器學習梯度下降法的OAM對準算法模型，仿真表明不同的學習率會導致不同的收斂速度，因此我們給出了一種優(yōu)化學習率的方案，確定了此條件下的最佳學習率，實現(xiàn)了收發(fā)天線的快速對準。這種算法與前人的算法相比在實際中收斂速度更快，更適合于機器，對初始狀態(tài)要求低。未來的工作將考慮多維梯度下降法，以及優(yōu)化學習率的高效算法。