摘要：熱學是普通物理學的重要組成部分，而熱能在工程上的應用也十分廣泛，所以學好熱學具有較高的實際價值。熱學的理論部分之間相互聯系并且層層遞進，對某一理論的仔細分析與深刻認識對于熱學的整體學習也有著促進作用。

關鍵詞：統(tǒng)計物理學 ? 熱力學 ? 溫度

我們在學習普通物理熱學部分時常常聽到“內能是溫度的單值函數”這一論斷，有時這一結論也作為理想氣體的定義內容之一。內能是能量，而溫度是狀態(tài)參數，將這一論斷進一步表述也就是說對于任意一個確定的溫度（自變量）都對應著一個確定的內能（應變量）。首先我們討論的對象是氣體，因為熱能動力裝置的工質大多是氣體，其次這一結論的推導過程都需要氣體是理想氣體，所以可以初步得出當討論對象是理想氣體時才能運用這一結論。下面將分三個步驟仔細分析推導，得出理想氣體的內能公式。

一、什么是理想氣體

我們都知道氣體是由大量分子組成的，其密度一般要比液體和固體小得多，現實中的氣體是比較復雜的。理想氣體如同質點一樣是一種抽象模型，實際上在現實中理想氣體并不存在，但是在誤差允許范圍內一般氣體都可以近似認為是理想氣體。我們在討論質點時是忽略微小的次要因素而突出主要因素，這里也用到了同樣的思想方法。那么理想氣體具有哪些特征？

從宏觀上看，實驗表明，一般氣體在密度不太高、壓強不太大（與大氣壓比較）和溫度不太低（與室溫比較）的實驗范圍內，滿足理想氣體物態(tài)方程：

也就是說，如果討論對象是理想氣體，則默認該氣體在變化范圍內都無條件服從理想氣體物態(tài)方程，不會超出常態(tài)而不再滿足該方程。

從微觀上看，理想氣體具有一定的微觀模型，主要表現在兩個方面：

第一個方面，理想氣體是非常多個質點的無規(guī)則運動。

在常態(tài)下，氣體分子本身線度相比與分子間距離是十分微小的，約是分子距離的1/20。氣體分子力的作用距離很短，而且分子間表現為吸引力時的作用力相比于碰撞時很小，所以分子間除了相互碰撞的瞬間外可以認為互不影響。同時氣體分子之間以及氣體分子和器壁之間的碰撞可以認為是完全彈性碰撞，能量不會因碰撞而損失。上述微觀模型表明，理想氣體可以看做是一個分子在不斷碰撞的自由運動的質點系。

第二個方面，既然分子熱運動是一種無規(guī)則運動，那么它就具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性。

氣體分子在從非平衡態(tài)達到平衡態(tài)時經歷了分子間或與器壁間的不斷碰撞，最終達到熱運動平衡，而氣體分子質量較輕，受重力影響較小，不難想象，在最終這樣一種平衡態(tài)中，氣體分子應該是均勻分布，也就是說分子數密度處處相等。

某一個氣體分子在某一時刻的運動速率與運動方向都是隨機的，由此可以得出分子速度在三個維度的平方平均值相等，即：

理想氣體的物態(tài)方程和微觀模型是我們推導以下公式的基礎，如果沒有這些條件，就不能得出最終的結果。

二、理想氣體的壓強

對于固體，它對另一物體的壓強我們一般認為是穩(wěn)定的，不變的。那么對于氣體而言，從微觀角度看，氣體分子不斷撞擊器壁，雖然分子速度大小不一，撞擊力度不同，但是分子數足夠多，撞擊足夠頻繁，這時候在宏觀上所表現出來的力就近似穩(wěn)定不變，而且?guī)缀跆幪幭嗟?，這就是氣體壓強的微觀解釋。下面我們來具體分析決定氣體壓強的因素。

為方便分析，我們選取一個長方體的容器，里面充滿了N個同種氣體分子，并且已經達到穩(wěn)定狀態(tài)，它的左右兩壁面面積為ab，長度為c。下面來研究左右兩壁面的壓強，此時只需考慮氣體分子的水平速度分量。

首先假設容器內只有2個氣體分子（它們在水平方向上的速度分量不為0）。如果它們之間不發(fā)生碰撞，那么會不斷與器壁發(fā)生碰撞，對器壁產生沖量。如果它們之間發(fā)生碰撞，那么在完全彈性碰撞之后，動量和不變，又因為質量相等，所以速度矢量和不變，兩分子與沒碰撞的情形相比較，在同一時間對器壁產生同樣的沖量。這就表明，不管兩分子間是否發(fā)生碰撞，它們單位時間對器壁產生的沖量是相等的，這一結論很容易推廣到N個氣體分子的情形，所以我們研究這一問題時可以認為分子間無碰撞。

