陳根方

(浙江音樂學(xué)院 音樂工程系，杭州 310024)

古琴原名“琴”或“七弦琴”，是中國最古老的彈撥樂器之一，它有3000多年的歷史，早在《詩經(jīng)》的“國風(fēng)·周南”就有“窈窕淑女，琴瑟友之”的記載，也是“高山流水”知音故事的核心因素.古琴是中國古代地位最崇高的樂器，位列“琴棋書畫”四藝之首.2003年11月7日，古琴藝術(shù)正式被聯(lián)合國教科文組織授予“人類口頭與非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”，是世界上唯一一項以樂器申遺的非遺項目[1].2005年5月中國國務(wù)院將古琴藝術(shù)列入首批“國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄”.

古琴琴體面板一般用桐木制成，琴底用梓木制成[2]，琴體面板上覆有7根琴弦，琴弦起承露，經(jīng)岳山、龍齦，止于琴底的雁足.古琴演奏技法復(fù)雜，音色多樣，左右手配合演繹，右手技法以內(nèi)外水平運(yùn)動為主(向內(nèi)撥弦： 托、抹、勾、打，向外撥弦： 劈、挑、剔、摘)，左手技法不僅有左右運(yùn)動(吟、猱、綽、注等)，還有上下運(yùn)動(掐起、泛起等)，左右手技法構(gòu)成了3維立體的運(yùn)動空間(見圖1).古琴的樂譜采用獨(dú)特的減字譜記譜法來記錄樂曲，樂譜由一個一個的譜字序列構(gòu)成，每個譜字由左右手技法的減字符號構(gòu)成，減字符號要么是整個漢字(如表示琴弦序號的”一二三四五六七“)，要么是漢字的一部分(如”乚“).

圖1 古琴演奏的3維空間立體運(yùn)動Fig.1 Three-dimensional spatial movement of Guqin performance

古琴藝術(shù)扎根于中國文化，它的歷史是中國音樂史的一個縮影，推動著中國音樂藝術(shù)領(lǐng)域的工程技術(shù)、信息技術(shù)的發(fā)展與變革，從文字記錄音樂信息，到形成自己獨(dú)特的組合式減字譜記譜法，從定性的音樂備忘錄，到創(chuàng)建定量的琴律計算模型，總是伴隨著音樂科技的滾滾洪流不斷向前，催化著中國藝術(shù)走向新的高峰.在數(shù)字信息時代，古琴藝術(shù)面臨新的挑戰(zhàn)，古琴藝術(shù)的琴書、琴器、琴譜、琴家、琴制、琴藝、琴論、琴聲、琴派和琴人的數(shù)據(jù)收集、清洗、變換、標(biāo)注和復(fù)用，古琴藝術(shù)在文本、圖像媒體、音頻視頻等媒體上的新呈現(xiàn)、新特征需要系統(tǒng)研究，古琴的自動演奏、音色感知需要反復(fù)試驗提煉，古琴文物、古琴古籍等需要修復(fù)和復(fù)用，這些挑戰(zhàn)都面臨交叉學(xué)科人才缺乏、數(shù)據(jù)孤島突出等亟待解決的問題.

1 古琴藝術(shù)數(shù)字化保護(hù)概述

古琴藝術(shù)的數(shù)字化工程涉及古琴藝術(shù)與信息技術(shù)的交叉領(lǐng)域，下面以古琴藝術(shù)的琴器、琴譜、琴家、琴制、琴藝、琴論、琴聲、琴派和琴人等為經(jīng)，以人工智能、數(shù)字媒體技術(shù)、AR(Augmented Reality)/VR(Virtual Reality)技術(shù)、大數(shù)據(jù)技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)等信息技術(shù)為緯，來分析古琴藝術(shù)數(shù)字化工程的內(nèi)涵.

