高 祿, 亓曉曼, 肖 珂, 宋漢全
(中國地質大學(北京) 數(shù)理學院, 北京 100083)
鬼成像(Ghost Imaging, GI),也被稱為關聯(lián)成像或者符合成像,具有傳統(tǒng)光學成像所不具備的多種優(yōu)點,如非定域性、超分辨率、無透鏡成像以及抗干擾能力強等特點[1-2]。鬼成像系統(tǒng)中包括“閑置光”和“探測光”兩個光路,“探測光”照射物體后的總光強值由一個不具備空間分辨率的探測器收集,即進行“桶測量”;“閑置光”光路中的光束自由傳遞至探測器,光強的空間分布信息被CCD(Charge-coupled Device)探測器記錄下來。兩個光路中的任何一路的觀測數(shù)據(jù)都無法獲得被測物體的信息,然而經(jīng)過光場強度關聯(lián)計算后卻可獲得被測物體的圖像,因此人們形象地稱之為“鬼”成像[3]。這種新型的量子關聯(lián)成像方式在遙感[4-5]、醫(yī)學[6]、顯微成像[7],以及彈載、星載成像探測[8]等各領域具有潛在的應用價值。
1988年,Klyshko[9]首次從理論上提出利用糾纏光子對進行關聯(lián)成像的方案。1995年,史硯華研究小組首次利用糾纏光子對實現(xiàn)了量子成像和量子干涉實驗[10]。2002年,Boyd等[11]首次利用經(jīng)典光源實現(xiàn)了鬼成像,由此證明了非相干的經(jīng)典光源也能夠實現(xiàn)鬼成像,這一研究降低了鬼成像光源獲取的難度,促進了鬼成像的實際應用發(fā)展。隨后,計算關聯(lián)成像、差分關聯(lián)成像的提出以及壓縮感知算法的應用研究,極大地提高了關聯(lián)成像的信息獲取效率和圖像質量[12-18]。
對于空間頻率非相干熱光源鬼成像方案,獲取待測物體圖像信息需要對大量的采集數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計平均,而高質量的圖像必然要以龐大的數(shù)據(jù)量為代價。這樣的采集過程很大程度地制約了成像效率,是鬼成像探測系統(tǒng)在實際應用中的一個最大弊端。本文通過理論研究與實驗驗證,在壓縮感知鬼成像原理基礎上[19-20],提出隨機正交匹配追蹤算法,利用極少量測量數(shù)據(jù)即可再現(xiàn)待測物體的主要信息,從而能夠更好地促進熱光鬼成像系統(tǒng)在實際中的應用。
實驗裝置如圖1所示。He-Ne激光器發(fā)出的波長為632.8 nm激光束通過1個反射鏡M的反射后,穿過兩個偏振片P1和P2,之后光束照射到勻速旋轉的毛玻璃RG上,產(chǎn)生了空間頻率隨機分布的非相干贗熱光源。N為放置在毛玻璃RG之前的透鏡組,用來調節(jié)照射到毛玻璃上的激光橫截面尺寸的大小。實驗中贗熱光發(fā)出的光束穿過光闌Iris后,被50/50非偏振分束器BS分成光強相同的兩束光。待測物體T緊貼探測器D1放置,光束經(jīng)待測物體T后被探測器收集,進行“桶測量”,該光路稱為測試光路;另一光路中的光自由傳播到探測器處,探測器可獲得光場橫截面的光強分布,該光路為參考光路。實驗中,可以通過調節(jié)光闌孔徑的大小來控制贗熱光源的橫截面尺寸,進而調控關聯(lián)成像的分辨率和可見度。BS距兩個探測器和的距離均為30 cm,即探測光路和參考光路的光程相等。實驗中所選擇的待成像的物體是透射型的振幅物體,物體大小為1 cm×1 cm,透光部分呈字母“C”的形狀,長寬均為600 μm,透光部分線寬為150 μm,其余部分均不透光。
He-Ne-激光器;M-平面反射鏡;P1,P2-偏振片;N-擴束器;RG-旋轉毛玻璃;Iris-光闌;BS-50/50非偏振分束器;D1,D2-CCD探測器;T-待測物體; C.C.-關聯(lián)測量
圖1 熱光源無透鏡鬼成像實驗裝置圖
熱光關聯(lián)成像的理論基礎是熱光場的二階關聯(lián)特性。被測物體的圖像是通過兩個探測器橫截面光場的二階關聯(lián)函數(shù)所獲取。根據(jù)高斯矩定理,當光場函數(shù)滿足高斯統(tǒng)計分布時,高階關聯(lián)函數(shù)可以用一階關聯(lián)表示。熱光場的二階關聯(lián)函數(shù)可以寫作:
