陳陽(yáng)隆， 馬彥恒， 侯建強(qiáng)

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)無(wú)人機(jī)工程系， 河北 石家莊 050003)

傳統(tǒng)的預(yù)防性維修主要是指定期維修，它存在維修不足或維修過(guò)剩的問(wèn)題[1]。隨著現(xiàn)代科學(xué)理論與技術(shù)的發(fā)展，視情維修逐漸發(fā)展成為預(yù)防性維修的主要方式?；谡J(rèn)知測(cè)試性設(shè)計(jì)[2]的裝備可以實(shí)時(shí)的評(píng)估自身狀態(tài)。當(dāng)裝備狀態(tài)不滿足任務(wù)要求時(shí)，可視情制定維修策略，安排相應(yīng)的維修措施，使裝備及時(shí)、準(zhǔn)確地消除潛在隱患，提高運(yùn)行的可靠性，降低突發(fā)故障帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)損失及安全問(wèn)題。

在視情維修決策建模中，維修效果是對(duì)失效單元修后性能恢復(fù)程度的衡量。維修效果主要包括完全維修(修復(fù)如新)、不完全維修和最小維修(修復(fù)如舊)，其中基于完全維修和最小維修的建模理論相對(duì)較為完善[3]。由于不完全維修介于完全維修和最小維修之間，其更加貼合工程實(shí)際，已成為當(dāng)前維修建模研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[4]。如：WU等[5]介紹了現(xiàn)有不完全維修模型中存在的共性問(wèn)題，并依據(jù)維修后系統(tǒng)的退化方式，將不完全維修模型分為線性與非線性2大類；程志君等[6]采用馬爾科夫鏈建立了系統(tǒng)退化維修模型，通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移率表征不完全維修；潘剛等[7]采用Semi-Markov模型描述裝備單元的性能衰退過(guò)程,提出了預(yù)防性維修和修復(fù)性維修相結(jié)合的不完全維修決策方法；LIU等[8]將裝備單元的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率與維修次數(shù)相關(guān)聯(lián),采用準(zhǔn)更新過(guò)程理論描述裝備單元的壽命變化情況，建立了基于非齊次連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫視情維修決策模型。

綜上所述可以看出：當(dāng)前研究?jī)H考慮了維修次數(shù)對(duì)維修效果的影響，且建立的不完全維修模型雖然表達(dá)了維修效果中的修復(fù)非新思想，但并未考慮維修后裝備單元衰退速度的變化。筆者首先將維修費(fèi)用和維修次數(shù)引入不完全維修模型，并假設(shè)各裝備單元維修后均處于最高性能狀態(tài)(并非修復(fù)如新)；其次，采用性能狀態(tài)衰退速度來(lái)描述不完全維修的維修效果，采用齊次馬爾科夫模型來(lái)表征裝備單元的衰退規(guī)律；最后，結(jié)合準(zhǔn)更新過(guò)程建立不完全維修模型，并針對(duì)不同裝備系統(tǒng)的任務(wù)性能需求，尋找最優(yōu)的裝備單元維修費(fèi)用和更換策略，實(shí)現(xiàn)裝備系統(tǒng)單位時(shí)間的凈效益最大化。

1 模型假設(shè)與描述

1.1 模型假設(shè)

1) 裝備系統(tǒng)L由M個(gè)裝備單元s構(gòu)成，其中連接方式可以是任意的，如串并聯(lián)結(jié)構(gòu)。

2) 裝備單元s(s=1,2,…,M)有ks個(gè)不同的狀態(tài)。其中：g(s,i)為裝備單元s處于狀態(tài)i(i=1,2,…,ks)時(shí)的性能水平，表征裝備單元s對(duì)裝備系統(tǒng)正常運(yùn)行的貢獻(xiàn)度；ps,i(t)為裝備單元s在t時(shí)刻處于狀態(tài)i的概率。

3) 裝備單元的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程符合齊次馬爾科夫模型。

4) 裝備單元狀態(tài)監(jiān)測(cè)費(fèi)用忽略不計(jì)，當(dāng)監(jiān)測(cè)到裝備單元狀態(tài)低于維修閾值時(shí)，即進(jìn)行預(yù)防性維修或更換，且維修為不完全維修，同時(shí)預(yù)防性維修成本<更換成本。