1) 古琴記譜法的計算機(jī)研究

古琴樂譜記錄了音樂的信息，它采用記錄演奏技法的記譜方法，叫減字譜記譜法，與歐洲的五線譜記譜法相比，具有簡單易學(xué)的特點，但是也存在音符時值不能定量描述等缺陷，現(xiàn)存的古琴樂譜數(shù)量眾多，大約有3000多首不同琴譜，最早的琴譜是南北朝時丘明傳譜《碣石調(diào).幽蘭》[3]，這些樂譜中的大多數(shù)并沒進(jìn)行音樂演奏與分析，數(shù)字化研究具有廣闊的前景.組成古琴樂譜的譜字是由演奏的指法與音樂標(biāo)記構(gòu)成，每個譜字由若干個表示指法或音樂標(biāo)記的基本元素構(gòu)成，這些基本元素或者是一個漢字，或者是漢字的某個部分，漢字已經(jīng)有了相應(yīng)的編碼系統(tǒng)，但是漢字的某個部分不一定有相應(yīng)的編碼，因此，許多研究人員對減字譜記譜法進(jìn)行了編碼研究[4]，提出了一些有探索性的編碼系統(tǒng).

2) 古琴藝術(shù)的信息檢索

古琴藝術(shù)常以文字、樂譜、音頻、視頻、動畫等數(shù)字媒體為載體，在這些蘊(yùn)含古琴信息的載體中，檢索用戶需要的信息，滿足用戶需求，是古琴信息檢索技術(shù)面臨的關(guān)鍵問題.如古琴樂譜的音樂信息識別問題，古琴樂譜的音樂符號是由漢字或者漢字的某個部件組成(即減字)，當(dāng)圖像分割得到古琴樂譜的音符以后，可以利用模式識別方法對這些音符進(jìn)行識別，對古琴譜字進(jìn)行識別面臨的主要困難有： 組成譜字的漢字或漢字部件的結(jié)構(gòu)多樣，漢字或漢字部件的數(shù)量眾多，譜字的各個部件之間粘連現(xiàn)象普遍，同一譜字的手寫體存在不同的形態(tài)特征，這些困難使得古琴譜字識別很難達(dá)到實用的地步，這是具有挑戰(zhàn)性的工作之一.古琴藝術(shù)的歷史、人物、作家、故事、古琴音樂理論、琴書等無不以文字為記錄的載體，古代大量的古琴研究文獻(xiàn)也是以文本記錄的信息為研究對象，對古琴文獻(xiàn)的信息檢索和分析研究是古琴藝術(shù)的重要研究方向之一.

3) 古琴音樂標(biāo)注與推薦

古琴音樂的標(biāo)注能更好的復(fù)用樂曲信息，音樂標(biāo)注可采用基于MIDI、MusicXML等數(shù)字音樂或五線譜和簡譜等的傳統(tǒng)音樂方式.一種古琴樂譜的文本標(biāo)記方法是： 最早的古琴樂譜的記譜法使用了漢字來記錄演奏的音符，稱為文字譜.文字譜閱讀與演奏都適合，但是往往一個音符需要許多漢字進(jìn)行說明，視奏非常不便，因此唐朝曹柔等發(fā)明了減字譜[5].減字譜記錄演奏方法顯得很簡潔，但帶來了無法存儲的問題，因此，需要對減字譜樂譜進(jìn)行文本標(biāo)記，用文字譜的方式對古琴樂譜進(jìn)行標(biāo)記，達(dá)到計算機(jī)與人類都能閱讀和處理的目標(biāo).

4) 古琴琴律的律學(xué)研究

古琴藝術(shù)的3000多年歷史是伴隨著琴律的動態(tài)變化而發(fā)展的，琴律是基于中國傳統(tǒng)音樂理論而有別于西方音樂律制的民族律制，琴律研究和學(xué)術(shù)爭論一直是古琴藝術(shù)的一個焦點，通過構(gòu)建大容量的古琴樂譜數(shù)據(jù)庫、大容量的古琴琴律理論語料庫，利用人工智能方法構(gòu)建分析模型，尋找出琴律的歷史發(fā)展規(guī)律.

