代正嬌　邊倩倩　趙佶　王嘉祥　李育紅

摘要：自經(jīng)典的最小二乘法（LS）被證明可以獨立應(yīng)用于GPS數(shù)據(jù)的分析之后，最小二乘法便成為GPS數(shù)據(jù)處理過程中應(yīng)用頻率較高的方法之一。但在 GPS快速定位等空間數(shù)據(jù)采集技術(shù)的迅速發(fā)展下，測量手段不斷提高，數(shù)據(jù)量迅速膨脹，數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性越來越強，如果仍采用經(jīng)典的 LS估計方法，必然會影響平差結(jié)果，導(dǎo)致結(jié)果精度偏低。因此，分析平差病態(tài)問題的形成原因和診斷度量方法，選擇更有效的方法來獲取準確的結(jié)果是處理GPS數(shù)據(jù)過程中重中之重的事。

關(guān)鍵詞：GPS雙差模型;病態(tài)性;有偏估計;嶺跡法;截斷奇異值

中圖分類號：TP311 ? ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）14-0207-03

1 緒論

1.1 選題依據(jù)

隨著測量技術(shù)的快速發(fā)展，測量方法不斷完善，對定位信息及時性的要求也越來越高，但平差系統(tǒng)的病態(tài)性問題也越來越廣泛，使得 LS估計性質(zhì)顯著變壞， LS估計值和真值相差太大，嚴重影響測量結(jié)果的精度，因此，必須找到更為有效的方法消除或削弱平差系統(tǒng)的病態(tài)性，以得到更為精確、可靠的平差結(jié)果。

對于GPS測量而言，具體的平差問題存在許多內(nèi)部原因，例如控制點位置，參數(shù)確定等。 因此，在尋找病態(tài)性問題的形成規(guī)律時，必須分析產(chǎn)生病態(tài)的具體原因，分析應(yīng)用和理論中的存在的病態(tài)問題。尋找更科學(xué)合理的解決方案，提高GPS測量站點坐標的準確性、可靠性和解算效率。

1.2 本文主要研究內(nèi)容

解算成果受GPS測量平差系統(tǒng)病態(tài)性的影響越來越嚴重，為了解決這一難題，本文主要以當下 GPS研究的現(xiàn)狀和已有的結(jié)論為基礎(chǔ)，確立研究的主要內(nèi)容如下：

（1）從實際的測量數(shù)據(jù)出發(fā)，歸納分析測量平差系統(tǒng)中法方程的病態(tài)問題產(chǎn)生的原因，并研究其診斷與度量方法，然后比較分析了 GPS相對定位觀測方程的三種模型各自的特征，確定本文所要采用的模型;

（2）著重研究有偏估計法和病態(tài)模型直接解法在平差病態(tài)問題中的應(yīng)用。重點分析嶺估計與部分嶺估計在解決病態(tài)性問題上的優(yōu)點;針對有偏估計中確定嶺參數(shù)這一難點對嶺跡法和 L-曲線法進行深入剖析;最后分析截斷奇異值法和修正奇異值法在解決病態(tài)性問題上的實用性和各自的差異性;

（3）用LS估計對獲取的GPS數(shù)據(jù)進行解算獲得平差坐標，然后以截取的少量歷元數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，將LS估計、有偏估計法和病態(tài)模型直接解法運用到平差系統(tǒng)雙差模型的解算中，并根據(jù)其解算結(jié)對比分析各類方法的有效性和優(yōu)越性，

（4）對本文的工作做一下總結(jié)，并且明確下一步研究工作。

2 GPS測量誤差及相對定位觀測模型

2.1 GPS測量的誤差來源

在GPS測量中，眾多要素造成了測量的精度降低。影響GPS定位精度的主要誤差包括GPS衛(wèi)星、衛(wèi)星信號傳播以及接收設(shè)備。 具體內(nèi)容如表1所示。

