侍玉青, 杜三山, 尹鳳偉, 呂小紅, 羅冠煒

(1.蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070；2.甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動力學與可靠性重點實驗室，蘭州 730070)

含間隙、約束等非光滑力學因素的機械系統(tǒng)的動力學目前仍是機械和振動工程領域關注的研究熱點。因機械裝配、部件運動限幅的需要，機械部件或機械子系統(tǒng)間必然存在間隙或約束，由此導致機械系統(tǒng)于工作運行中發(fā)生沖擊振動，加劇部件磨損，降低機械設備的服役壽命，極端環(huán)境下會導致機械設備失效甚至產生安全隱患。因此研究含間隙、約束機械系統(tǒng)的動態(tài)特性與動力學參數(shù)的關聯(lián)關系對改善和提升機械裝備動態(tài)性能、實現(xiàn)復雜裝備振動與噪聲的有效控制具有重要的意義。近年來，國內外學者通過定性分析、數(shù)值仿真和試驗對含間隙、約束振動系統(tǒng)的動力學穩(wěn)定性[1-8]、分岔[9-14]、擦碰奇異性[15-26]、顫沖擊振動[27-33]和混沌控制[34-36]等問題作了深入研究。Nordmark研究了帶有剛性約束的單自由度振動系統(tǒng)沖擊映射的奇異性，發(fā)現(xiàn)了穩(wěn)定周期軌道以零速度或低速度與剛性約束擦碰接觸將誘發(fā)一類特殊的Grazing分岔，其不同于連續(xù)動力系統(tǒng)中的各種常規(guī)分岔，并給出了判定Grazing分岔的準則。Whiston將碰撞振動系統(tǒng)的擦切碰撞與函數(shù)曲線的奇異點結合起來，利用奇異性理論研究了碰振系統(tǒng)的全局動力學特性及全局穩(wěn)定流形的碎化機理。Nordmark在此領域的開創(chuàng)性工作為后續(xù)Grazing分岔及其誘發(fā)的復雜動力學行為的進一步研究奠定了理論基礎。其后，國內外學者利用沖擊映射的不連續(xù)幾何方法進一步研究了分段光滑動力學系統(tǒng)的奇異性和Grazing分岔。含間隙沖擊振動系統(tǒng)通常在低頻域內呈現(xiàn)顫-沖擊黏滯振動現(xiàn)象。Toulemonde等提出了沖擊振動系統(tǒng)的顫沖擊-黏滯周期響應式，預估了其局部穩(wěn)定性。Ema等利用沖擊緩沖器抑制了鉆削系統(tǒng)的顫振動以提高鉆削的工作效率。Wagg針對一類帶有多個剛性約束的振動系統(tǒng)，數(shù)值分析了低頻完整顫黏振動及其隆起現(xiàn)象，隆起現(xiàn)象的存在使系統(tǒng)發(fā)生Rising分岔，導致系統(tǒng)于基本周期內的黏滯時間顯著縮短。Nordmark 等推導了基本周期內沖擊累積的局部不連續(xù)映射并且分析了帶有顫黏特征的極限環(huán)的穩(wěn)定性。Chillingworth研究了非退化和退化顫振情況下沖擊振動系統(tǒng)的動力學，論證了其顫黏振動穩(wěn)定流形的復雜結構的發(fā)生機理。Luo等和H?s等研究了齒輪傳動系統(tǒng)和泄壓閥呈現(xiàn)出的顫沖擊黏滯振動現(xiàn)象。

本文采用多參數(shù)、多目標協(xié)同仿真分析著重研究了帶有雙側剛性約束的兩自由度受迫振動系統(tǒng)的動力學特性，分析了低頻域內系統(tǒng)基本周期沖擊振動和亞諧沖擊振動的模式多樣性、參數(shù)域的分布規(guī)律和轉遷特征，討論了相鄰基本周期沖擊振動相互轉遷的不可逆性導致的系列奇異點及相伴隨的兩類轉遷域(遲滯域和舌形域)的發(fā)生機理和分布特征，研究了低頻基本周期沖擊振動群、亞諧沖擊振動模式類型、非完整顫振沖擊振動、完整顫振沖擊振動的特征及形成過程。