5) 維修效果與維修費(fèi)用有關(guān)，其函數(shù)關(guān)系可通過(guò)歷史數(shù)據(jù)得到。

6) 裝備單元每次維修的維修費(fèi)用是一致的。

7) 優(yōu)化目標(biāo)為在滿足裝備系統(tǒng)的任務(wù)性能需求下，優(yōu)化裝備單元s的維修費(fèi)用cs和更換策略Ns(即預(yù)防性維修次數(shù))，使裝備系統(tǒng)單位時(shí)間的凈效益最大。

8) 裝備單元采取維修措施后，裝備恢復(fù)到最高性能狀態(tài)，但并非修復(fù)如新，修復(fù)后的裝備單元的性能衰退速度加快，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移率會(huì)增大。

1.2 模型描述

隨著認(rèn)知測(cè)試性技術(shù)的發(fā)展，可以實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)裝備中各裝備單元的狀態(tài)。當(dāng)裝備單元狀態(tài)低于維修閾值時(shí)，可采取維修或更換措施，使其得到不同程度的恢復(fù)。當(dāng)采取維修措施時(shí)，修后裝備單元的狀態(tài)為不完全修復(fù)狀態(tài)，且隨著維修次數(shù)的增加，裝備單元的可靠性將快速下降，進(jìn)而影響裝備任務(wù)的完成。因此，筆者考慮不完全維修，根據(jù)裝備系統(tǒng)的任務(wù)性能需求，建立裝備單元維修與更換策略權(quán)衡優(yōu)化模型，為裝備系統(tǒng)中每個(gè)單元選擇最優(yōu)的維修費(fèi)用和更換策略，使裝備系統(tǒng)單位時(shí)間的凈效益最大，即

C=Cp-Cq-Ca；

(1)

(2)

2 模型建立

2.1 基于齊次馬爾科夫模型的裝備單元瞬時(shí)狀態(tài)概率模型

采用馬爾科夫模型[9]的離散狀態(tài)來(lái)描述裝備單元的性能狀態(tài)。設(shè)X(t)∈{1,2,…,k}為裝備單元在任意時(shí)刻t的狀態(tài)集合，則根據(jù)馬爾科夫性有

P{X(tn)=xn|X(t1)=x1,X(t2)=x2,…,

X(tn-1)=xn-1}=P{X(tn)=

xn|X(tn-1)=xn-1}，

(3)

式中：X(tn)=xn，表示在tn時(shí)刻裝備單元的狀態(tài)為xn，0≤t1

裝備單元在t(t≥0)時(shí)刻的狀態(tài)i(i=1,2,…,k)，經(jīng)Δt(Δt≥0)后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j(j=1,2,…,k，j≠i)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

Qi,j(t,t+Δt)=P{X(t+Δt)=j|X(t)=i}=

λi,j(t)·Δt+o(Δt),i≠j，

(4)

式中：λi,j(t)為裝備單元在t時(shí)刻離開(kāi)狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率；o(Δt)為Δt的高階無(wú)窮小。若λi,j(t)為與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，則該過(guò)程為齊次馬爾科夫過(guò)程；反之，則為非齊次馬爾科夫過(guò)程。

由圖1可知：裝備單元s的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣

(5)

(6)

2.2 基于準(zhǔn)更新過(guò)程的單元穩(wěn)態(tài)概率模型

設(shè)裝備單元最低狀態(tài)為維修閾值狀態(tài)，當(dāng)達(dá)到該狀態(tài)時(shí)，立即對(duì)裝備單元進(jìn)行維修。修后裝備單元恢復(fù)至最高性能狀態(tài)，但并非修復(fù)如新，在新的運(yùn)行周期中裝備單元的性能衰退速度將加快。運(yùn)用準(zhǔn)更新過(guò)程理論[11-12]，將裝備單元第r-1次與第r次維修之間的時(shí)間間隔定義為第r次維修周期，采用隨機(jī)變量Hr來(lái)描述第r次維修周期中裝備單元的壽命，且滿足

H1=Z1,H2=αZ2,…,Hr=αr-1Zr,

(7)

式中：Zr為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量;H1,H2,…,Hr,…為一個(gè)以α(α>0)為參數(shù)的準(zhǔn)更新過(guò)程。在不同維修周期中,裝備單元壽命的變化情況為：當(dāng)0<α<1時(shí)，裝備單元壽命隨著維修周期的增加而減?。划?dāng)α=1時(shí)，裝備單元壽命保持不變；當(dāng)α>1時(shí)，裝備單元壽命隨著維修周期的增加而增加。且有

