四川

拉密定理是高中數(shù)學(xué)中常用的解題方法，在高中物理問(wèn)題中雖然使用程度不高，但有時(shí)卻很簡(jiǎn)便。動(dòng)態(tài)平衡是高中物理平衡問(wèn)題中的難點(diǎn)，處理方法一般有：解析法、矢量三角形法、相似三角形法。筆者嘗試通過(guò)2017年高考題的分析和說(shuō)明，歸納整理出解決動(dòng)態(tài)平衡的第四種方法——拉密定理法。

1.高考真題

圖1

( )

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

1.1 標(biāo)準(zhǔn)解答過(guò)程

圖2

重力的大小和方向不變。OM和MN拉力的合力與重力是一對(duì)平衡力。如圖2所示，剛開(kāi)始時(shí)，OM拉力等于重力，從圖中的兩種情況可以看出，OM的拉力先大于重力，后小于重力，所以O(shè)M先增大后減小；而拉力MN一開(kāi)始為零，從圖中可以看出，MN拉力一直在增大。故選AD。

1.2 拉密定理解答過(guò)程

圖3

圖4

1.3 對(duì)比兩種解答方法

(1)標(biāo)準(zhǔn)解答的優(yōu)劣

標(biāo)準(zhǔn)解答通過(guò)作圖法，根據(jù)mg不變，找到平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度不變的規(guī)律，通過(guò)作出不同角度的矢量三角形，尋找FOM和FMN的圖示線(xiàn)段長(zhǎng)度的變化，找到FOM和FMN的變化情況，如圖5所示，但由于作圖要求較高，學(xué)生很難在考場(chǎng)上有限時(shí)間內(nèi)作出準(zhǔn)確的圖示，找出力的變化關(guān)系，不利于提高學(xué)生的得分能力。

圖5

(2)拉密定理解答的優(yōu)劣

拉密定理解答需要滿(mǎn)足一定的條件，適合在三力平衡作用下使用，需要滿(mǎn)足其中一個(gè)力的大小方向都不變(如本題中的重力)且其對(duì)應(yīng)的角度(角度的正弦)保持不變；其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)討論過(guò)程中，利用比值不變，討論另外兩個(gè)力對(duì)應(yīng)的正弦值如何變化，如果兩個(gè)角靠近90°，則力變大，遠(yuǎn)離90°，則力變小。該方法具有普遍適用性，學(xué)生在考場(chǎng)中，短時(shí)間內(nèi)能夠得出表達(dá)式，通過(guò)數(shù)學(xué)討論得出正確選項(xiàng)，提升學(xué)生的得分能力。

總而言之，拉密定理法適合高中學(xué)生使用，具有普遍性和可遷移性，是解決動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的重要方法。若力的三角形中存在直角，可用解析法求解；若存在一個(gè)力大小方向都不變，一個(gè)力方向不變，可用圖解法；若存在一個(gè)力大小方向都不變，另外兩個(gè)力方向均變化，可用相似三角形法；若存在一個(gè)力大小方向都不變，且該力對(duì)應(yīng)的夾角(正弦)保持不變，可用拉密定理法。

2.兩個(gè)基本變式

變式訓(xùn)練1

如圖6所示的裝置，用兩根細(xì)繩拉住一個(gè)小球，兩細(xì)繩間的夾角為θ，細(xì)繩AC呈水平狀態(tài)?，F(xiàn)將整個(gè)裝置在紙面內(nèi)順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，共轉(zhuǎn)過(guò)90°。在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，CA繩中的拉力F1和CB繩中的拉力F2的大小發(fā)生變化，正確的是

( )

A.F1先變小后變大 B.F1先變大后變小

C.F2逐漸減小 D.F2最后減小到零

圖6

圖7

變式訓(xùn)練2

半圓柱體P放在粗糙的水平面上，有一擋板MN，延長(zhǎng)線(xiàn)總是過(guò)半圓柱體的軸心O，但擋板與半圓柱不接觸，在P和MN之間放有一個(gè)光滑均勻的小圓柱體Q，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖8所示是這個(gè)裝置的截面圖，若用外力使MN繞O點(diǎn)緩慢地順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在MN到達(dá)水平位置前，發(fā)現(xiàn)P始終保持靜止，在此過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是

( )

