趙 瑋，王 強(qiáng)，何曉暉，袁 媛

(1.陸軍工程大學(xué)國(guó)防工程學(xué)院，江蘇南京 210007；2.陸軍工程大學(xué)野戰(zhàn)工程學(xué)院，江蘇南京 210007)

0 引言

由于機(jī)械振動(dòng)、傳感器數(shù)據(jù)傳輸誤差以及環(huán)境等因素的影響，在實(shí)際信號(hào)獲取、傳輸與處理過(guò)程中常常受到噪聲的污染，因此信號(hào)降噪在機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測(cè)領(lǐng)域內(nèi)受到眾多學(xué)者的關(guān)注[1]。在信號(hào)降噪濾波的方法中，中值濾波、均值濾波、小波濾波以及維納濾波等方法均得到了廣泛的應(yīng)用[2]。均值濾波作為一種線性濾波方法，對(duì)含高斯噪聲的信號(hào)具有很好地降噪效果，但對(duì)沖擊噪聲無(wú)法進(jìn)行有效的濾除[3]；中值濾波作為一種非線性濾波方法，能夠很好地濾除含脈沖干擾的噪聲，但對(duì)高斯噪聲的濾除效果不明顯[4]；小波濾波本質(zhì)是具有多通道帶通濾波器，其優(yōu)勢(shì)在于分離目標(biāo)信號(hào)與噪聲的頻帶相互分離時(shí)的確定性噪聲情況，當(dāng)目標(biāo)信號(hào)與噪聲頻帶重疊情況下，降噪效果不佳[5-6]；維納濾波為一種線性濾波器，主要用于提取濾除平穩(wěn)噪聲所污染的信號(hào)[7]。

在工程實(shí)踐中，噪聲具有相互疊加與影響的特點(diǎn)，含有多種噪聲信號(hào)，如高斯噪聲和沖擊噪聲等，單一的濾波方法無(wú)法對(duì)噪聲實(shí)現(xiàn)有效的濾波[8]。針對(duì)混合噪聲的濾波方法，多采用將噪聲分類后結(jié)合不同濾波算法分別對(duì)分類后的噪聲進(jìn)行濾除，在信號(hào)降噪過(guò)程中取得了較單一濾波算法更好的效果，但對(duì)噪聲的分類與檢測(cè)導(dǎo)致算法計(jì)算量的增加，在需要實(shí)時(shí)降噪的場(chǎng)合無(wú)法得到有效應(yīng)用。Volterra級(jí)數(shù)模型具有的線性和非線性項(xiàng)的特性，使得Volterra濾波器綜合了線性濾波器、非線性濾波器以及預(yù)測(cè)的功能，具有很好的同時(shí)濾除高斯噪聲與沖擊噪聲的功能，同時(shí)還可以滿足系統(tǒng)實(shí)時(shí)性的要求[9-10]。Volterra級(jí)數(shù)的核參數(shù)是描述非線性系統(tǒng)的關(guān)鍵，其辨識(shí)精度直接影響濾波器的性能。在核參數(shù)辨識(shí)研究方面，群智能優(yōu)化算法在Volterra級(jí)數(shù)的時(shí)域核參數(shù)辨識(shí)方面受到廣泛的關(guān)注，甘慧萍[11]等提出一種基于遺傳算法辨識(shí)Volterra濾波器核參數(shù)的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)消噪方法，在獲得最優(yōu)的核參數(shù)的同時(shí)對(duì)含高斯噪聲和脈沖干擾的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行消噪處理，具有很好的濾波性能和魯棒性。李寧洲[12]等提出一種動(dòng)態(tài)隨機(jī)局部搜索生物地理優(yōu)化算法(DRLBBO)優(yōu)化求解模型的核參數(shù)的非線性Volterra濾波方法，有效濾除了車(chē)輪轉(zhuǎn)速信號(hào)所含混合噪聲；同時(shí)提出了動(dòng)態(tài)多子群引力搜索算法和灰聚類多子群自適應(yīng)粒子群算法，實(shí)現(xiàn)了非線性Volterra濾波器模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)的確認(rèn)及優(yōu)化求解[13]。馮曉云[14]等提出了一種基于組合混沌策略自適應(yīng)量子微粒群算法(CCSAQPSO算法)的Volterra時(shí)域核辨識(shí)方法，其核參數(shù)辨識(shí)精度高，同時(shí)在全局優(yōu)化能力和快速收斂能力上都有較大提高。本文提出一種基于蝙蝠算法(BA)的核參數(shù)優(yōu)化的非線性Volterra濾波方法，在建立能夠定量反映待辨識(shí)模型輸出與理想輸出之間的偏差程度的適應(yīng)度函數(shù)的基礎(chǔ)上，獲得優(yōu)化核參數(shù)的同時(shí)對(duì)含有混合高斯噪聲與脈沖噪聲的信號(hào)進(jìn)行降噪處理，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該方法在針對(duì)混合噪聲的濾除方面具有很好的效果。