(8)

采用裝備單元的狀態(tài)概率表示可靠度，結(jié)合式(8)與可靠性理論可得[13-14]：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：

(13)

(14)

(15)

2.3 維修成本與維修效果關(guān)系模型

(16)

2.4 考慮不完全維修的權(quán)衡優(yōu)化模型

通用生成函數(shù)作為一種簡(jiǎn)潔、高效的離散隨機(jī)變量組合運(yùn)算工具，已被廣泛地運(yùn)用于裝備系統(tǒng)的狀態(tài)評(píng)估和可靠性研究等領(lǐng)域中。裝備是由一系列裝備單元按一定的結(jié)構(gòu)關(guān)系構(gòu)成的有機(jī)整體，因此可采用通用生成函數(shù)[15]由裝備單元的穩(wěn)態(tài)概率分布計(jì)算出裝備系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布。由式(12)求出的裝備單元s的穩(wěn)態(tài)概率分布的通用生成函數(shù)為

(17)

式中：z沒(méi)有具體的取值，主要用于區(qū)分狀態(tài)性能g(s,i)和對(duì)應(yīng)的概率ps,i。則整個(gè)裝備的穩(wěn)態(tài)概率分布為

UL(z)=?{u1(z),u2(z),…,uM(z)}=

(18)

式中：“?”為通用生成函數(shù)中的求和算子；is(s=1,2,…,M)為裝備單元s的狀態(tài)變量，pL,i為裝備系統(tǒng)L在狀態(tài)i的穩(wěn)態(tài)概率；g(L,i)為裝備系統(tǒng)L在狀態(tài)i時(shí)的性能水平;kL為裝備系統(tǒng)最大可能的狀態(tài)數(shù)；W(·)為裝備系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。當(dāng)電流傳輸型系統(tǒng)由2個(gè)單元串聯(lián)組成時(shí)，有

W(g1,g2)=min{g1,g2}；

(19)

若為并聯(lián),則有

W(g1,g2)=g1+g2。

(20)

根據(jù)式(1)裝備系統(tǒng)單位時(shí)間的凈效益和裝備系統(tǒng)單位時(shí)間的性能水平的期望值，可得裝備系統(tǒng)單位時(shí)間的性能水平回報(bào)

(21)

式中：ce為裝備系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)單位性能水平下的回報(bào)量。

在策略Ns下，裝備單元s的單位時(shí)間維修費(fèi)用

(22)

則整個(gè)裝備系統(tǒng)單位時(shí)間的維修費(fèi)用

(23)

設(shè)裝備系統(tǒng)的最低任務(wù)性能需求水平為w,當(dāng)裝備系統(tǒng)性能水平低于w時(shí)，需要進(jìn)行補(bǔ)償，則裝備系統(tǒng)性能水平不滿足任務(wù)需求水平w時(shí)，帶來(lái)的性能補(bǔ)償

(24)

式中：cf為裝備系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)單位性能水平不足時(shí)的補(bǔ)償量。

為使裝備系統(tǒng)單位時(shí)間的凈效益C最大，需要優(yōu)化為裝備單元s安排的維修費(fèi)用cs與更換策略Ns,權(quán)衡優(yōu)化模型如式(2)所示。

為了解決求解空間維數(shù)爆炸問(wèn)題，將裝備單元s的維修分為v(v=1,2,…,ns)個(gè)等級(jí)，則第v個(gè)維修等級(jí)對(duì)應(yīng)的維修費(fèi)用

(25)

3 算例分析

以某無(wú)人機(jī)控制裝備為例，其由3個(gè)裝備單元構(gòu)成，如圖2所示。其中：?jiǎn)卧?、2有3個(gè)不同的性能水平，單元3有4個(gè)不同的性能水平。性能水平代表處于該狀態(tài)的裝備單元對(duì)裝備正常運(yùn)行的貢獻(xiàn)度，一般狀態(tài)i越低，其對(duì)應(yīng)的性能水平g(s,i)也將越小，一般結(jié)合裝備歷史數(shù)據(jù)通過(guò)分析裝備性能得到。裝備單元的性能水平與狀態(tài)轉(zhuǎn)移的率相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