A.MN對(duì)Q的彈力逐漸增大

B.地面對(duì)P的彈力逐漸增大

C.P、Q間的彈力先減小后增大

D.Q所受的合力逐漸增大

圖8

圖9

【總結(jié)】

通過(guò)變式，我們可以發(fā)現(xiàn)，只要滿(mǎn)足存在一個(gè)力大小方向都不變，且該力對(duì)應(yīng)的夾角(正弦)保持不變，則用拉密定理法，可以快速準(zhǔn)確地處理動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題，可以有效地提高學(xué)生的得分能力。物理學(xué)科是一個(gè)有條件限制的學(xué)科，學(xué)生欲使用這種方法，需要理解該方法的使用條件，只有理解了使用條件，才能有效地通過(guò)訓(xùn)練提取方法，學(xué)會(huì)變式，應(yīng)對(duì)高考。如何在高三一輪復(fù)習(xí)中，讓學(xué)生有所感悟，方法的提煉和升華是必不可少的，通過(guò)這樣的小專(zhuān)題，可以讓我們的學(xué)生做到舉一反三。

3.方法升級(jí)

拓展訓(xùn)練1

( )

A.小球b的機(jī)械能守恒

B.懸線(xiàn)OE的拉力先增大后減小

C.懸線(xiàn)OC的拉力先增大后減小

D.小球b受到的庫(kù)侖力大小始終為3mg

圖10

【解析】對(duì)小球O進(jìn)行受力分析如圖11所示，由于小球受到四個(gè)力的作用，不再滿(mǎn)足拉密定理的適用范圍，此題看似不能用拉密定理處理。分析題目滿(mǎn)足的幾何關(guān)系，由于OE、OC距離不變，故α保持不變，其對(duì)應(yīng)的力為重力，重力的大小方向都不變，符合存在一個(gè)力大小方向都不變，且該力對(duì)應(yīng)的夾角(正弦)保持不變的條件，要符合拉密定理的基本要求，需要化四個(gè)力為三個(gè)力。由于重力的大小方向都不變，∠BOE和∠BOC也不變，故重力引起的OE和OC拉力均不變，故可以不考慮重力的影響，只考慮庫(kù)侖力FOA的影響。

圖11

圖12

拓展訓(xùn)練2

如圖13所示，帶正電的小球a由絕緣細(xì)線(xiàn)OC和OE懸掛處于靜止?fàn)顟B(tài)，其中OC水平，OE與豎直方向夾角為45°。水平地面固定一平行于OE的絕緣桿，且桿的底端在小球a正下方，頂端與小球a等高?，F(xiàn)將套在桿上帶負(fù)電的小球b從頂端緩慢移到底端的過(guò)程中，小球a始終保持靜止，小球a、b均可視為點(diǎn)電荷。則下列說(shuō)法正確的是

( )

A.小球b在底端和頂端的電勢(shì)能相等

B.整個(gè)過(guò)程中，OE繩中的張力先增大再減小

C.整個(gè)過(guò)程中，OC繩中的張力先減小再增大

D.小球b在底端和頂端時(shí)，OC繩中的張力相同

圖13

圖14

【解析】對(duì)小球O進(jìn)行受力分析如圖14所示，分析同拓展訓(xùn)練1。分析題目滿(mǎn)足的幾何關(guān)系，由于OE、OC距離不變，故α保持不變，其對(duì)應(yīng)的力為重力，重力的大小方向都不變，符合存在一個(gè)力大小方向都不變，且該力對(duì)應(yīng)的夾角(正弦)保持不變的條件，要符合拉密定理的基本要求，需要化四個(gè)力為三個(gè)力。由于重力的大小方向都不變，∠BOE和∠BOC也不變，故重力引起的OE和OC的拉力均不變，故可以不考慮重力的影響，只考慮庫(kù)侖力FOb的影響。

圖15

【總結(jié)】

綜上所述，雖然拓展訓(xùn)練是四個(gè)力的平衡問(wèn)題，同時(shí)只滿(mǎn)足存在一個(gè)力大小都不變，且該力對(duì)應(yīng)的夾角(正弦)保持不變，仍然可用拉密定理法，關(guān)鍵點(diǎn)在于力對(duì)應(yīng)的夾角(正弦)不變。

4.總結(jié)