河北

帶電粒子在勻強磁場中運動是高中物理知識中的重難點，也是歷年高考必考的內(nèi)容之一，在高考中經(jīng)常以壓軸題形式進行考查。此類題目難點是與平面幾何知識結(jié)合，確定粒子各種運動情況對應(yīng)的臨界條件，尤其是多個粒子從不同位置以相同的速度、從同一位置以相同速率、不同方向或從同一位置以不同速率進入勻強磁場，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，更需要結(jié)合幾何知識確定臨界條件，這是解決此類問題的關(guān)鍵所在，也是難點所在。對于這類題型，由于涉及多個粒子的運動，即涉及多個運動軌跡，在實際解題中，我們不可能把每個粒子的軌跡都畫出來，在這種情況下，我們可以根據(jù)粒子進入磁場的速度情況，先確定某一特殊速度粒子的軌跡圓，然后讓這個軌跡圓根據(jù)題意動起來，從而得到其他粒子進入磁場的軌跡，在動圓過程中結(jié)合幾何知識確定符合題意的臨界條件，從而找到解決問題的突破口。

一、旋轉(zhuǎn)圓

大量帶電粒子在垂直磁場方向的平面內(nèi)從同一點O沿平面不同方向以相同大小的速度進入勻強磁場，由于大量帶電粒子進入，每個帶電粒子均做勻速圓周運動(只考慮帶電粒子受到磁場的洛倫茲力)，每個粒子都有一個相應(yīng)的運動軌跡，很顯然我們無法把每個粒子的運動軌跡都畫出來，由于粒子均從同一點進入勻強磁場做勻速圓周運動(該點是軌跡上的同一點)，所以這些粒子運動的軌跡均是半徑相同的相交圓，根據(jù)這個特點，我們可以先確定一個方向特殊的帶電粒子的運動軌跡，其他粒子的運動軌跡可以由這個軌跡繞O點做勻速圓周運動得到，在旋轉(zhuǎn)圓的過程中尋找、確定題意所需要的臨界條件，從而得到粒子運動過程所滿足的規(guī)律。

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【反思】由于所有電荷均從同一平面、同一點、以大小相等、方向不同的速度垂直進入勻強磁場，電荷的軌跡均交于該點，先利用一個特殊的速度方向得到電荷運動的軌跡，其他速度方向的電荷軌跡均可由該軌跡繞該點旋轉(zhuǎn)得到，在旋轉(zhuǎn)圓的過程中，可以確定題意所要求的臨界條件，從而使問題順利求解。

【例2】如圖所示，S處有一電子源，可向紙面內(nèi)任意方向發(fā)射電子，平板MN垂直于紙面，在紙面內(nèi)的長度L=9.1 cm，中點O與S間的距離d=4.55 cm，MN與SO直線的夾角為θ，板所在平面有電子源的一側(cè)區(qū)域存在方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B=2.0×10-4T，電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg，電荷量e=-1.6×10-19C，不計電子重力。電子源發(fā)射速度v=1.6×106m/s的一個電子，該電子打在板上可能位置區(qū)域的長度為l，則

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A.θ=90°時，l=9.1 cm

B.θ=60°時，l=9.1 cm

C.θ=45°時，l=4.55 cm

D.θ=30°時，l=4.55 cm

【反思】粒子進入磁場的速度大小一定，方向不定，即不同速度方向粒子的軌跡是半徑相等且有公共交點的不同軌跡圓。我們以某一特殊方向的粒子軌跡為基準，其他粒子運動軌跡均可由該軌跡圓繞該點旋轉(zhuǎn)得到，在旋轉(zhuǎn)圓的過程中，充分利用幾何關(guān)系，尤其是圓與直線的幾何關(guān)系尋找臨界條件，從而確定電子打在板上可能位置的區(qū)域長度。

二、平移圓

大量帶電粒子在垂直磁場方向的平面，從同一直線邊界上不同的點以相同速度進入勻強磁場，各電荷在勻強磁場中的軌跡為半徑相同的圓弧，選一個特殊位置電荷的軌跡圓弧，平移該軌跡圓弧可以得到其余電荷在磁場中運動的軌跡圓弧，在平移過程中，結(jié)合幾何關(guān)系很容易找到滿足題意的臨界條件，從而找到問題的突破口，使問題順利求解。

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A.粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為4t0

【反思】沿邊界AB移動軌跡的過程中，發(fā)現(xiàn)軌跡在磁場中的長度先逐漸增大再逐漸減小，結(jié)合幾何關(guān)系很容易判斷出當電荷軌跡與BC邊相切時在磁場中的軌跡最長，對應(yīng)的在磁場中運動的時間最長，而這一結(jié)果恰好是本題的難點，找到了這一臨界條件，就能使問題順利求解。

【例4】一邊長為a的正三角形ADC區(qū)域中有垂直該三角形平面向里的勻強磁場，在DC邊的正下方有一系列質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以垂直于DC邊的方向射入正三角形區(qū)域。已知所有粒子的速度均相同，經(jīng)過一段時間后，所有的粒子都能離開磁場，其中垂直AD邊離開磁場的粒子在磁場中運動的時間為t0。假設(shè)粒子的重力和粒子之間的相互作用力可忽略。