單元性能水平/%狀態(tài)轉(zhuǎn)移率/(次·月-1)1g(1,3)=30λ13,2=0.30,λ13,1=0.40g(1,2)=20λ12,1=0.50g(1,1)=0 —2g(2,3)=45λ23,2=0.30,λ23,2=0.35g(2,2)=30λ22,1=0.45g(2,1)=0 —3g(3,4)=90λ34,3=0.30,λ34,2=0.35,λ34,1=0.40g(3,3)=70λ33,2=0.50,λ33,1=0.65g(3,2)=40λ32,1=0.85g(3,1)=0 —

根據(jù)各裝備單元的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率，通過(guò)求解Kolmogorov微分方程組可得到各裝備單元的瞬時(shí)狀態(tài)概率分布分別為

P1(t)=(p1,1(t),p1,2(t),p1,3(t))=

P2(t)=(p2,1(t),p2,2(t),p2,3(t))=

P3(t)=(p3,1(t),p3,2(t),p3,3(t),p3,4(t))=

(1-2e-1.15t+5.25e-1.05t-4.25e-0.85t,

5e-1.15t-9.25e-1.05t+4.25e-0.85t,

3(e-1.05t-e-1.15t),e-1.05t)。

各裝備單元的相關(guān)維修參數(shù)如表2所示。其中

表2 裝備單元s的維修決策參數(shù)

費(fèi)用單位為元。

在裝備單元更換策略下，可得到裝備系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率。根據(jù)式(18)可計(jì)算出裝備系統(tǒng)的狀態(tài)性能水平及其對(duì)應(yīng)的概率。設(shè)ce=2,cf=0.8，w=60%，應(yīng)用遺傳算法可得到裝備系統(tǒng)的優(yōu)化結(jié)果，如表3所示。

表3 某無(wú)人機(jī)控制裝備維修決策優(yōu)化結(jié)果

由表3可以看出：

1) 類型1的維修策略為：每次失效后安排的維修費(fèi)用為400元，并在第3次失效后安排更換，其裝備系統(tǒng)的最大單位時(shí)間凈效益為5 602元；

2) 類型2為傳統(tǒng)的完全維修，即每次失效后采取更換措施，其裝備系統(tǒng)最大單位時(shí)間的凈效益比類型1減少31%；

3) 類型3為失效后對(duì)所有裝備單元采取相同維修等級(jí)(假設(shè)所有裝備單元都采取第2個(gè)維修等級(jí)，v=2),其裝備系統(tǒng)最大單位時(shí)間的凈效益比類型1減少1%；

4) 類型4為將裝備的任務(wù)需求性能水平降為w=20%，其裝備系統(tǒng)最大單位時(shí)間的凈效益比類型1增加21%。

通過(guò)以上類比分析表明：筆者將裝備單元性能與裝備系統(tǒng)性能進(jìn)行關(guān)聯(lián)，考慮了不完全維修和裝備的任務(wù)需求性能水平，建立的權(quán)衡優(yōu)化模型可給出最優(yōu)的裝備單元維修與更換策略。

4 結(jié)論

從維修實(shí)際出發(fā)，對(duì)裝備單元進(jìn)行不完全維修，采用裝備單元狀態(tài)的衰退速度衡量裝備單元的維修效果，建立考慮不完全維修的裝備單元維修與更換策略權(quán)衡優(yōu)化模型，并通過(guò)算例驗(yàn)證了模型的有效性；利用該模型得出裝備系統(tǒng)的最優(yōu)維修費(fèi)用與更換策略，既能保證裝備系統(tǒng)任務(wù)的順利完成，又可實(shí)現(xiàn)裝備系統(tǒng)單位時(shí)間的凈效益最大化，進(jìn)而避免過(guò)度維修帶來(lái)的損失；裝備系統(tǒng)在運(yùn)行中，當(dāng)某一裝備單元狀態(tài)達(dá)到維修閾值時(shí)，將觸發(fā)維修機(jī)制。由于

裝備系統(tǒng)是由眾多裝備單元組成的，因此易造成裝備系統(tǒng)停機(jī)頻率高的問(wèn)題，為此，下一步將結(jié)合機(jī)會(huì)維修策略進(jìn)一步完善模型，解決復(fù)雜裝備系統(tǒng)因維修造成的停機(jī)頻率過(guò)高的問(wèn)題。