楊鵬志 劉嘉豪 楊宏春 鄔劭軼 滕保華

(電子科技大學(xué)英才實驗學(xué)院 四川 成都 611731) (電子科技大學(xué)物理學(xué)院 四川 成都 610054)

1 引言

長直載流導(dǎo)線是電磁學(xué)中的一種常見理論模型[1]，并且在大學(xué)物理習(xí)題中也經(jīng)常被討論．比如大學(xué)物理中經(jīng)常有這樣的問題：

【題目】兩根無限長的平行載流直導(dǎo)線，其間距為a且電流反向，如圖1所示，在保持電流I不變的情況下增大平行導(dǎo)線的間距，則空間總磁能將如何變化[2]？

圖1 平行長直載流導(dǎo)線示意圖

對這類問題通?？梢圆捎米龉偷刃ё愿械姆椒ㄟM(jìn)行定性分析．

若用簡單做功方法，則是類比帶異種電荷的平行板電容器的情形[3]．當(dāng)增大兩板間距時，需外力做功，則電場能量增加．類比此問題，表面上看，兩導(dǎo)線相互排斥，當(dāng)增大兩導(dǎo)線間距，外界做負(fù)功，則磁場能量減?。沁@個結(jié)論與真實情況相悖，因為這里沒有考慮導(dǎo)線中感應(yīng)電動勢的影響[4]，而此時電源克服感應(yīng)電動勢做功又很難定量計算．

若用等效自感方法，經(jīng)過解析推導(dǎo)，可以得到兩長直導(dǎo)線中軸線內(nèi)側(cè)的單位長度自感系數(shù)(忽略兩導(dǎo)線中心軸線以外的磁場)為

其中μ0表示真空磁導(dǎo)率，a和r分別代表導(dǎo)線軸心間的距離和導(dǎo)線半徑．再結(jié)合磁場能量公式

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增大導(dǎo)線間距a時，自感系數(shù)L變大，則磁場能量Wm增大．這與正確結(jié)果一致，但是該方法又無法應(yīng)用于同向長直載流導(dǎo)線的情形．

綜上所述，簡單地利用做功方法往往會得到錯誤的結(jié)果，而用等效自感方法又不能處理電流同向的情況，因而導(dǎo)致此類問題缺乏統(tǒng)一合理的解決方案．

本文則從磁場能量密度和總磁能的角度出發(fā)，對這類問題進(jìn)行理論分析，從而得到合理直觀的統(tǒng)一解釋．

2 模型建立

如圖2所示，假設(shè)導(dǎo)線A與B軸線間距為a，導(dǎo)線半徑為r．

圖2 電流反向情況下導(dǎo)線外部磁場的矢量疊加圖

由于該平行長直導(dǎo)線磁場具有上下平移不變性，故將沿導(dǎo)線方向單位高度內(nèi)的空間磁場能量求解轉(zhuǎn)化為平面問題．又因為磁場能量密度的原點對稱和軸對稱性，所以只在第一象限進(jìn)行計算分析．

下面分兩種情況進(jìn)行討論.

2.1 電流反向情況

設(shè)

(1)

于是第一象限內(nèi)兩根載流導(dǎo)線外任意一點M(x,y)點的磁感應(yīng)強度分別為B1和B2

(2)

從而第一象限內(nèi)，導(dǎo)線外M(x,y) 處兩載流導(dǎo)線的磁感應(yīng)強度的矢量疊加，即總磁場為

(3)

根據(jù)磁場能量密度與磁感應(yīng)強度關(guān)系，得到第一象限內(nèi)載流導(dǎo)線外的兩載流導(dǎo)線總磁場能量密度為

(4)

其中

同理，第一象限內(nèi)兩載流導(dǎo)線在導(dǎo)線A內(nèi)部任一點(x,y)處的磁感應(yīng)強度分別為B3和B4

(5)

從而第一象限內(nèi)，導(dǎo)線A內(nèi)(x,y) 處兩載流導(dǎo)線的磁感應(yīng)強度的矢量疊加，即總磁場為

(6)