5) 古琴流派的音樂風(fēng)格分析和心理聲學(xué)與音樂感知

古琴與中國古代文人有千絲萬縷的關(guān)系，是古代文人素養(yǎng)的基本技能之一，3000多年的古琴情節(jié)，使得古琴深入到文人的日常生活與社交活動中，但是由于古代中國地域遼闊，交通不便，音樂交流與感知共鳴受到地域影響，形成了不同的琴派，琴派內(nèi)的古琴演奏與教學(xué)傳播具有相似的音樂感知體驗，琴派之間有一定的不同之處，如浙派古琴在演奏技法上更加圓潤與細(xì)膩，感知舒緩[6].古琴音樂流派的音樂風(fēng)格分析、流派音色與音效設(shè)計、心理聲學(xué)與音樂感知[7]等是一個值得研究的課題.

6) 古琴數(shù)據(jù)庫建設(shè)

數(shù)據(jù)庫是數(shù)據(jù)集散的主要方式之一，古琴藝術(shù)的數(shù)據(jù)具有多樣性、多源性、結(jié)構(gòu)化與非結(jié)構(gòu)化混合的特點，數(shù)據(jù)來源于古琴的樂器、樂譜、琴書、琴人、社團(tuán)等，這些數(shù)據(jù)以文本、圖像、視頻、音頻、3D數(shù)據(jù)等媒體呈現(xiàn).如創(chuàng)建3000多首琴譜的樂譜圖像數(shù)據(jù)庫，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉?biāo)注，這是一項基礎(chǔ)性工作.

7) 古琴數(shù)字信號處理

古琴的數(shù)字樂譜圖像和數(shù)字音頻是常見的信號處理對象.如古琴樂譜的圖像處理與分割，古琴樂譜圖像處理的目的是為了樂譜閱讀起來更清楚或方便，或者在保持原有信息不丟失的情況下，壓縮圖像的大小或存儲大小，或者把圖像轉(zhuǎn)換為二值圖像，為圖像分割等提供方便，或者去除噪音、角度校正等.圖像分割的目的是為了從樂譜圖像中提取出感興趣的目標(biāo)對象，如琴譜的譜字、樂曲名或其他音樂信息，古琴樂譜的圖像分割困難之處在于： 古代古琴樂譜是手寫樂譜，譜字之間或譜字與邊框之間時有粘連，譜字的大小不固定，有些譜字占用兩個常見譜字大小的空間，有些譜字是另一些譜字大小的一半，因此，提出合適的古琴樂譜圖像分割方法是一項具有挑戰(zhàn)性的工作.古琴音頻信號處理是在古琴音頻的錄制技術(shù)優(yōu)化的基礎(chǔ)上，對音頻信號進(jìn)行以去噪、增益、擴(kuò)縮、檢索、創(chuàng)建音色庫[8]等工作，達(dá)到古琴音樂復(fù)用的目的.

8) 古琴藝術(shù)的聲景研究

古琴與中國古代文人有著千絲萬縷的關(guān)系，在各類古代文獻(xiàn)中出現(xiàn)了大量文人與古琴的書畫，這些書畫的社會學(xué)、音樂學(xué)、建筑學(xué)分析，古代的琴弦蠶絲和現(xiàn)代鋼絲對演奏空間的要求和受眾有很大的區(qū)別，綜合分析這些因素，有利于豐富古琴藝術(shù)的聲景研究.

9) 古琴樂譜的智能打譜

打譜是古琴的特定行為[9].流傳至今的古琴樂曲多達(dá)3000多首，這些樂曲中只有少部分被現(xiàn)代琴家演奏，大量的樂曲尚未進(jìn)行挖掘.打譜就是對未被演奏的古琴樂曲進(jìn)行試奏，確定音調(diào)、音高、節(jié)奏、時值的過程，并得到對應(yīng)的五線譜樂譜或簡譜樂譜.打譜是一個艱苦的過程，不僅在于樂譜的節(jié)奏、時值等關(guān)鍵因素?zé)o法定量決定，更重要的是不少技法符號已經(jīng)無從考證.利用機(jī)器學(xué)習(xí)來處理未演奏的古琴樂曲，轉(zhuǎn)化為五線譜樂譜或簡譜樂譜的過程，稱為智能打譜，這是尚需要深入研究的領(lǐng)域之一.