G(2)(r1,r2,t1,t2)=〈E*(r1,t1)E(r1,t1)〉·
〈E*(r2,t2)E(r2,t2)〉+〈E*(r1,t1)E(r2,t2)〉·
〈E*(r2,t2)E(r1,t1)〉=G(1)(r1,t1)G(1)(r2,t2)+
|G(1)(r1,t2)|2
(1)
式中:E(ri,ti) (i=1,2)表示探測器D1和D2處的光場函數(shù);第1項表示探測器D1和D2處強度分布的乘積,理想情況下是一個常數(shù),通常視為直流背景項;第2項表示光場強度的關聯(lián),即光場的關聯(lián)信息。
歸一化二階關聯(lián)函數(shù)可以表示為:
g(2)(r1,r2,t1,t2)=
(2)
g(2)在完全非相干光的理想情況下數(shù)值為2,在一般的部分非相干光源情況下,其測量值介于1和2之間,數(shù)值越接近2表明關聯(lián)圖像的可見度越高。
Candes等提出了壓縮感知理論,該理論不同于傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理。它指出,如果待測信號是可壓縮的或者稀疏的,那么就能夠使用一個觀測矩陣將其投影到低維空間上,然后通過求解最優(yōu)化問題,從投影中重構出信號。壓縮感知算法打破了奈奎斯特采樣定理的采樣速率限制,將信號的采樣與壓縮編碼同時進行。壓縮感知包括稀疏表示、線性觀測以及算法重構3個環(huán)節(jié)。
根據(jù)關聯(lián)成像的基本原理,桶測量的每個觀測值都與物體的透射函數(shù)T(x,y)有關。如果將桶測量第r次獲得的探測值記為Br,Ir(x,y),則表示參考光路的光強分布可以通過下式計算出具體值:
(3)
對物體進行M次采樣后,可以得到M組Br和Ir(x,y)。為了恢復物體的透射函數(shù),將桶測量值與參考光路的強度測量矩陣進行關聯(lián),即:
(4)
根據(jù)式(3),將桶測量值Br作為觀測值,將光強矩陣Ir(x,y)作為觀測矩陣,則可以將信號重構問題歸結為優(yōu)化問題:
(5)
在壓縮感知算法中,不同的重構算法得出的結果有很大的差異,本文主要對正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法進行討論。正交匹配追蹤的核心思想是,每次循環(huán)通過計算殘差與觀測矩陣每1列的內(nèi)積,找出內(nèi)積最大也就是兩者最相似的1列,然后根據(jù)最小二乘法就能夠最大程度地求解出殘差最小的原始信號估值。在運用OMP算法重構關聯(lián)影像時,雖然能夠將影像的主要信息提取出來,但是重構圖像并不具有良好的連續(xù)性,信息缺失比較嚴重。尤其是在測量幀數(shù)比較多的情況下,算法恢復的圖像并不會表現(xiàn)出較好的可見度和分辨率。這是由于在使用正交匹配追蹤算法時,并沒有充分運用所采集的待測物體的數(shù)據(jù)信息,隨著測量幀數(shù)的增多,此缺點愈加明顯。
首先進行了熱光鬼成像實驗,所采用的實驗方案為無透鏡成像。實驗中采集了不同的統(tǒng)計平均幀數(shù),分別計算二階關聯(lián)函數(shù)值,實驗結果如圖2所示。圖2的結果顯示對于相同的實驗裝置和待成像物體,在實驗參數(shù)完全相同的情況下,采集的隨機幀數(shù)越多,圖像的可見度越高。當統(tǒng)計幀數(shù)低于1 000幀時,圖像質量隨著幀數(shù)的增加明顯提高。當統(tǒng)計平均幀數(shù)從1 000幀逐步增加到5 000幀時,圖像質量趨于穩(wěn)定,即當統(tǒng)計幀數(shù)達到一定數(shù)量時,圖像質量保持不變。由此可見,若想進一步提高圖像的質量,需要采用其他的方法。
(a) 100幀
(b) 300幀
(c) 500幀
(d) 1 000幀
(e) 3 000幀
(f) 5 000幀
圖2 不同統(tǒng)計幀數(shù)熱光關聯(lián)無透鏡鬼成像結果