1 帶有雙側剛性約束振動系統(tǒng)的力學模型

圖1為帶有對稱雙側剛性約束的周期激勵振動系統(tǒng)的力學模型。系統(tǒng)中兩振動質塊的質量為Mi(i=1, 2)，其位移記為Xi，兩質塊分別通過剛度為Ki的線性彈簧和阻尼系數(shù)為Ci的線性阻尼器與支撐基礎相連接。簡諧激振力Pisin(ΩT+τ)作用于質塊Mi上，其中激勵力振幅、激振頻率和相位角分別為Pi,Ω和τ。當Pi偏小時，系統(tǒng)呈線性振動。隨Pi增大，當兩質塊的位移差達到間隙閾值B時，發(fā)生相互碰撞，即振動系統(tǒng)的兩質塊于|X1-X2|=B處發(fā)生碰撞。振動系統(tǒng)的碰撞恢復系數(shù)為R。系統(tǒng)的無量綱運動微分方程為

(1)

其中，無量綱時間t、變量xi和參數(shù)為

(2)

兩質塊碰撞前后的瞬時速度可根據動量守恒確定

(3)

無量綱參數(shù)式(2)的定義便于開展系統(tǒng)動力學特性與其模型參數(shù)的關聯(lián)關系及匹配規(guī)律研究，其部分參數(shù)的取值范圍為m∈(0, 1),k∈(0, 1),c∈(0, 1)和f∈[0, 1]。在其參數(shù)域內，圖1含間隙-對稱剛性約束振動系統(tǒng)呈現(xiàn)出豐富多樣的周期沖擊振動。借助符號n-p-q描述系統(tǒng)周期沖擊振動的模式類型，n為系統(tǒng)的振動周期Tn=2nπ/ω與激勵力周期之比T0=2π/ω，n=1，2，3，…；p和q分別為兩質塊在系統(tǒng)振動周期內于左、右兩側約束處的沖擊次數(shù)，p，q=0，1，2，3，…。特殊情況，p=q=0，對應系統(tǒng)的無沖擊周期振動1-0-0，其主要存在于高頻或大間隙低頻工況，此時系統(tǒng)呈線性受迫振動。小間隙低頻工況下，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)基本周期沖擊振動群1-p-p(p≥1)，其特征主要表現(xiàn)為系統(tǒng)的振動周期為一個激勵力周期，激振力周期內兩質塊于左、右兩側約束處的相互碰撞次數(shù)均為p。相鄰1-0-0與1-1-1振動的相互轉遷過程和分岔邊界特征與相鄰1-p-p和1-(p+1)-(p+1) 振動間的相互轉遷過程和分岔邊界特征有一定的相似性(p>0)，不同之處僅表現(xiàn)于激振頻率變化方向的差異。因此，為便于分析，1-0-0振動也可歸類于1-p-p基本周期沖擊振動群?；谡駝記_擊特征符號n-p-q，可選擇3個相關Poincaré截面

(4)

對于周期和亞諧沖擊振動，Poincaré截面σn上的不動點數(shù)即為激勵力周期數(shù)n，Poincaré截面σpl和σqr上的不動點數(shù)分別為兩質塊于左右側剛性約束處的相互沖擊次數(shù)p和q。因此根據關聯(lián)Poincaré截面σn,σpl和σqr對應的分岔圖中的分支數(shù)可確定系統(tǒng)周期振動的模式類型n-p-q。系統(tǒng)的沖擊Poincaré映射簡寫為

X(i+1)=f(X(i),μ)

(5)

圖1 帶有雙側剛性約束振動系統(tǒng)的力學模型Fig.1 Mechanical model of vibrationsystem with bilateral rigid stops

2 對稱型n-1-1振動、穩(wěn)定性及分岔

設于間隙右側約束A處相鄰兩次碰撞間，圖1系統(tǒng)方程式(1)的解有如下形式

xi(t)=e-ηjt(aj1cosωdjt+bj1sinωdjt)+Ajsin(ωt+τ)+
Bjcos(ωt+τ), (0xi(t)=e-ηj(t-t1)(aj2cosωdj(t-t1)+bj2sinωdj(t-t1))+
Ajsin(ωt+τ)+Bjcos(ωt+τ), (t1

(6)

(7)

令sj=sin(nπωdj/ω),cj=cos (nπωdj/ω), e1=e-ηjπ/ω,j=1, 2, 及

(8)

(9)

(10)

由式(6)和邊界銜接條件式(7)得系統(tǒng)對稱型n-1-1振動的振幅及相位角

(11)

(12)

(13)

