張慧淳, 潘維維, 郭志榮, 黃強(qiáng)聯(lián)*

(1. 揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002; 2. 揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225009)

一些重要的廣義逆, 如Moore-Penrose逆[1-2]、 Drazin逆[3]和群逆[3-4]都是外逆, 由于非零有界線性算子總存在非零外逆, 同時(shí)外逆具有一定的穩(wěn)定性, 因而外逆廣泛應(yīng)用于數(shù)值分析[1-2]、算子方程[5]、最優(yōu)化和數(shù)理統(tǒng)計(jì)[2]等學(xué)科中．Nashed[6]首先研究了外逆的擾動(dòng), 給出了外逆穩(wěn)定性定理; Wei[7]研究并總結(jié)了外逆的擾動(dòng)與表示; Huang等[8]討論了外逆的穩(wěn)定擾動(dòng)與最簡表示, 得到了最簡表示為廣義逆、Moore-Penrose逆、Drazin逆和群逆的特征; Zhu等[9]在僅假設(shè)外逆的條件下給出了最簡表示為廣義逆、Moore-Penrose逆、Drazin逆和群逆的充要條件．本文擬在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上探討最簡表示為擾動(dòng)算子的{2,3}-逆、{2,4}-逆和{2,5}-逆的充要條件, 并對文獻(xiàn)[8-10]的相關(guān)結(jié)果進(jìn)行推廣、改進(jìn)與補(bǔ)充．

1 預(yù)備知識

設(shè)非空集合θ?{1,2,3,4,5}, 算子S∈B(Y,X), 方程: (1)TST=T; (2)STS=S; (3) (TS)*=TS; (4) (ST)*=ST; (5)TS=ST, 其中T*表示T的共軛算子．若算子S滿足方程(i) (?i∈θ), 則稱S為T的θ-逆, 記為Tθ．每種θ-逆都有其自身的性質(zhì)和意義, 如{1}-逆為內(nèi)逆; {2}-逆為外逆;{1,2}-逆為廣義逆, 記為T+;{1,2,3,4}-逆為Moore-Penrose逆, 記為T?; 而{1,2,5}-逆則為群逆, 記為T#．

引理4[10]設(shè)X=M1?N=M2?N, 若M1?M2, 則M1=M2．

2 主要結(jié)果

若定理5中的條件外逆T{2}為T的{2,3}-逆T{2,3}, 則可得到如下結(jié)果．

注7推論6改進(jìn)了文獻(xiàn)[8]的定理2.4, 后者僅證明了1)與3)等價(jià)．

類似可得下列結(jié)論．