1 非線性Volterra濾波器模型

Volterra級(jí)數(shù)模型一種用輸入u(t)與輸出y(t)表示的非線性系統(tǒng)模型，其關(guān)系可以表示為

(1)

式中：

式中hn(τ1,τ2,…,τn)為非線性Volterra濾波器模型的n階時(shí)域核。

在信號(hào)濾波過(guò)程中，首先需要將式(1)所示的無(wú)窮階Volterra級(jí)數(shù)模型進(jìn)行離散化處理，獲得離散化n階Volterra濾波器模型：

(2)

式中：N為最高階次；k為Volterra級(jí)數(shù)階次，取值為正整數(shù)；e(k)為截?cái)嗾`差。

yn(k)可以表示為

(3)

式中：mi為記憶長(zhǎng)度；hn(m1,m2,…,mn)為n階Volterra時(shí)域核函數(shù)。

在濾波過(guò)程中，式(2)無(wú)窮級(jí)數(shù)的特點(diǎn)導(dǎo)致其無(wú)法精確的計(jì)算，通常進(jìn)行階段處理，即確定無(wú)窮級(jí)數(shù)的階數(shù)k與記憶長(zhǎng)度mi，通常利用前3階Volterra 級(jí)數(shù)模型即可近似描述很多實(shí)際非線性系統(tǒng)，滿足非線性濾波器的要求，因此最高階次N=3，則式(2)可化簡(jiǎn)為

(4)

由于Volterra 級(jí)數(shù)的時(shí)域核具有對(duì)稱性，即：

(5)

式中i1,i2,…，in為1，2，…，n中的任一排列。

(6)

式中ai為考慮時(shí)域核對(duì)稱性后引入的權(quán)系，且

三階濾波器的模型可以表示為

h2(m1,m2)u(k-m1)u(k-m2)+

u(k-m1)u(k-m2)u(k-m3)+e(k)

(7)

式中，記憶長(zhǎng)度mi取適當(dāng)值時(shí)，在誤差允許范圍內(nèi)，e(k)取值可以忽略不計(jì)。

2 信號(hào)非線性Volterra 濾波器模型核參數(shù)優(yōu)化

非線性Volterra 濾波器模型的核參數(shù)優(yōu)化實(shí)質(zhì)上是一個(gè)多維參數(shù)空間上的尋優(yōu)問(wèn)題，蝙蝠算法(BA)作為一種常用的群智能優(yōu)化算法[15]，本文研究一種用BA 算法對(duì)非線性Volterra濾波器模型的核參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化?；隍鹚惴ǖ腣olterra 濾波器的方法：將Volterra濾波器的模型結(jié)構(gòu)與參數(shù)辨識(shí)看作優(yōu)化問(wèn)題，將核參數(shù)作為優(yōu)化變量，將輸入實(shí)際信號(hào)向量與核參數(shù)向量的乘積與理想信號(hào)向量的均方差作為BA算法的適應(yīng)度函數(shù)，利用BA算法通過(guò)迭代尋優(yōu)使待辨識(shí)模型輸出逼近實(shí)際信號(hào)輸出，求解待辨識(shí)模型的核參數(shù)。