另外，由觀察人員本身和觀察環(huán)境引起的誤差也以矩陣的形式干擾解算結(jié)果。

2.2 GPS相對定位觀測方程的確定

假如安置在某一個測站的GPS接收機，對GPS衛(wèi)星進行同步觀測，則觀測方程為：

式中，[?]為相位觀測小數(shù)，[R]為接收機到衛(wèi)星的真距離，[τ]為接收機鐘差，[N]為相位整周模糊度，[σ]為信號通過對流層和電離層的延遲改正，[（XS，YS，ZS）]為衛(wèi)星瞬時地心坐標，[（XP，YP，ZP）]為接收機的地心坐標。

GPS相對定位觀測方程進一步推導(dǎo)出常用的三種形式：單差、雙差以及三差。 對三種模型進行綜合分析后，確定了在實際工作時采用的模型。其結(jié)果如表2所示：

從表2可以看出，單差觀測方程觀測量之間沒有相關(guān)性，但未知參數(shù)過多;三差觀測方程消除了衛(wèi)星軌道誤差等大多數(shù)的未知參數(shù)，但由于三次作差使得觀測量之間相關(guān)性過強，解算結(jié)果精度變差。最后，在實踐應(yīng)用時決定選用雙差模型進行解算。

3 GPS測量平差系統(tǒng)中的病態(tài)問題

3.1 測量平差模型的病態(tài)性

3.1.1 病態(tài)性擾動理論

自1829年高斯創(chuàng)立最小二乘法以來，特別是高斯-馬爾可夫定理證明了LS估計在線性無偏估計類中具有最小方差等優(yōu)越性之后，使得LS估計被普遍應(yīng)用于GPS數(shù)據(jù)處理中。然而在實際應(yīng)用中LS估計并不適合于任何情況，當系數(shù)矩陣出現(xiàn)復(fù)共線性時，即陣的列向量存在近似相關(guān)性，此時平差模型出現(xiàn)病態(tài)問題，使得LS估計的精度很差，解算成果并不可靠。

因此，要想解決平差系統(tǒng)中出現(xiàn)的病態(tài)問題，首先要知道什么是病態(tài)問題？病態(tài)問題的一般定義是：原始數(shù)據(jù)的微小誤差對解算結(jié)果有顯著的影響，則該平差系統(tǒng)是病態(tài)的，反之系統(tǒng)是良態(tài)的。由此可知，病態(tài)性反映的是平差系統(tǒng)的抗干擾能力。

3.1.2 病態(tài)性與復(fù)共線性

復(fù)共線性是指矩陣中存在某些數(shù)據(jù)列可以互相近似線性表示。研究表明：復(fù)共線性是病態(tài)性存在的主要條件，復(fù)共線性存在，病態(tài)性一定存在。但復(fù)共線性不等于病態(tài)性。因為，病態(tài)性是平差系統(tǒng)本身的一種屬性，而且平差系統(tǒng)病態(tài)的原因是由多方面因素造成的，復(fù)共線性僅僅是其中的一個原因。但是在測量中，一般模型的建立通常是通過公式得到的線性系統(tǒng)，因此對于平差系統(tǒng)而言，可以認為復(fù)共線性等于病態(tài)性。

3.2 GPS測量平差系統(tǒng)病態(tài)性原因

減弱甚至消除平差系統(tǒng)病態(tài)問題的前提就是要正確分析病態(tài)性的形成原因。實踐表明，由于眾多因素的影響參數(shù)求解時的結(jié)果會產(chǎn)生病態(tài)方程組，概括起來導(dǎo)致了系統(tǒng)病態(tài)性的因素有如下幾種：

（1）參數(shù)過度化

參數(shù)過度化導(dǎo)致的病態(tài)問題的主要體現(xiàn)在兩方面：1）參數(shù)本身的錯誤。選擇了錯誤的參數(shù)意味著設(shè)計陣中的一些數(shù)據(jù)列和其他數(shù)據(jù)列存在一定的相關(guān)性，即這些參數(shù)不但沒有增加新的獨立信息反而干擾了其他參數(shù)，造成設(shè)計陣的均方誤差過大; 2）未知參數(shù)過多。一個參數(shù)有可能受多個變量的影響，同時，一個變量可能影響多個參數(shù)，在這種情況下過多的參數(shù)帶來了過度參數(shù)化，由這些參數(shù)建立的模型必然會復(fù)共線性，進而造成平差系統(tǒng)病態(tài)。因此，選擇適當?shù)哪Ｐ褪欠浅Ｖ匾摹?/p>

