朱偉偉

摘 要：利用傳遞矩陣法，在隨荷載移動(dòng)的動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系下建立了彈性地基上帶阻尼多跨梁的波傳播分析模型，分析了阻尼和失諧各自單獨(dú)作用以及同時(shí)存在對波動(dòng)速度帶的影響。研究表明，阻尼和失諧均會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)中發(fā)生波動(dòng)局部化，隨著阻尼和失諧程度的增大，波動(dòng)衰減增強(qiáng)。在速度通帶內(nèi)，阻尼和失諧引起的效應(yīng)可以簡單疊加。對于同一阻尼系數(shù)和失諧水平，阻尼引起的衰減效應(yīng)明顯大于失諧所致。

關(guān)鍵詞：周期梁 移動(dòng)荷載 失諧 阻尼 波動(dòng)特性

中圖分類號：O327；TH113 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2019）04（c）-0063-03

實(shí)際工程中移動(dòng)荷載經(jīng)常出現(xiàn)，并使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生強(qiáng)烈的振動(dòng)以及顯著的變形，因此，研究結(jié)構(gòu)中移動(dòng)荷載引起的波傳播問題得到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，但以往的研究對象主要集中在均勻結(jié)構(gòu)中。

近年來，一些學(xué)者開始致力于研究諧調(diào)周期結(jié)構(gòu)中由移動(dòng)荷載引起的波動(dòng)傳播現(xiàn)象。Aldraihem和Baz[1]利用有限單元法和沖量參數(shù)激振法研究了恒定移動(dòng)荷載作用下諧調(diào)周期階梯梁的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，研究發(fā)現(xiàn)通過調(diào)整階梯梁的空間間距可以改變結(jié)構(gòu)的某些振動(dòng)模態(tài)，從而提高其穩(wěn)定性，且壓電驅(qū)動(dòng)器的嵌入將會(huì)使結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定效果達(dá)到更佳。Ruzzene和Baz[2]針對軸對稱諧調(diào)周期加固圓柱殼，計(jì)算了傳遞矩陣的特征值，并給出了不同移動(dòng)荷載速度和結(jié)構(gòu)尺寸變化對波傳播動(dòng)力學(xué)的影響，指出周期結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載作用下存在傳播域和衰減域，周期性地加固結(jié)構(gòu)可以顯著改善殼體的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。Yu等[3]將該方法應(yīng)用到彈性地基上由兩種不同材料構(gòu)成的諧調(diào)周期復(fù)合管系統(tǒng)中，研究了恒定移動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)波傳播，明確指出類似于頻域，速度域內(nèi)同樣存在振動(dòng)帶隙，可以利用此特性控制移動(dòng)載荷下波動(dòng)的傳播。但是，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)總是不可避免地同諧調(diào)周期結(jié)構(gòu)存在一定的偏差，稱之為失諧。失諧會(huì)顯著地影響周期結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性[4-5]。對于帶阻尼失諧周期結(jié)構(gòu)，Bouzit和Pierre[6]以及王晶和于桂蘭[7]對比分析了頻域內(nèi)失諧和阻尼對多跨梁動(dòng)力特性的影響，指出不同激振頻率下，阻尼和失諧引起的梁動(dòng)力特性的變化規(guī)律相同。而到目前為止，關(guān)于帶阻尼失諧周期結(jié)構(gòu)由移動(dòng)荷載引起的波傳播問題的研究很少涉及，因此有必要對其進(jìn)行研究。

本文由彈性地基上梁的垂向波動(dòng)微分方程，建立了結(jié)構(gòu)中各跨在隨荷載移動(dòng)的動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系下的動(dòng)態(tài)剛度矩陣，并利用傳遞矩陣法得到了相鄰各跨的傳遞矩陣，進(jìn)而采用局部化因子分析了阻尼和失諧對波動(dòng)局部化特性的影響，為周期多跨梁的振動(dòng)控制提供了新的思路。

1 多跨梁波動(dòng)控制方程和傳遞矩陣

圖1為彈性地基上的多跨梁，荷載以速度沿梁移動(dòng)。相鄰跨間通過線彈簧和抗彎彈簧與基礎(chǔ)相連，線彈簧剛度和抗彎彈簧剛度分別為Ks和Cs。

利用Winkler地基和Timoshenko梁理論[8]，阻尼采用復(fù)阻尼，則移動(dòng)荷載下第j跨梁的彎曲波動(dòng)微分方程可寫為

利用傳遞矩陣，可以計(jì)算出d對互為相反的Lyapunov指數(shù)[9]，第d個(gè)Lyapunov指數(shù)λd即為局部化因子。對于本文中的諧調(diào)多跨梁結(jié)構(gòu)，相鄰跨間的傳遞矩陣Tj保持不變，且其維數(shù)為4×4，因此局部化因子為λ2。利用局部化因子即可分析失諧周期梁的波動(dòng)局部化現(xiàn)象。

2 算例及分析討論

根據(jù)上述理論模型，分析阻尼和失諧對移動(dòng)荷載下彈性地基上周期多跨梁波動(dòng)局部化特性的影響。所用到的幾何和材料參數(shù)如下：跨長為5m，彈性模量為2.11011N/m2，泊松比0.3，截面慣性矩3.05510-5m4，密度7800kg/m3，橫截面面積7.68410-3m2，截面剪切形狀系數(shù)0.4。無量綱地基剛度系數(shù)，彈簧的線剛度和抗彎剛度。本文設(shè)多跨梁的跨長lj發(fā)生失諧，且服從均值為l0=5m，變異系數(shù)為δ的均勻分布。

