王 根, 劉 洋

(浙江師范大學 數(shù)學與計算機科學學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

近年來，與各種全純映射相關(guān)的Schwarz-Pick引理理論得到了迅速發(fā)展.其中涉及到一些常見的例子,如從單位圓到某些經(jīng)典域的映射[1-2]、從多圓到單位球的映射[3-4]、經(jīng)典域上的有界全純函數(shù)及Berezin算子演算的分析與高階Schwarz-Pick之間的相互作用[1,4-5].Schwarz引理是解析函數(shù)的重要定理,對于共形映射的建立有很大作用;它表明當經(jīng)典解析映照后,從原像域到像域之間的有趣變化,給出了從給定域確定對象域的有效估計.然而,復數(shù)域本身的結(jié)構(gòu)性質(zhì)對其上的復函數(shù)的直接影響幾乎沒被報道，復數(shù)域本身的結(jié)構(gòu)直接有效地影響了復函數(shù)的全純性質(zhì)與穩(wěn)定方面的特征.

本文引進了與復數(shù)域直接相關(guān)的結(jié)構(gòu)函數(shù)，討論了更為普遍的全純性質(zhì)與復函數(shù)所要遵循的理論形式,研究了一般復函數(shù)變換意義下的結(jié)構(gòu)復微分與廣義復梯度所遵循的結(jié)構(gòu)性質(zhì),并利用新的算子討論了廣義復梯度下的Schwarz-Pick引理等相關(guān)理論,此時Schwarz-Pick引理只是作為它的一個特例.

1 預備知識

定理1(Schwarz引理)[7]若f∈Hol(U,U),且f(0)=0,則|f(z)|≤|z|,|f′(0)|≤1,|f′(0)|=1當且僅當f(z)=zeiτ,τ∈R.

引理1[2-6]單位圓盤U中的經(jīng)典Schwarz-Pick引理的結(jié)果為[2-6]

(1)

對于全純映射f:U→B,已經(jīng)證明了

(2)

對于全純映射f:U→Bm,已經(jīng)證明了

(3)

引理2[1-2]對于給定的全純映射g:X→Y，有

以及X∈C,Y∈Cm.

為方便讀者查閱，此處加上引理2的證明.具體細節(jié)可以參閱文獻[1-2].

其中，p為奇數(shù)或偶數(shù).具體可參閱文獻[1].對于g(z)=0的情況可以參閱文獻[2].引理2證畢.

2 主要結(jié)果

接下來考慮如下復函數(shù)變換:

定義1與復數(shù)域有關(guān)的結(jié)構(gòu)函數(shù)s自然地誘導出廣義復梯度算子為D=+s,使得復梯度變換為g(z)→Dg(z)=g(z)+g(z)s,則復函數(shù)g(z)的廣義復梯度為

Dg(z)=g(z)+g(z)

結(jié)構(gòu)全純條件可以求出具體復函數(shù)的解形式為

(5)

由引理3得到它的解為w(z)=Φ(z)e-s(z).現(xiàn)在對解進行Taylor展開,得到

(6)

定理4對于給定的結(jié)構(gòu)全純映射g∈Shol:X→Y有

證明 由引理2的證明過程可得

因而由廣義復梯度算子關(guān)系式可以得到

D‖g(z)‖=‖g(z)‖+‖g(z)‖

顯然，上式為g(z)≠0的情況.

若g(z)=0,則廣義復梯度退化為普通復梯度Dg(z)=g(z),結(jié)構(gòu)全純函數(shù)(5)退化為普通全純條件此時原先結(jié)果在g(z)=0時保持不變.根據(jù)式(3)，由Fréchet導數(shù)知,對β∈C且定理4證畢.

事實上，‖g(z)‖在廣義復梯度D下有具體的表達形式D‖g(z)‖=‖g(z)‖+‖g(z)‖以及|D‖g(z)‖|=‖g′(z)‖,g(z)=0,根據(jù)復數(shù)的不等式表述可以得到

以下設(shè)復函數(shù)的模q=|w(z)|,利用結(jié)構(gòu)復微分和廣義復梯度算子得到如下和結(jié)構(gòu)函數(shù)有關(guān)的推廣形式:

定理5(廣義Schwarz-Pick引理) 設(shè)f∈Shol:U→U,則

顯然,若s′(z)=0,則廣義Schwarz-Pick引理退化到經(jīng)典Schwarz-Pick引理.

同樣，對于結(jié)構(gòu)全純映射f∈Shol:U→B,仿照上述廣義Schwarz-Pick引理的證法,易得q在廣義復梯度D下的形式為

3 結(jié) 語

首先通過復函數(shù)結(jié)構(gòu)變換得到了結(jié)構(gòu)復微分與廣義復梯度,得到了具有普遍性的廣義結(jié)構(gòu)Wirtinger導數(shù)算子、與結(jié)構(gòu)函數(shù)息息相關(guān)的廣義Schwarz-Pick引理,以及依賴于結(jié)構(gòu)函數(shù)的解w(z)=Φ(z)e-s(z).事實上,定理2和定理3均可以通過這種技術(shù)延拓到包含復數(shù)域上結(jié)構(gòu)函數(shù)的廣義形式，只需要將普通梯度算子改換成廣義復梯度D=+s就行.