2.1 BA算法

蝙蝠算法是由Yang提出的一種利用蝙蝠在覓食時(shí)所發(fā)出的脈沖的頻率、響度、脈沖發(fā)射率的變化，模擬蝙蝠回聲定位行為的群智能算法[16]。蝙蝠算法是通過(guò)頻率的調(diào)整引起波長(zhǎng)的變化，波長(zhǎng)的大小與蝙蝠所捕食的昆蟲(chóng)的大小相一致，從而可定位目標(biāo)。蝙蝠按脈沖發(fā)射率和響度發(fā)出聲波脈沖，當(dāng)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)時(shí)會(huì)增加脈沖的發(fā)射率，減小響度，從而逼近目標(biāo)捕食獵物。在求解優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，將待優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值衡量蝙蝠所處位置的優(yōu)劣，則蝙蝠的空間位置以及速度更新公式為

(8)

式中：t為迭代次數(shù)；Xi(t)為t時(shí)刻蝙蝠位置向量；Vi(t)為蝙蝠的t時(shí)刻飛行速度向量；Xbest(t)為當(dāng)前群體中所有蝙蝠中最優(yōu)位置；fi為蝙蝠i搜索獵物時(shí)使用的脈沖頻率，fi∈[fmin,fmax]；[fmin,fmax]為搜索脈沖頻率范圍；β∈[0，1]為均勻分布的隨機(jī)變量。

(9)

(10)

蝙蝠算法流程如下：

(1)初始化算法基本參數(shù)。確定蝙蝠數(shù)目m，搜索脈沖頻率范圍[fmin，fmax]，最大脈沖音強(qiáng)A,音強(qiáng)衰減系數(shù)α,最大脈沖頻度r0，脈沖頻度增加系數(shù)γ，最大迭代次數(shù)MaxT；

(2)初始化第i只蝙蝠的位置Xi和速度Vi，初始化蝙蝠搜索脈沖頻率fi和音強(qiáng)Ai，計(jì)算每只蝙蝠的初始適應(yīng)度值；

(3)通過(guò)調(diào)整頻率運(yùn)用式(8)更新蝙蝠速度Vi與位置Xi；

(4)生成隨機(jī)數(shù)rand1，若rand1>ri，選擇當(dāng)前個(gè)體的最優(yōu)個(gè)體Xbest(t)，并對(duì)最優(yōu)位置蝙蝠進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，通過(guò)隨機(jī)擾動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)局部個(gè)體Xnew(t)，并計(jì)算適應(yīng)度值；

(6)對(duì)蝙蝠群體進(jìn)行評(píng)估，找出當(dāng)前最佳蝙蝠以及所處空間位置。當(dāng)滿足搜索精度或達(dá)到最大搜索次數(shù)，輸出全局最優(yōu)個(gè)體值；否則返回(3)進(jìn)行循環(huán)。

2.2 基于BA算法核參數(shù)優(yōu)化

采用BA算法進(jìn)行非線性Volterra 濾波器模型核參數(shù)優(yōu)化，待優(yōu)化的核參數(shù)向量表示為

H=[h1(0),h1(1),…,h1(M1-1),h2(0,0),h2(0,1), …,H2(M2-1,M2-1),h3(0,0,0),h3(0,0,1)， …,h3(M3-1,M3-1,M3-1)]

(11)

作為蝙蝠算法的個(gè)體位置，蝙蝠搜索空間維度D表示為

(12)

輸入矩陣U=[u(k),u(k+1),…,u(k+L-1)]T，其中L為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，u(k)為k時(shí)刻輸入向量，u(k)如式(13)所示：

u(k)={u(k),u(k-1),…,u(k-M1+1),

[u(k)]2,u(k)u(k-1),…,[u(k-M3+1)]2}T

(13)

則尋優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)

HIS(Xi)=f[u(k)-ud(k)]

(14)

式中ud(k)為理想信號(hào)。

采用BA算法使式(14)取得最小值的最優(yōu)蝙蝠位置即非線性Volterra濾波器模型的最優(yōu)核參數(shù)，其優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 基于BA算法的Volterra濾波器模型核參數(shù)優(yōu)化流程