2.1 諧調(diào)帶阻尼梁

圖2給出了不同阻尼系數(shù)下，諧調(diào)周期多跨梁（δ=0）中彎曲波動(dòng)局部化因子隨荷載移動(dòng)速度的變化情況。由圖可知，當(dāng)阻尼系數(shù)η=0時(shí)，結(jié)構(gòu)中存在明顯的速度通帶和禁帶：如在速度區(qū)間m/s，局部化因子λ2>0，該區(qū)間即為速度禁帶，在速度禁帶內(nèi)，波動(dòng)將局限在移動(dòng)荷載附近；在速度區(qū)間m/s，局部化因子λ2=0，該區(qū)間即為速度通帶，在速度通帶內(nèi)，波動(dòng)能夠自由地傳播。對于帶阻尼多跨梁，原速度通帶內(nèi)局部化因子出現(xiàn)大于零的情況，并且隨著阻尼系數(shù)的增大而增加，波動(dòng)發(fā)生更大的衰減。在通帶區(qū)域邊界處，阻尼引起的衰減通常更大。同時(shí)，在低速度通帶內(nèi)，波動(dòng)衰減得更加強(qiáng)烈，而在高速度區(qū)，阻尼引起的衰減并不明顯。注意到，局部化因子在495和665 m/s附近時(shí)突然增大，這種現(xiàn)象是由于此時(shí)兩種波的衰減常數(shù)相等，即兩種波合并形成了一種衰減波，衰減程度增強(qiáng)。因而，可以通過調(diào)整結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)和荷載移動(dòng)速度來改變結(jié)構(gòu)的波傳播特性。

2.2 失諧無阻尼梁

圖3給出了跨長lj發(fā)生失諧，變異系數(shù)取不同值時(shí)，失諧無阻尼梁（η=0）中局部化因子隨荷載移動(dòng)速度的變化曲線。由圖可見，當(dāng)變異系數(shù)δ>0時(shí)，對應(yīng)δ=0為速度域通帶的區(qū)間，局部化因子出現(xiàn)大于零的情況，此時(shí)表明波動(dòng)局部化現(xiàn)象發(fā)生，即彎曲波不能在結(jié)構(gòu)中自由地傳播以致傳遍整個(gè)結(jié)構(gòu)，而是局限在移動(dòng)荷載附近。同時(shí)，與諧調(diào)周期多跨梁相比，失諧也使得波動(dòng)局部化的范圍進(jìn)一步加寬。隨著變異系數(shù)的增加，通帶內(nèi)局部化因子逐漸增加，該區(qū)間的局部化程度相應(yīng)地增強(qiáng)；而且，除第一個(gè)禁帶外，局部化現(xiàn)象使得局部化因子在速度通帶內(nèi)逐漸增加，在速度禁帶內(nèi)降低，當(dāng)變異系數(shù)達(dá)到0.05時(shí)，第一個(gè)通帶完全消失了。因此，在移動(dòng)荷載作用下，失諧周期多跨梁在特定的速度范圍內(nèi)能控制彎曲波在結(jié)構(gòu)中的傳播。比較圖2和圖3知，失諧和阻尼都會(huì)引起結(jié)構(gòu)中波動(dòng)的幅值發(fā)生空間衰減，且兩種情況下引起的梁動(dòng)力性能的改變具有相同的趨勢。

2.3 阻尼和失諧共同作用的影響

圖4比較了諧調(diào)帶阻尼梁和失諧無阻尼梁中局部化因子隨荷載移動(dòng)速度的變化情況。同時(shí)，對比分析了失諧和阻尼同時(shí)存在引起的局部化效應(yīng)與各自單獨(dú)影響之間的關(guān)系。由圖可觀察到，在速度通帶內(nèi)，對于諧調(diào)阻尼梁，小阻尼系數(shù)η=0.02所引起的衰減高于失諧無阻尼梁中失諧水平δ=0.05所致，失諧和阻尼共同作用引起的衰減與各自單獨(dú)作用產(chǎn)生效果之和吻合良好，說明阻尼和失諧產(chǎn)生的衰減效果可以簡單疊加。當(dāng)荷載速度接近通帶邊界進(jìn)入速度禁帶時(shí)，這種現(xiàn)象逐漸消失。而且，失諧通常會(huì)加強(qiáng)由于結(jié)構(gòu)阻尼所引起的衰減，反之亦然。但是，在速度禁帶區(qū)域，阻尼和失諧相互作用則使得失諧阻尼梁中的局部化因子遠(yuǎn)小于兩者單獨(dú)作用之和。

3 結(jié)語

本文系統(tǒng)地研究了阻尼和失諧對彈性地基上周期多跨梁波動(dòng)局部化特性的影響，得出以下結(jié)論。

（1）彈性地基上的諧調(diào)無阻尼多跨梁存在速度通帶和禁帶，阻尼作用會(huì)使得原速度通帶內(nèi)的局部化因子大于零，波動(dòng)發(fā)生衰減。

（2）在移動(dòng)荷載作用下，失諧多跨梁中存在波動(dòng)局部化現(xiàn)象，隨著失諧水平的增強(qiáng)，波動(dòng)局部化程度加強(qiáng)。

（3）當(dāng)阻尼系數(shù)和失諧水平相同時(shí)，阻尼引起的衰減效應(yīng)要明顯高于失諧所致。同時(shí)，在速度通帶，阻尼和失諧引起的效應(yīng)可以簡單疊加。因此，可以選擇調(diào)整阻尼系數(shù)和失諧水平來實(shí)現(xiàn)移動(dòng)荷載下周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制。

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