對于單個分子，它的質量為m0，它在某一時刻具有的速度是v，垂直于左右兩面的分量為vx，它先和右面發(fā)生彈性碰撞，其水平動量改變量是2m0vx，器壁受沖量為I0=2m0vx。這個分子來回撞擊一次器壁的時間為2c/vx，單位時間撞擊的次數是vx/2c，單位時間器壁平均所受沖量即平均受力為：

對于所有分子來說，單位時間器壁平均受力為：

體現在宏觀上，器壁所受壓強是均勻的，為器壁平均受力除以受力面積ab，即：

上式表明理想氣體的壓強與分子數密度以及分子平均平動動能有關。分子數密度越大，分子平均平動動能越大，分子撞擊器壁程度越劇烈，那么氣體的壓強就越大，這一結論和我們的直觀感受也一致。

這里需要明確幾點，雖然這一結論是由特殊的長方體容器推得，但是不難得出，對于任意形狀的容器，上述公式仍然適用。氣體產生的壓強本身是不連續(xù)，不恒定的，上式求得的是壓強的統(tǒng)計平均值，也就是壓強的微觀解釋，體現在宏觀上則是幾乎連續(xù)而穩(wěn)定。對于氣體內部壓強則應是各處均勻而且等于器壁所受壓強，因為如果內部放一無體積的器壁，仍能推出與上述一致的壓強公式。實驗還得出，混合氣體的壓強等于容器內只放有每一種氣體的壓強的代數和。

三、理想氣體的溫度

對于溫度的概念，一般的認識是物體的冷熱程度，一個物體的溫度越高我們就說它越熱。那對于理想氣體而言它的溫度高低代表著什么？上面我們已經導出了理想氣體的壓強公式（3），而理想氣體又是服從理想氣體物態(tài)方程（1）的，我們將這兩個式子聯立就能解出溫度關于平均平動動能的表達式：

其中k=R/NA=1.38×10-23J/K，是玻爾茲曼常量。這一式子告訴我們，理想氣體的溫度反應的是氣體分子的平均平動動能大小，反過來也可以說溫度是氣體分子平均平動動能的量度。值得注意的是，這一關系式并不能直接產生，而是因為從微觀上導出了氣體的壓強公式，又結合宏觀上理想氣體的物態(tài)方程間接得出。如果不去考慮具體的數量關系，我們可以說理想氣體分子的平均平動動能和溫度一一對應，也就是說理想氣體分子的平均平動動能是溫度的單值函數。

四、理想氣體的內能

氣體分子內部的能量稱為內能。由氣體動理論可以知道，氣體分子的運動有平動、轉動和振動3種。單原子分子只有3個自由度，都是平動自由度;雙原子分子具有3個平動自由度和2個轉動自由度;三原子以及三原子以上分子具有3個平動自由度和3個轉動自由度。對于一般氣體，常溫下沒有振動，也就沒有振動自由度，這里理想氣體只考慮剛性分子，即不發(fā)生振動。

氣體動理論又告訴我們，分子能量按照自由度平均分配，由平均平動動能和溫度的關系得出每個自由度分配到的能量為1/2kT。所以對于一種具有i個自由度的氣體，它的分子平均總動能為：

這樣我們就得出分子總動能也只是溫度的單值函數的結論，因為對于一種氣體分子它的自由度不會改變。而對于理想氣體，其內部分子勢能相對于動能十分微小，也就是分子勢能可以忽略不計，這也是理想氣體的定義之一。那么，對于理想氣體，它的內能也就是內部所有分子的總動能之和，即：

上式告訴我們，對于一定量的理想氣體，內能與物質的量、自由度、溫度有關。而對于某一實際氣體，它的物質的量和自由度都是確定的，都可以變成一個常數，只剩下一個變量T。至此，所有的推導得出了一個論斷，那就是“內能是溫度的單值函數”。

五、結語

根據以上分析，我們得出這樣的結論，如果被討論的對象滿足以下三點：

1.該物體是氣體。氣體具有質量小，密度小的特點，外場對于氣體的影響比較小，可以忽略不計，如重力場、地磁場等，氣體在短時間內可以保持一個較好的平衡態(tài)。

2.該氣體是理想氣體。服從理想氣體物態(tài)方程，并且具有一定的微觀模型。

3.該理想氣體由剛性分子組成。物體內能只包括內部分子的動能并且不考慮分子振動。

那么我們可以作出“內能是溫度的單值函數”這一論斷。

值得一提的是，雖然需要滿足的條件有三條，但在實際應用中的局限性并沒有那么大，因為一般氣體在常溫（或者溫度不太高且不太低）、常壓（或者壓強不太大且不太?。┫露寄艽笾聺M足以上條件，得出的結果誤差不會太大。而當氣體狀態(tài)超出常態(tài)較多時我們就需要對公式進行一定比例的修正或者用實驗的方法測出實驗真值。

參考文獻：

[1]程守洙.普通物理學[M].北京：高等教育出版社，2016.

（作者簡介：顧天賜，蘇州大學文正學院在讀大學生。）