賀云龍， 李 凌

（上海理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200093）

選擇性激光燒結(jié)技術(shù)是一種先進(jìn)的快速制造技術(shù)，有對(duì)材料適應(yīng)性廣、精度高、工藝簡(jiǎn)單等諸多優(yōu)點(diǎn)。該技術(shù)通過激光逐層地照射燒結(jié)選區(qū)內(nèi)的粉末材料從而形成所需要的部件[1]，但燒結(jié)過程中由于激光能量密度高、燒結(jié)時(shí)間短的特點(diǎn)，成型工件的質(zhì)量對(duì)激光及材料的參數(shù)非常敏感。為了提高工件質(zhì)量，對(duì)燒結(jié)過程中顆粒傳熱現(xiàn)象的研究就顯得尤為重要。很多學(xué)者對(duì)激光和金屬顆粒之間相互作用的過程進(jìn)行了研究，包括對(duì)不同傳熱機(jī)理的對(duì)比[2-3]、激光參數(shù)對(duì)燒結(jié)過程的影響[4]以及不同材料的燒結(jié)特性[5]。然而上述的研究都是把激光光源假設(shè)為沿顆粒表面均勻分布，從而將激光與金屬的相互作用簡(jiǎn)化為一維問題，這樣的處理方法簡(jiǎn)化了計(jì)算。但由于超短激光照射金顆粒的過程中存在著散射效應(yīng)，這導(dǎo)致顆粒表面光強(qiáng)的不均勻分布，因此一維模型無法反映真實(shí)的燒結(jié)情況。Zhou等[6]通過追蹤光子的運(yùn)動(dòng)軌跡來統(tǒng)計(jì)落在顆粒表面各區(qū)域的光子數(shù)目，獲得了顆粒表面光強(qiáng)不均勻分布函數(shù)。Zhong等[7]在此基礎(chǔ)上研究了顆粒間的散射對(duì)表面光強(qiáng)分布造成的影響。本文主要采用二維雙溫度模型，并引入由于散射作用所引起的顆粒表面光強(qiáng)不均勻分布結(jié)果，結(jié)合界面追蹤法模擬了在散射作用下激光照射金顆粒的相變傳熱情況，并研究了在激光燒結(jié)過程中顆粒粒徑這一重要參數(shù)對(duì)燒結(jié)的影響。

1 物理模型

圖1給出了物理模型，一束高斯脈沖激光垂直照射到金顆粒表面，顆粒半徑為r0，初始溫度為T0。將顆粒分成n個(gè)部分，θ為圓心角。激光束的波長(zhǎng)為0.7 μm，寬度為L(zhǎng)，且L=4r0，關(guān)于圓心對(duì)稱，其脈沖寬度為tp，能量密度為J。由于對(duì)稱性，論文選取的計(jì)算區(qū)域?yàn)榘雮€(gè)顆粒。

圖 1 物理模型Fig.1 Physical model

在球坐標(biāo)系下描述電子和晶格能量傳遞的經(jīng)典雙溫度模型如下[8]：

式中：T為溫度；t為時(shí)間；r為深度；C為單位體積熱容；k為熱傳導(dǎo)率；下標(biāo)e和l分別表示電子和晶格；G為電子和晶格的耦合系數(shù)；S為熱源；θ為圓心角；β（θ）為顆粒表面光強(qiáng)分布函數(shù)。

上述模型中的參數(shù)可從文獻(xiàn)[9]中獲得。S的表達(dá)式為[10]

式中：δ代表光子穿透深度；δb代表電子碰撞深度；R為金箔表面的反射率。顆粒表面分布函數(shù)β（θ）根據(jù)Zhou的計(jì)算方法[5]，通過模擬光子和顆粒的相互作用過程來獲得。