10) 古琴的算法作曲

古琴樂譜的自動生成是古琴記譜法與算法作曲相結(jié)合的音樂生成方法，它以音樂作曲理論為基礎(chǔ)，結(jié)合算法思想，把古琴記譜法運(yùn)用到自動作曲中[10].古琴樂譜是指法演奏序列，指法序列中相鄰兩個指法之間存在一定的動作關(guān)聯(lián)性，通過設(shè)定這些關(guān)聯(lián)動作的產(chǎn)生規(guī)則，可以為古琴樂譜的自動生成提供約束條件.這是一個值得研究的課題.

11) 古琴樂譜的電子版本的獲取

古琴樂譜的數(shù)字化的基礎(chǔ)工作是把紙質(zhì)版本樂譜變?yōu)殡娮影姹镜臉纷V，由于現(xiàn)代文檔的數(shù)字化技術(shù)非常成熟，電子版本能有效地保留原有的樂譜的音樂信息，并能以數(shù)字圖像的形式被保存、傳播與傳承.

12) 古琴樂譜的數(shù)字音樂格式存儲研究

古琴樂譜的音樂信息存儲主要針對樂曲的譜字的音高與時值信息，用MIDI、MusicXML等數(shù)字音樂格式存儲，由于現(xiàn)有的數(shù)字音樂格式是以歐洲的音樂理論為基礎(chǔ)的，參考了五線譜這一定量的記譜法的音樂知識，與古琴的記錄指法的記譜法有很大的區(qū)別，在對古琴樂譜的某些譜字做定量化處理時，會出現(xiàn)分歧現(xiàn)象，因此，古琴樂譜的音樂信息存儲需要設(shè)計特定的數(shù)字格式.

13) 古琴樂譜與五線譜樂譜的互相轉(zhuǎn)換

古琴樂譜與五線譜樂譜都記錄了音樂的信息，它們之間可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，但是面臨著下面的問題： 古琴樂譜是記錄演奏技法的樂譜，五線譜樂譜是記錄音符信息的樂譜；再者，同一音高的音符可以有多種不同的古琴演奏方法，最后，古琴演奏前后音符之間的弦序位置，右手的演奏方法有一定的制約性等.這些因素給兩種記譜法之間的相互轉(zhuǎn)換增加了難度.

14) 古琴樂譜的節(jié)奏分析

古琴樂譜記錄了演奏的技法，雖然有“急歷”等表示演奏速度的音樂符號，但是沒有精確的時值標(biāo)記，樂譜的節(jié)奏或節(jié)拍分析是樂譜分析的重要內(nèi)容之一，這也是古琴打譜的基礎(chǔ)性工作，古琴語料庫和數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)等有利于進(jìn)行樂譜的節(jié)奏分析.

15) 古琴樂譜的復(fù)原與修復(fù)

古琴樂譜年代久遠(yuǎn)，有些樂譜已經(jīng)破損或被污染，樂譜的復(fù)原與修復(fù)工作主要利用圖像的數(shù)字復(fù)原與修復(fù)技術(shù)，達(dá)到還原原有樂譜譜面的目的.

16) 古琴樂譜的重建

古琴樂譜的重建是利用原有的古琴樂譜，在圖形界面或Web界面下對樂譜進(jìn)行重建的過程，常見的有在微軟操作系統(tǒng)下的古琴字形創(chuàng)建與重建以及基于Web的古琴樂譜重建兩個研究方向.

17) 古琴樂譜的IO軟件系統(tǒng)與字體設(shè)計

古琴樂譜的輸入與演奏系統(tǒng)實現(xiàn)了古琴樂譜的人機(jī)界面交互、樂曲播放、文件保存?zhèn)鞑?、出版和印刷服?wù)[11]等功能，是一項基礎(chǔ)性的工作.

18) 古琴聲學(xué)研究

古琴音色由古琴樂器的琴體、琴弦、音律和演奏方法決定，古琴聲學(xué)研究內(nèi)容包括： 古琴音律的研究、古琴聲學(xué)特征分析、古琴音色的模擬合成、古琴音色采集、古琴音色庫建設(shè)[8]、VR古琴創(chuàng)建、古琴與其他樂器的音色比較等內(nèi)容.