于是載流導(dǎo)線內(nèi)的總磁場能量密度為

x2(r2-v)2}(8π2r4v2)-1

(7)

其中

2.2 電流同向情況

通過與反向通電導(dǎo)線相似的推導(dǎo)，第一象限導(dǎo)線外和導(dǎo)線內(nèi)的總磁場能量密度分別為

(8)

x2(r2+v)2}(8π2r4v2)-1

(9)

3 結(jié)果與討論

為了更加清晰地分析此問題，下面首先來看磁場能量密度的分布情況．

利用Mathcad仿真，可以分別得到電流反向情況下垂直電流方向的截面內(nèi)磁場能量密度等值線(圖3)、三維圖(圖4)，以及二維截面圖(圖5)，這里的參數(shù)設(shè)定為

r=0.001 m

a=10r

并定義下列約化磁場能量密度和約化磁場能量

圖3 電流反向情況下磁場能量密度等值線

圖4 電流反向情況下磁場能量密度三維圖

從圖3和圖4可以看出，在兩根導(dǎo)線外圍某些位置，磁場能量密度取峰值，而偏離那些位置時，不論是載流導(dǎo)線內(nèi)部還是外部，磁場能量密度都是快速下降，甚至趨于零，同時磁場能量密度具有較好的對稱性．

再看磁場能量密度的二維截面圖，也就是在平行于y軸做一系列參考線的分布圖，如圖5所示．

圖5 電流反向情況下磁場能量密度二維截面圖

但是當(dāng)參考線位置為x=r和x=6r時，磁場能量密度分布發(fā)生了明顯變化，極大值點不斷減少，且曲線更為平坦并且最后能量密度趨于零．圖5告訴我們，不同參考線上的磁場能量密度峰值存在四峰、雙峰和單峰的情況，但是隨著參考線位置不斷向外移動，兩組雙峰不斷接近，在x=r參考線處四峰合為雙峰，之后這一組雙峰又在不斷接近，最終變成單峰．

電流同向條件下的磁場能量密度等值線和截面圖的情形與反向情況類似，具體細(xì)節(jié)如圖6和圖7所示.

圖6 電流同向情況下磁場能量密度等值線

圖7 電流同向情況下磁場能量密度截面圖

根據(jù)以上討論的磁場能量密度，可以計算在沿導(dǎo)線方向單位高度構(gòu)成的空間區(qū)域內(nèi)的總磁場能量．首先計算第一象限中載流導(dǎo)體內(nèi)的能量

(10)

(11)

(12)

(13)

考慮到磁場能量密度的對稱性，于是得到整個空間區(qū)域(4個象限)內(nèi)的總磁場能量為

E(a)=4[E1(a)+E2(a)+E3(a)+E4(a)]

(14)

從而磁場能量和導(dǎo)線間距的關(guān)系可以統(tǒng)一地通過數(shù)值計算得到，圖8是使用Mathcad軟件對磁場能量E(a)進(jìn)行數(shù)值計算的結(jié)果．

圖8 電流反向情況下磁場能量隨導(dǎo)線間距a變化

同理得到電流同向時的總磁能E′(a)和導(dǎo)線間距的關(guān)系如圖9所示.

圖9 電流同向情況下磁場能量隨導(dǎo)線間距a變化

從圖8可以看出，若平行導(dǎo)線中電流反向，則增大兩導(dǎo)線距離時磁場能量增加，但是增大的趨勢不斷減緩．而從圖9可以看出，若平行導(dǎo)線中電流同向，則隨著導(dǎo)線距離的增大，磁場能量將會減小，但是減小的趨勢同樣地不斷趨緩．

4 結(jié)束語

本文以平行載流直導(dǎo)線的磁場能量分布這個大學(xué)物理課程中的基本問題為案例，通過解析計算兩根平行長直載流導(dǎo)線的磁場能量密度分布，以及數(shù)值分析沿導(dǎo)線方向單位長度空間內(nèi)的總磁能，給出了此基本問題的一個合理直觀的理論描述．