3 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證基于BA優(yōu)化核參數(shù)的Volterra濾波器在消除噪聲方面的有效性，分別對(duì)基于中值濾波器、均值濾波器、維納濾波器以及基于BA算法優(yōu)化核參數(shù)的Volterra濾波器的降噪效果的進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。仿真實(shí)驗(yàn)中，采用式(15)所示的數(shù)學(xué)模型模擬機(jī)械振動(dòng)信號(hào)，其原始不含噪聲信號(hào)和加噪聲信號(hào)分別如圖2(a)、圖2(b)所示。

(15)

式中：g(t)為模擬信號(hào)添加的信噪比為10 dB的高斯白噪聲；q(t)為5 dB沖擊噪聲信號(hào)。

含添加噪聲的信號(hào)如圖2(b)所示，采樣周期為0.1 ms，蝙蝠算法中蝙蝠種群個(gè)數(shù)為20，搜索脈沖頻率范圍為fi∈[0,10]，最大脈沖頻度r0=1，最大脈沖音強(qiáng)A0=0.4，脈沖音強(qiáng)衰減系數(shù)α=0.95，脈沖頻度增加系數(shù)γ=0.1，迭代次數(shù)為900。

(a)不含噪聲信號(hào)

(b)含噪聲信號(hào)圖2 原始信號(hào)與含噪聲信號(hào)

分別采用中值濾波、均值濾波、維納濾波以及基于BA算法的優(yōu)化核參數(shù)的Volterra濾波對(duì)含噪聲的信號(hào)進(jìn)行濾波仿真實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果如圖3所示。

由圖3(a)可以看出，運(yùn)用中值濾波的方法，能很好地濾除脈沖噪聲，但是高斯噪聲的濾除效果不明顯；由圖3(b)可知，運(yùn)用均值濾波的方法進(jìn)行信號(hào)降噪，較中值濾波對(duì)高斯白噪聲濾除效果較好，但對(duì)于沖擊噪聲濾除效果較差；由圖3(c)可知，用維納濾波器濾波后進(jìn)行消噪，濾波結(jié)果不能很好地反映原始信號(hào)特征，信號(hào)存在失真現(xiàn)象；由圖3(d)可知，運(yùn)用基于BA優(yōu)化核參數(shù)的非線性Volterra濾波器進(jìn)行信號(hào)降噪，能夠很好地濾除高斯白噪聲與沖擊噪聲，比傳統(tǒng)的濾波方法在濾除組合噪聲方面效果好，濾波結(jié)果更接近原始信號(hào)，信號(hào)失真小，特別是針對(duì)振動(dòng)信號(hào)降噪方面具有一定的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

(a)中值濾波后的信號(hào)

(b)均值濾波后的信號(hào)

(c)維納濾波后的信號(hào)

(d)基于BA優(yōu)化核參數(shù)的Volterra濾波后的信號(hào)圖3 經(jīng)濾波后信號(hào)

本文針對(duì)含有混合噪聲的信號(hào)降噪的問(wèn)題，提出了一種基于蝙蝠算法優(yōu)化核參數(shù)的非線性Volterra方法，在滿足適應(yīng)度函數(shù)取得最小值的情況下，運(yùn)用BA算法迭代求解相應(yīng)的最優(yōu)非線性Volterra濾波器模型核參數(shù)。仿真結(jié)果表明，基于BA優(yōu)化核參數(shù)的非線性Volterra濾波器兼具線性與非線性濾波器的優(yōu)勢(shì)，較單一的傳統(tǒng)濾波算法如中值濾波、均值濾波、維納濾波等具有對(duì)含高斯噪聲與沖擊噪聲的混合噪聲更好的濾波性能，且信號(hào)失真現(xiàn)象不明顯，同時(shí)較組合濾波方法具有運(yùn)算量小的特點(diǎn)，可以用于對(duì)信號(hào)處理有實(shí)時(shí)性要求的場(chǎng)合。