19) 古琴語料庫

語料庫技術(shù)是針對真實語言材料的資料庫，古琴語料庫主要針對古琴樂譜的資料庫，包括曲名語料庫、樂譜語料庫、琴歌語料庫.曲名語料庫收集古琴曲名、曲作者、所屬的古琴樂譜集、頁碼范圍、題跋、流傳范圍、主要演奏代表等信息；樂譜語料庫收集古琴樂譜的曲名、作者、樂譜集名、題跋、段序、段名、譜字等，其中譜字可采用標(biāo)記文本來表示，達(dá)到用文字表示樂譜的目的；琴歌語料庫是古琴樂譜語料庫的子集，琴歌中的歌詞是漢字，所以可以在樂譜語料庫中增加歌詞信息，但是由于有些譜字本身就是漢字，為了避免歌詞與譜字混擾，可以把歌詞用符號”[]”進(jìn)行標(biāo)記，符號“[]”并沒出現(xiàn)在中國古代的樂譜文獻(xiàn)中，因此用它標(biāo)記歌詞比較合適.

20) 古琴演奏分析與輔助教學(xué)

古琴有著特殊的演奏技法，3000多年的發(fā)展歷史中，演奏技法不斷的動態(tài)變化和完善，古琴演奏研究的主要內(nèi)容包括： 古琴演奏技法研究[12]，古琴書籍中的插圖的演奏姿勢分析，演奏姿勢的模式識別，演奏技法識別，左手演奏技法研究，古琴音頻處理、音樂信息識別(調(diào)性、節(jié)奏、音高、時值等)與標(biāo)注，古琴教學(xué)的輔助系統(tǒng)研究設(shè)計以及機(jī)器人古琴演奏等.

21) 古琴樂器學(xué)與文物研究

古琴樂器與其他樂器相比有不同的特征： 一般弦樂器的共鳴器只占樂器的一部分，古琴是全身；一般弦樂器的指板是一條很小的木片或木柱，古琴是全身的；一般的弦樂器共鳴腔正面是平的，古琴是圓弧的，等等.琴譜中所見古琴式樣達(dá)50余種，現(xiàn)今所見琴型大多數(shù)為仲尼式.古琴文物包括古琴樂器、古琴樂譜古籍、古琴藝術(shù)相關(guān)文物等.現(xiàn)存最古老的古琴為唐代(公元618—907年)所制，共有18張，唐以后留世的琴更多.古琴琴器的數(shù)字研究內(nèi)容包括： 斫琴過程的數(shù)字化，斫琴藝術(shù)的審美分析，VR古琴，古琴琴器形制、部件的改良?xì)v史研究，古琴文物的數(shù)字化保護(hù)，古琴文物的數(shù)字修復(fù)，古琴文物鑒定過程的數(shù)字化，古琴文物的數(shù)字鑒定，古琴文物的3D重建，文物拍賣等內(nèi)容.

22) 古琴音樂療法

主要研究人工智能在古琴音樂療法中的應(yīng)用，如古琴音樂療法與中醫(yī)心理的關(guān)系研究、古琴音樂與氣功養(yǎng)生療法的理論分析、古琴音樂療法對改善失眠癥的研究、古琴音樂療法與中醫(yī)兒科的臨床運(yùn)用等.

23) 古琴美學(xué)研究

古琴美學(xué)的研究通常會以個別事例為佐證，在大數(shù)據(jù)時代，針對大容量的古琴音頻數(shù)據(jù)庫和文本語料庫，利用人工智能方法對古琴美學(xué)特征進(jìn)行分析研究，包括琴樂演奏與美學(xué)認(rèn)知研究[13]、古琴與宗教美學(xué)研究、古琴美學(xué)的歷史發(fā)展研究、古琴與生態(tài)美學(xué)研究等.

24) 琴歌研究

琴歌是古琴藝術(shù)的重要組成部分，是一種古老的藝術(shù)形式，現(xiàn)存大約有500多首琴歌[14].琴歌一般都有故事情節(jié)，富有敘事性，利用古琴琴歌樂譜語料庫，結(jié)合自然語言處理(Nature Language Processing, NLP)技術(shù)對琴歌中的曲詞進(jìn)行分析研究，從社會學(xué)、歷史學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等多角度挖掘，還原古代社會的音樂生活.