（2）觀測信息不足

在實際中獲取 GPS數(shù)據(jù)的外業(yè)環(huán)境有時會受客觀因素的影響，使得我們處在的不利的位置，造成觀測結(jié)構(gòu)不合理，數(shù)據(jù)采樣存在一定的局限性，觀測信息不足等問題，使得觀測矩陣的列向量存在復(fù)共線性，矩陣從實測的GPS數(shù)據(jù)中無法獲得準確結(jié)果，從而產(chǎn)生病態(tài)性。

（3）數(shù)值計算

在用計算機處理數(shù)據(jù)時存在數(shù)據(jù)的舍入誤差同樣是不容忽視的，如果計算方法不能很好地控制舍入誤差的增長也可能導(dǎo)致結(jié)果失真。大量研究結(jié)果表明：不同的算法對同一個問題的解算結(jié)果有著很大的差異。因此，對于一個具體的平差問題來說選取合適的算法提高數(shù)值的穩(wěn)定性、減少誤差的積累和傳播是非常重要的事。

3.3 GPS測量平差系統(tǒng)病態(tài)性的診斷與度量

無論在理論研究還是實際應(yīng)用上，病態(tài)性的診斷和度量一直都是平差系統(tǒng)中非常重要的環(huán)節(jié)。病態(tài)性診斷的主要目的是判別系統(tǒng)是病態(tài)的還是良態(tài)的。如果系統(tǒng)是良態(tài)的，那么LS估計仍然是一個好的方法;反之，如果系統(tǒng)是病態(tài)的，只有正確認識到病態(tài)性形成的原因，才能確定具體的診斷和度量方法，進而選擇合適的處理方法。

截至到現(xiàn)在已經(jīng)有十幾種診斷方法不斷被提出。通過比較幾種較常用的診斷方法的異同，進行歸納整合形成表3：

結(jié)合表3的內(nèi)容，針對特定的問題選擇不一樣的診斷方法，對解決平差系統(tǒng)病態(tài)性問題有重大意義。

4 有偏估計和病態(tài)平差模型直接解法

4.1 有偏估計方法

一般說來，參數(shù)估值與參數(shù)真值之間的差距越小越好，而均方誤差（MSE）反映的就是參數(shù)估計的準確程度。所以當系統(tǒng)存在病態(tài)性時，用MSE來反映估計方法的優(yōu)缺點最為合適。

一般情況下，為了得到的無偏的估值我們經(jīng)常使用經(jīng)典的最小二乘法。但在平差系統(tǒng)存在病態(tài)性時，運用最小二乘法所得到的解算精度很差，所以選擇了新的估計方法即有偏估計進行平差解算。均方誤差準則表明，在解決模型病態(tài)時有偏估計方法比LS估計更有效，運用有偏估計獲得的估值更精確、數(shù)值更穩(wěn)定。

在有偏估計類方法中使用頻率較高的有針對法矩陣提出的嶺估計以及由嶺估計衍生出的部分嶺估計、廣義嶺估計等方法。這些方法在很大程度上解決了平差系統(tǒng)的病態(tài)問題，本文主要研究了嶺估計法和部分嶺估計法。

4.1.1 嶺估計與部分嶺估計

4.2 嶺參數(shù)的確定

嶺參數(shù)的確定是為了運用有偏估計方法時可以獲得更準確的估值。因此，選擇均方誤差最小時的嶺參數(shù)k值是最優(yōu)的有偏估計，所以嶺參數(shù)的確定是后期解算成果的優(yōu)劣的關(guān)鍵所在。在過去十年中，眾多專家學(xué)者從不同的方向給出了一些確定嶺參數(shù)的方法，幾種常用的方法原理如表4所示。

從表4中可以得知，嶺跡法和L-曲線法都是利用圖像來確定嶺參數(shù)，缺乏必要的理論支撐，主觀隨意性較強。而其他方法都有確切的公式，可以運用合理計算來確定最優(yōu)嶺參數(shù)，其中 HK法和 Q（ C）準則法都必須通過 LS估計獲得的部分參數(shù)來確定嶺參數(shù)， GCV法基于逐一排除原理得到參數(shù)估值，以均值最小為條件求得嶺參數(shù)，雖然理論上是可行但是實際操作中過于困難， 一般不采用。