首先利用OMP算法針對300幀、1 000幀以及5 000幀的數(shù)據(jù)進行相對應的數(shù)據(jù)處理,將物體的主要信息從光強測量中提取出來,得到如圖3所示的結果圖。圖3的結果顯示,即使用少量的采集數(shù)據(jù)(如300幀),也能夠獲得比較清晰的待測物體“C”的圖像,1 000幀和5 000幀的OMP恢復圖像結果相對于300幀的圖像恢復結果而言,圖像的連續(xù)性和清晰度有所改善,但是改善效果并不明顯。
圖3中的恢復圖像與原始關聯(lián)影像相比較而言,只有“信號”部分有數(shù)值,而其余部分都為零,因而可以認為圖像的信噪比為無窮大。然而圖像信噪比大幅提高的同時,由于數(shù)據(jù)缺失比較嚴重,只能利用算法恢復識別出物體的外形輪廓。由此可見,OMP算法能夠在測量幀數(shù)較少的情況下實現(xiàn)對待測物體的外形輪廓識別,在遠程非定域物體識別方面極具應用價值。
為了進一步提高熱光關聯(lián)成像壓縮感知算法恢復圖像的質量,在OMP算法的基礎上提出RandOMP算法。對500幀、1 000幀以及5 000幀的原始數(shù)據(jù)進行處理,算法的處理過程為:從觀測數(shù)據(jù)中隨機選取了500幀數(shù)據(jù)進行一次OMP處理,共選取了500次得到500個OMP重構結果,然后對這500組結果求平均,最終得到優(yōu)化解。將RandOMP處理的結果與原始熱光關聯(lián)以及使用OMP算法處理的圖像進行了對比分析,所得結果如圖4所示。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
圖3 OMP算法處理的熱光關聯(lián)成像結果
(a),(b),(c)分別表示300幀、1 000幀以及5 000幀的原始關聯(lián)圖像;(d),(e),(f)分別表示300幀、1 000幀以及5 000幀的經(jīng)過OMP算法處理的結果
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
圖4 熱光關聯(lián)圖像、OMP處理圖像及RandOMP處理圖像結果
(a), (b)和(c): 500幀關聯(lián)圖像、OMP和RandOMP處理結果;(d),(e)和(f):1 000幀關聯(lián)圖像、OMP及RandOMP處理結果;(g),(h)和(i):5 000幀關聯(lián)圖像、OMP及RandOMP處理結果。
將圖3和圖4的重構圖像進行對比分析可以得知,RandOMP重構算法相比于傳統(tǒng)的OMP重構算法而言,主要具有以下兩方面的優(yōu)勢:
(1) RandOMP重構算法的運行時間更短。由于每次循環(huán)都是使用抽稀后的矩陣執(zhí)行OMP重構過程,相比于直接使用原始矩陣進行OMP重構,運行速度明顯提高。這種運行速度提高的優(yōu)勢會隨著采集幀數(shù)的增加,測量矩陣的增大,而越發(fā)明顯。
(2)RandOMP重構算法對圖像信息的挖掘更充分,重構圖像的質量更高。由圖4給出的3列對比圖像結果可以看出相同采集幀數(shù)的情況下,RandOMP的恢復圖像連續(xù)性更好,更有利于對待測物體細節(jié)的分辨,這是因為RandOMP算法與OMP算法相比損失的圖像信息更少。
將壓縮感知的OMP算法應用于熱光無透鏡關聯(lián)成像的實驗方案中。實驗結果表明,僅需要300幀的少量采集數(shù)據(jù)即可很好地將振幅型待測物體的信息提取,恢復出物體的外形輪廓。OMP算法為熱光關聯(lián)成像系統(tǒng)利用少量數(shù)據(jù)進行物體識別提供了可靠的科學依據(jù)。進一步,在OMP算法基礎上提出改進的RandOMP算法,并且應用于熱光關聯(lián)成像實驗中。實驗結果表明,RandOMP算法可以明顯地提高獲取再現(xiàn)圖像的質量,相比于OMP算法可以大幅提高重構圖像的連續(xù)性,可以應用于熱光關聯(lián)成像系統(tǒng)在復雜物理環(huán)境下的探測。