采用木棉花80克、金櫻花60克、麥冬60克、陳皮30克，混合均勻，采用中藥粉碎機粉碎后過80目標準篩，每日1次，家禽每次2～4克，家畜每次5～6克，連續(xù)使用3～5日，用于治療畜禽咽喉腫痛、咳嗽、失音、久咳不止、癰疽瘡癤、呼吸道感染、高熱死只等癥狀，有效率高達98.89%。也可采用木棉花木棉花80克、茵陳40克、黃連30克、甘草15克，粉碎過60目標準篩，混勻，每只雞喂1克，拌料，用于畜禽咽喉腫痛、口腔潰爛、癰癤腫毒、不食無力、目呆，有效率高達97.34%。

(1)為了能有粒子從DC邊離開磁場，則粒子射入磁場的最大速度為多大？

(2)若粒子以(1)中的最大速度進入磁場，則粒子從正三角形邊界AC、AD邊射出的區(qū)域長度為多大？

【解析】(1)洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有

當粒子垂直AD邊射出時，D點為粒子做圓周運動的圓心，粒子軌跡對應(yīng)的圓心角為60°，則

根據(jù)幾何關(guān)系可知，當軌跡圓與AC、AD兩邊同時相切時有粒子從DC邊射出，且速度為最大值的臨界條件，如圖所示，設(shè)此時粒子的速度為v1，偏轉(zhuǎn)半徑為r1，則

根據(jù)牛頓第二定律有

(2)把第(1)問中的軌跡圓向右平移，即可得到從DC邊上該點右側(cè)射入磁場粒子的軌跡，在平移過程中軌跡與AC邊相交，表示粒子從AC邊上射出，由于粒子逆時針運動，軌跡與AC邊的第一個交點即為射出磁場的點，該交點逐漸從E點移動到C點，即粒子從AC邊射出的范圍為CE段。

再把第(1)問中的軌跡圓向左平移，即可得到從DC邊上該點左側(cè)射入磁場粒子的軌跡，在平移過程中軌跡與AD邊相交，表示粒子從AD邊上射出，且交點先逐漸向上移動，到達最高點F后再逐漸向下移動到D點，DF即為粒子從AD邊射出的范圍，由幾何關(guān)系知，向左平移圓過程中與AD邊的交點F恰在圓心O正上方時，射出的粒子距D點最遠，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系有

【反思】在本題中，把第(1)問中的軌跡圓分別向左、右平移即可得到其他位置射入磁場的粒子軌跡，在平移圓的過程中結(jié)合幾何關(guān)系很容易得到粒子分別在AC邊和AD邊射出的范圍，從而使問題順利求解。

三、縮放圓

當帶電粒子以任一速率從同一位置沿特定方向射入勻強磁場時，由于速率的不確定，造成帶電粒子的半徑不同，但所有粒子的軌跡均過同一點(進入磁場時的入射點)且圓心均在入射點初速度方向的垂線上，這時我們可利用縮放圓來進行臨界條件的判斷：以入射點為定點，圓心位于入射速度的垂線上，將圓的半徑縮小或放大(一般讓半徑逐漸增大)，從而探索出臨界條件，問題便迎刃而解。

【例5】如圖所示，在一等腰直角三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場(圖中未畫出)，磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，一質(zhì)量為m，電荷量為q不計重力的帶正電粒子從AC邊的中點O垂直AC邊射入該勻強磁場區(qū)域，已知三角形的直角邊長度為2L，下列說法正確的是

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C.當粒子從AD邊離開磁場時，粒子入射速度越大，在磁場中運動的時間越短

【反思】當粒子的入射速度逐漸增大時，對應(yīng)的軌道半徑也隨之增大，但不同速度的粒子在磁場中對應(yīng)的部分軌跡圓均過同一點，且圓心均在同一直線上發(fā)生變化，隨著軌道半徑逐漸增大，結(jié)合幾何關(guān)系很容易判斷出粒子離開磁場時軌跡與磁場邊界對應(yīng)的臨界條件，從而找到解決問題的突破口。

【例6】如圖所示邊長為L的正方形abcd內(nèi)有垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，一束速率不同的帶正電粒子從左邊界ad中點P垂直射入磁場，速度方向與ad邊夾角θ=30°，已知粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，粒子間的相互作用和粒子重力不計，則

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【解析】同一粒子在同一勻強磁場運動時間與粒子在磁場中做圓周運動軌跡對應(yīng)的圓心角成正比，結(jié)合幾何關(guān)系可知，當粒子以較小速度進入磁場且從Pa邊離開磁場時軌跡對應(yīng)的圓心角最大，粒子在磁場中運動的時間最長，對應(yīng)的軌跡如圖所示。

逐漸增大粒子速度，則粒子將分別從ab邊、bc邊和dc邊射出磁場，軌跡對應(yīng)的圓心角逐漸減小，當速度很大時，粒子近似可認為沿著直線穿過磁場，時間無窮小，即粒子在磁場中運動的最短時間趨向零，選項B錯誤。