4.2.1 L-曲線法

L-曲線法是在嶺估計的基礎(chǔ)上，以log[X]作為縱坐標[η]，log[AX-L]作為橫坐標[ξ]，選擇不同的嶺參數(shù)k，便得一系列點[（AX-L，X）]，將這些點擬合成一條曲線，最優(yōu)的嶺參數(shù)k是該曲線的曲率最大的點所對應(yīng)的值。因為擬合后的曲線形狀近似“L”，故稱之為L-曲線法。

4.2.2 嶺跡法

嶺跡法主要步驟是：首先求出參數(shù)的嶺估計，然后將嶺估計公式中的各個分量作為k的函數(shù)，在紙上將函數(shù)圖形畫出，此函數(shù)圖形稱為嶺跡。這種方法的優(yōu)點是直觀、簡單，但缺乏嚴格的理論根據(jù)，k值的確定具有一定的主觀隨意度，但由于其應(yīng)用時間久遠，至今仍然被采用。

4.3 病態(tài)平差模型直接解法

包括嶺估計在內(nèi)的各類有偏估計能夠減弱平差系統(tǒng)中法方程矩陣的病態(tài)問題，但對于設(shè)計陣的病態(tài)問題卻沒有作用，難以保證解決病態(tài)問題的程度。在平差系統(tǒng)中，如果降低誤差方程系數(shù)矩陣的病態(tài)性，法方程矩陣病態(tài)性也會隨之降低，從而獲得更接近于真值的參數(shù)估值。病態(tài)模型的直接解法顧名思義就是直接對相對定位觀測方程的系數(shù)矩陣進行解算來得到參數(shù)值，近年來在處理平差病態(tài)性問題中應(yīng)用較為廣泛。

病態(tài)模型的直接解法中應(yīng)用較為廣泛的幾類解法的原理如表5所示。

在病態(tài)模型直接解法中，截斷奇異值可以直接忽略相對小的奇異值，而修正奇異值是將全部或者部分奇異值進行修正。這兩種方法均可以提高參數(shù)的精度和可靠性，從而解算得到更為精確的值。截斷奇異值一般應(yīng)用于奇異值呈“階梯狀”分布的病態(tài)矩陣，而修正奇異值應(yīng)用在奇異值呈均勻分布的病態(tài)矩陣中的效果會更好。

5 總結(jié)與展望

5.1 總結(jié)

本文對于 GPS相對定位觀測模型中出現(xiàn)的病態(tài)性問題，從觀測模型的特征、誤差產(chǎn)生原因以及病態(tài)性診斷和度量方法等多方面進行研究、分析與總結(jié)，然后重點研究歸納了有偏估計及病態(tài)模型的直接解法解決平差系統(tǒng)病態(tài)性的主要原理與具體方法，并對有偏估計中較常用的嶺估計、部分嶺估計，以及確定嶺參數(shù)的嶺跡法和 L-曲線法進行具體分析。除此之外，重點研究了病態(tài)平差模型直接解法的截斷奇異值法和修正奇異值法。最后將研究成果應(yīng)用到處理GPS數(shù)據(jù)中，解決了由于LS估計造成解不穩(wěn)定的問題，并證明了有偏估計和病態(tài)模型直接解法在削弱和消除病態(tài)問題上的有效性和優(yōu)越性。

5.2 下步研究工作的設(shè)想

盡管本文對平差系統(tǒng)病態(tài)性問題進行了一些研究，并獲得了一些結(jié)論，但是由于平差系統(tǒng)的復(fù)雜性，以后還有很多問題等待解決如下：

（1）將測量結(jié)果和病態(tài)問題緊密結(jié)合進一步分析病態(tài)性的實質(zhì)，對更好解決病態(tài)問題有重要影響;

（2）進一步研究有偏估計和病態(tài)模型直接解法中各類方法的實用范圍和適用條件;

（3）本文主要是對線性系統(tǒng)的病態(tài)問題進行研究，對于非線性病態(tài)問題的分析也是下一步研究的重要方向。

【通聯(lián)編輯：朱寶貴】