在激光波長(zhǎng)為500 nm，顆粒半徑為650 nm的情況下，獲得顆粒表面光強(qiáng)分布如圖2所示。在θ=0～90°的范圍內(nèi)，光強(qiáng)分布函數(shù)符合蘭貝特定律，β隨θ的增加而減小，并在θ=90°附近達(dá)到極小值。在θ=123.75°時(shí)，出現(xiàn)了一個(gè)小的峰值，這主要是因?yàn)槭艿交宸瓷涔庾拥挠绊?。?180°時(shí)，吸收光強(qiáng)達(dá)到最大，這是由于顆粒的散射光強(qiáng)較大的區(qū)域都集中在顆粒的底部，顆粒底部吸收光強(qiáng)變大，甚至超過了θ=0°處的光強(qiáng)值。

圖 2 金顆粒表面光強(qiáng)分布Fig.2 Surface light intensity distribution function of gold particles

計(jì)算初始條件為

忽略從顆粒表面出去的激光輻射損失，邊界條件為絕熱邊界條件：

2 熔化界面追蹤法

燒結(jié)中熔化過程采用基于界面的能量平衡方程、成核動(dòng)力學(xué)方程和液化界面追蹤的方法來計(jì)算。將固-液界面位置所在的控制容積的能量方程寫成焓的形式：

式中焓的計(jì)算公式為

式中：Cl,s為固態(tài)晶格熱容；hm為熔化潛熱；Tl,I為熔化界面溫度；ρl為晶格密度；f為固-液界面所在網(wǎng)格內(nèi)液相的體積分?jǐn)?shù)，與速度有如下關(guān)系，即

式中：rn，rs分別為發(fā)生熔化網(wǎng)格前后界面的位置；us為界面移動(dòng)速度；l為液相界面在控制體中的位置，計(jì)算公式為

式中：l0為上一時(shí)間步熔化界面位置。

將式（9）帶入式（8）并進(jìn)行離散化，再與式（10）聯(lián)立可以得到固-液界面的速度方程為

式中：T為溫度；上標(biāo)n+1表示當(dāng)前時(shí)間步；n表示上一時(shí)間步；下標(biāo)P，N，S，E和W為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位置；n，s，e，w為網(wǎng)格界面位置；I為熔化界面。

網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)劃分如圖（3）和圖（4）所示。對(duì)于超短脈沖激光加工金顆粒，固-液界面的移動(dòng)速度由成核動(dòng)力學(xué)方程控制[11]，可以表示為

式中：Tl,I為熔化界面溫度；Tm為熔點(diǎn)溫度；Rg為金屬氣體常數(shù)；V0為熔化極限速度。

在計(jì)算過程中，當(dāng)最外層晶格溫度首次達(dá)到熔點(diǎn)時(shí)，認(rèn)為熔化過程開始，之后按照以下過程對(duì)金顆粒的熔化和凝固過程進(jìn)行計(jì)算：

a. 假設(shè)界面溫度為控制體節(jié)點(diǎn)溫度，然后按式（12）確定界面移動(dòng)速度，并計(jì)算固-液界面位置和液相體積分?jǐn)?shù)；

b. 將式（12）與式（13）計(jì)算出的界面速度進(jìn)行比較，如果前者的計(jì)算結(jié)果大于后者，則減小界面溫度的預(yù)設(shè)值，反之則增加界面溫度的預(yù)設(shè)值；

c. 經(jīng)過步驟b，對(duì)預(yù)設(shè)固-液界面溫度修正后重新對(duì)電子和晶格溫度進(jìn)行計(jì)算；

d. 重復(fù)步驟a至步驟c，直到用式（12）和式（13）計(jì)算出來的界面移動(dòng)速度差達(dá)到設(shè)定的差值，這一時(shí)間層上的電子、晶格溫度以及界面溫度、界面速度才能滿足計(jì)算精度。