2 琴律智能分析

表1 古琴13徽的徽位信息

古琴是七弦琴，它的音律同時使用了三分損益律與純律[15]，古琴的音色中散音的發(fā)生由三分損益律產(chǎn)生，而泛音則由純律產(chǎn)生.為了演奏泛音，古琴在制作的時候，在琴面上畫出了13個徽位，這些徽位以琴弦的岳山到龍齦為總長，2等分處為七徽，3等分處為五徽和九徽，4等分處為四徽、七徽和十徽，5等分處為三徽、六徽、八徽和十一徽，6等分處為二徽、五徽、七徽、九徽和十二徽，8等分處為一徽、四徽、七徽、十徽和十三徽，按弦長和頻率成反比來分析，13徽的產(chǎn)生符合純律的生律規(guī)則.表1對13徽與整條琴弦的比例關(guān)系進(jìn)行了描述.

古琴的7根空弦的音高，一般為五聲調(diào)式，其中的4弦中，兩兩互為八度關(guān)系，構(gòu)成了徵、羽、宮、商、角、清徵、清羽7聲.古琴音域?qū)拸V，正調(diào)下從國際標(biāo)準(zhǔn)音名大字組C到小字三組的d3，共有4個八度零1個大二度，最多可包含有51個不同音高的樂音.古琴的定弦法，一般有3種，分別是按音定弦法、泛音定弦法和散音定弦法.在按音定弦法中，先確定第3弦的音高，作為宮音，接著確定第1弦和第6弦的音高，接著在此基礎(chǔ)上確定第4弦的音高，再確定第2弦和第7弦的音高，最后確定第5弦的音高.圖2為按音定弦法的定弦順序.

圖2 古琴琴弦的按音定弦法Fig.2 Setting pitch method of Guqin strings

由圖2可知，在古琴7弦的按音定弦法用到的是九徽和十徽，由表1可知，它們對應(yīng)的頻率比分別是3/2和4/3，這正是三分損益法的音律構(gòu)建比例，假設(shè)第1弦到第7弦的散音頻率分別用p1～p7表示，可以得出如下的各弦散音的頻率之比：

p3=p1×4/3→p1/p3=3/4,
p3=p6×2/3→p6/p3=3/2,
p4=p1×3/2→p4/p1=3/2,
p4×3/2=p7→p7/p4=3/2,
p4=p2×4/3→p2/p4=3/4,
p7=p5×4/3→p5/p7=3/4.

(1)

2.1 琴律的建模

下面通過建模來計算正調(diào)下的各弦和各徽位的頻率，然后以十二平均律的頻率為標(biāo)準(zhǔn)，利用最近鄰法和K-Means聚類算法對各弦散音和各徽的泛音和按音進(jìn)行歸類，分析歸類規(guī)律.建模過程如下：

(1) 假設(shè)正調(diào)下第3弦宮弦的國際絕對音高為大字組F音，第5弦徵弦的國際絕對音高為大字組A音，大字組A音的頻率為110Hz.

(2) 按式(1)和表1，分別計算7弦散音的頻率和7弦13徽的按音和泛音的頻率，共得到98個頻率值.

(3) 對所有的散音、按音和泛音進(jìn)行統(tǒng)計分析.

(4) 按大字一組A音的頻率為55Hz，利用十二平均律向上計算55個音的頻率，其Matlab代碼如下：

TwelveToneEqualTemperament=zeros(1,56);%大字一組A音，向上55個樂音的最高音為小字三組e3,超過了古琴的音域范圍大字組C音到小字三組d3

TwelveToneEqualTemperament (1)=55;

for i=1∶55

TwelveToneEqualTemperament (i+1)=TwelveToneEqualTemperament (1)*(2^(i*(1/12)));

end

(5) 比較和分析散音、按音、泛音和十二平均律樂音的頻率差.