(14)

n-1-1振動的解析式表達如下

xi(t)=e-ηjt(aj1cosωdjt+bj1sinωdjt)+Ajsin(ωt+τ0)+
Bjcos(ωt+τ0), (0≤t≤π/ω)
xi(t)=e-ηj(t-t1)(aj2cosωdj(t-t1)+bj2sinωdj(t-t1))+
Ajsin(ωt+τ0)+Bjcos(ωt+τ0), (π/ω

(15)

(16)

間隙右側約束A處相鄰兩次沖擊間，n-1-1振動的擾動解的邊界條件為

(17)

將式(17)的邊界條件(t=0)代入擾動解式(16)得

(18)

(19)

(20)

(21)

構造函數(shù)

(22)

假設(?h/?Δt1)(0,0,0,0,0)≠0，根據隱函數(shù)定理，由式(22)確定

(23)

(24)

將式(17)的邊界條件t=te代入擾動式(16)得

(25)

構造函數(shù)

(26)

假設(?g/?Δt2)(0, 0, 0, 0, 0, 0)≠0，由隱函數(shù)定理和式(26)確定

(27)

(28)

n-1-1振動在Poincaré截面σpr上不動點的擾動映射為

(29)

Df(v,X*)=?f(v,X)/?X|(v, X*)

(30)

矩陣各元素為

(31)

若Jacobi矩陣的特征值皆位于復平面單位圓周內，即|λi|<1,i=1, 2, 3, 4, 圖1系統(tǒng)的對稱型n-1-1振動是穩(wěn)定的；當一實特征值從(1,0)點穿越單位圓周，其余特征值仍位于單位圓內，對稱型n-1-1振動發(fā)生Pitchfork分岔或鞍結分岔；當一對復共軛特征值穿越單位圓，其余特征值位于單位圓內，對稱型n-1-1振動發(fā)生Neimark-Sacker分岔，呈現(xiàn)概周期振動。仿真分析所得的圖1系統(tǒng)對稱型n-1-1振動及分岔特征可分別由其解析式(15)和Jacobi矩陣式(30)的特征分析驗證。

3 含對稱剛性約束振動系統(tǒng)的運動特性

3.1 周期沖擊振動的模式類型、參數(shù)域及顫振的形成過程

圖2 帶有對稱剛性約束振動系統(tǒng)(ω, δ)-參數(shù)平面內沖擊振動的模式類型及其發(fā)生區(qū)域Fig.2 Pattern types and occurrence regions of various impact motions of the vibration system with symmetric bilateral rigid stops in the (ω, δ)-parameter plane

圖3 整顫振沖擊振動的時間響應圖，δ=0.1Fig.3 Time series of complete chattering-impact motion, δ=0.1

3.2 相鄰基本周期沖擊振動的相互轉遷規(guī)律

圖4 相鄰基本周期沖擊振動1-4-4和1-5-5的分岔圖及相關舌形域內亞諧振動分岔圖, ω=0.27Fig.4 Bifurcation diagrams of adjacent periodic-impact motions 1-4-4 and 1-5-5 and bifurcation diagram of sub-harmonic impact motions in a tongue-shaped region nearby the boundary L:R1-4-4∩R 1-5-5, ω=0.27

圖5 圖4(b)局部示意圖：ω=0.27Fig.5 Local details of Fig. 4(b): ω=0.27

4 含非對稱剛性約束振動系統(tǒng)的運動特性

圖6 不同間隙閾值條件下，帶有非對稱剛性約束振動系統(tǒng)(ω, δ2) -參數(shù)平面內沖擊振動的模式類型及其存在域Fig.6 Pattern types and existence regions of impact motions of a periodically-forced system with asymmetric rigid stops in the (ω, δ2)-parameter plane with different clearance threshold δ1

圖7 帶有非對稱剛性約束振動系統(tǒng)的完整顫振沖擊振動的時間響應圖Fig.7 Time series of complete chattering-impact motion of the periodically-forced system with asymmetric rigid stops