(6) 利用最近鄰法對所有的按音分別歸類到十二平均律的對應(yīng)樂音中，其分類過程如下：

a) 對于任意一個待分類頻率p，計算p與數(shù)組TwelveToneEqualTemperament中每個元素的差的絕對值，組成絕對值差數(shù)組，記為pT；

b) 找出數(shù)組pT中的最小元素，記此最小元素的下標(biāo)為k；

c) 得分類頻率p屬于十二平均律中下標(biāo)為k的樂音；

d) 循環(huán)上述3步，確定所有的散音、按音和泛音的十二平均律樂音類別.

(7) 對泛音進(jìn)行(6)過程.

(8) 利用K-Means聚類算法，對按音分別歸類到十二平均律的對應(yīng)樂音中，其分類過程如下：

a) 把十二平均律計算得到的56個頻率加入到琴律的按音構(gòu)成樣本頻率集D，其中d表示D的一個樣本；

b) 以十二平均律的k=56個頻率作為k個簇的起始均值；

c) 對每個樣本d，計算它到k個簇的均值之間的距離，取其中距離最短的距離對應(yīng)的均值的標(biāo)記作為該樣本的簇標(biāo)記，然后將該樣本加入相應(yīng)的簇；

d) 對每一個簇計算他們新的均值；

e) 如果相比之前的均值有變化，就更新，將其作為新的均值，如果沒有變化，均值就不變；

f) 循環(huán)對D的所有樣本d進(jìn)行以上c)～e)步，循環(huán)1000次，若相鄰兩次循環(huán)時的分類結(jié)果相同，則停止循環(huán).

(9) 對泛音進(jìn)行(8)過程.

(10) 比較最近鄰法和K-Means聚類算法的分類結(jié)果.

2.2 實驗結(jié)果

圖3 古琴各琴弦的不同徽位的泛音和按音頻率Fig.3 Anyin and Fanyin frequency of different emblems of the Guqin strings

由建模第(2)步，可以得到圖3各弦泛音和按音的頻率計算的結(jié)果.由圖3可知，在泛音情況下，各弦的不同徽位的頻率以七徽為對稱軸，呈現(xiàn)左右對稱的現(xiàn)象，在按音情況下，各弦的不同徽位的頻率按徽位大小逐步下降.

由建模第(3)步對按音和泛音的相同頻率進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果見表2.由表2可知，泛音出現(xiàn)頻率相同的徽位較多，如有6個徽位泛音的頻率相同的次數(shù)出現(xiàn)4次.

由建模過程(5)～(8)，分別利用最近鄰法和K-Means聚類算法對91個泛音和按音進(jìn)行分類，對分類后的每個泛音和按音與其所屬類里的十二平均律計算頻率差.91個泛音和91個按音分類后的音高用MIDI碼表示，分類結(jié)果見圖4和圖5.

表2 對相同頻率的泛音和按音統(tǒng)計

圖4 按音的最近鄰法和K-Means聚類算法的分類結(jié)果Fig.4 Classification results by nearest neighbor method and K-Means clustering algorithm for Anyin

圖5 泛音的最近鄰法和K-Means聚類算法的分類結(jié)果Fig.5 Classification results by nearest neighbor method and K-Means clustering algorithm for Fanyin

圖6 古琴泛音和按音與其所屬類的十二平均律音律的絕對值頻率差Fig.6 The absolute frequency difference between Anyinand Fanyin temperament of the sound and its class

由圖4和圖5可知，每個最近鄰法分類點和K-Means聚類算法的分類點都出現(xiàn)在同樣的空間位置，泛音和按音的最近鄰法和K-Means聚類算法的分類結(jié)果是一樣的.然后對每個泛音和按音與其所屬類里的十二平均律計算其絕對值頻率差，得到圖6，其中最大的絕對值頻率差為7.4033Hz.

3 結(jié) 語

古琴藝術(shù)作為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，在數(shù)字信息時代還有大量的數(shù)字化保護(hù)工作需要攻關(guān)與完成.通過對正調(diào)下古琴的琴弦的泛音和按音兩種音色的琴律建模，首次利用人工智能的模式分類方法對音律進(jìn)行分析，取得了良好的效果.