5 結 論

帶有對稱、非對稱剛性約束受迫振動系統(tǒng)在低頻域內均能夠呈現(xiàn)周期沖擊振動群、非完整顫振沖擊振動、完整顫振沖擊振動和舌狀轉遷域內的亞諧沖擊振動。不同點是帶有對稱剛性約束振動系統(tǒng)呈現(xiàn)的基本周期沖擊振動群具有對稱性，而帶有非對稱剛性約束振動系統(tǒng)呈現(xiàn)的周期沖擊振動群不具有對稱性，左間隙閾值較小(偏大或較大)時，系統(tǒng)的沖擊主要集中發(fā)生于左(右)側剛性約束處?；局芷跊_擊振動群的產生源于基本周期沖擊振動的Real-grazing分岔。隨激振頻率遞減，系列Grazing分岔導致基本周期沖擊振動于激勵力周期內的沖擊次數(shù)逐次增多。激勵力周期內沖擊次數(shù)足夠大時，系統(tǒng)呈現(xiàn)非完整顫沖擊振動。激振頻率進一步遞減，非完整顫沖擊振動經Sliding分岔轉遷為完整顫沖擊振動。低頻和小間隙閾值域內，完整型顫沖擊-黏滯振動效果更為明顯。隨著激振頻率ω遞減，基本周期內T=2π/ω，顫沖擊序列快速衰減，兩質塊黏滯于約束處的時間相應延長。

相鄰基本周期沖擊振動相互轉遷的不可逆性導致了一系列奇異點、遲滯轉遷域和舌形轉遷域。相鄰基本周期沖擊振動依系統(tǒng)振動的初始條件或激振頻率ω變化方向的不同可共存于遲滯轉遷域。舌狀域主要源于基本周期沖擊振動的Bare-grazing分岔，系統(tǒng)于舌狀域內呈現(xiàn)規(guī)律性的亞諧沖擊振動群。針對帶有對稱約束的振動系統(tǒng)，在相鄰基本周期沖擊振動1-p-p和1-(p+1)-(p+1)間的舌形轉遷域內系統(tǒng)呈現(xiàn)1-p-(p+1)基本周期振動、2-(2p+1)-2p，3-(3p+1)-(3p+1)和5-(5p+1)-(5p+1)等亞諧振動，其中 1-p-(p+1)振動的發(fā)生域面積最大，該類亞諧沖擊振動隨激振頻率或間隙閾值變化一般發(fā)生周期倍化分岔或Grazing分岔。針對帶有非對稱約束振動系統(tǒng)，當左側約束間隙閾值較小時，其存在若干系列基本周期沖擊振動群1-p-0, 1-p-1, 1-p-2, 1-p-3, 1-p-4, …, 1-p-m，… (p,m=0, 1, 2, 3,…)；例如，對于1-p-1(或1-p-m，m>1)基本周期振動群，舌形轉遷域內存在亞諧n-(n×p+1)-(n×1)(或n-(n×p+1)-(n×m))沖擊振動；當左間隙閾值較大時，其存在周期沖擊振動群1-1-q，相鄰基本周期沖擊振動間的舌形轉遷域內存在亞諧n-(n×1)-(n×q+1)沖擊振動；當左間隙閾值很大時，其存在周期沖擊振動群1-0-q，相鄰基本周期沖擊振動間的舌形轉遷域內存在亞諧n-(n×0)-(n×q+1)沖擊振動，即n-0-(nq+1)。該系列周期沖擊振動群及舌形域內亞諧沖擊振動的分布規(guī)律和分岔特征與帶有對稱剛性約束沖擊振動系統(tǒng)呈現(xiàn)的分布規(guī)律和分岔特征有一定的類似性。

針對帶有對稱剛性約束的沖擊振動系統(tǒng)，相比于偏小或較大閾值δ，系統(tǒng)在非常小的間隙閾值域內基本周期沖擊振動群的形成過程較為復雜，主要經歷三種分岔形式：遞減ω，對稱型1-p-p振動發(fā)生叉式分岔轉遷為非對稱型1-p-p振動；持續(xù)遞減ω，非對稱型1-p-p振動經周期倍化分岔序列嵌入混沌，最終由混沌沖擊振動退化出對稱型1-(p+1)-(p+1)振動。當p足夠大時，系統(tǒng)呈現(xiàn)非完整顫振沖擊振動，再經Sliding分岔轉遷為完整顫沖擊振動。帶有對稱和非對稱約束的振動系統(tǒng)在高頻偏大間隙閾值參數(shù)域內均主要呈現(xiàn)1-1-1振動和無沖擊周期振動；帶有對稱約束振動系統(tǒng)在高頻偏小間隙閾值域內主要呈現(xiàn)對稱型周期1-1-1振動，隨激振頻率遞減，其發(fā)生叉式分岔轉遷為非對稱1-1-1振動，隨激振頻率遞增，其發(fā)生鞍結分岔轉遷為無沖擊1-0-0振動，對于非常小的間隙閾值，當激振頻率過高時，該系統(tǒng)可能呈現(xiàn)亞諧n-1-1振動(n>1)。