圖 3 網(wǎng)格劃分圖Fig.3 Grid map

圖 4 固液界面附近網(wǎng)格Fig.4 Interface grid

3 結(jié)果與討論

3.1 算法的驗(yàn)證

單脈沖激光照射下金顆粒的溫度場(chǎng)采用了交替方向隱式的有限體積法來計(jì)算，網(wǎng)格數(shù)為502×502。金顆粒的初始溫度為300 K，模擬時(shí)間從-2tp開始，tp=15 ps，時(shí)間步長(zhǎng)為1 ps。為了對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)每個(gè)網(wǎng)格在單位步長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)焓的變化進(jìn)行求和，獲得顆?？偟撵首兞喀，并與該時(shí)間步長(zhǎng)下激光輸入能量ΔS進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5所示（小圖為畫方框部分的局部放大）。激光從t=-30 ps時(shí)開始照射，在t=0 ps時(shí)達(dá)到脈沖峰值，再到t=30 ps時(shí)照射結(jié)束；ΔH也隨之先增大后減小，在激光照射結(jié)束以后，ΔH=0保持不變，ΔH與ΔS基本吻合，能量保持守恒。

圖 5 金顆粒單位時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)焓的變化量和激光輸入的能量Fig.5 Enthalpy change and the energy of laser input

3.2 單脈沖激光照射金顆粒的熔化過程

圖6 是一束tp=15 ps，J=0.5 J/cm2的激光照射粒徑為650 nm的金顆粒在不同時(shí)刻的溫度場(chǎng)。從圖6可以看出，隨著激光照射的開始，顆粒的兩極出現(xiàn)了明顯的高溫區(qū)域，與頂部相比較，顆粒的底部高溫區(qū)域的溫度更高，但范圍較小。這是由于散射效應(yīng)增大了底部光強(qiáng)，使其獲得更多的激光能量。文獻(xiàn)[12]在激光照射金顆粒的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)顆粒底部出現(xiàn)一個(gè)高溫區(qū)域，將基板熔化出一個(gè)坑洞，這與本文模擬得到的顆粒底部出現(xiàn)局部高溫現(xiàn)象基本一致。之后隨著熱量不斷地向內(nèi)部低溫區(qū)域傳導(dǎo)，顆粒底部的高溫區(qū)域逐漸消失，整個(gè)顆粒的溫度場(chǎng)趨于均勻。但上半部分溫度整體水平依舊高于下半部分，這是因?yàn)樯习氩糠诸w粒整體光強(qiáng)水平比較高，獲得更多的激光能量。在圖6（e）顆粒的上半部分，可以看到一條高溫曲線，這是由于熔化結(jié)束以后，發(fā)生再凝固現(xiàn)象放熱，使界面溫度升高。顆粒的相變情況如圖7所示，其中粉色部分是發(fā)生熔化的區(qū)域，顆粒底部在t=2 ps時(shí)最先開始熔化，此后向周圍區(qū)域擴(kuò)散，并在t=536 ps時(shí)熔化體積達(dá)到最大之后開始緩慢凝固。顆粒頂部在t=4 ps時(shí)開始熔化，并于t=1 862 ps時(shí)熔化體積達(dá)到最大。顆粒熔化過程主要發(fā)生在顆粒的兩極，且底部熔化體積小于頂部。

圖 6 不同時(shí)刻顆粒晶格的溫度分布Fig.6 Lattice temperatures at different time

圖 7 不同時(shí)刻顆粒的熔化情況Fig.7 Particle melting at different time

3.3 顆粒粒徑對(duì)燒結(jié)過程的影響

顆粒粒徑的改變會(huì)影響顆粒表面的光強(qiáng)分布，在計(jì)算顆粒表面光強(qiáng)分布的過程中有兩個(gè)非常重要的參數(shù)即無量綱粒徑α與反照率a。無量綱粒徑的表達(dá)式為α=m1πd/λ，其中λ是入射光在真空中的波長(zhǎng)，d為球形顆粒的直徑，m1為顆粒周圍分散介質(zhì)的折射率。當(dāng)顆粒在空氣中時(shí)，無量綱粒徑參數(shù)α=πd/λ。光子被金顆粒吸收或反射是通過反照率a來判斷的，而顆粒的反照率a與無量綱粒徑α的關(guān)系如圖8所示[5]?？梢钥闯鰺o量綱粒徑在0～1范圍內(nèi)，反照率有一個(gè)明顯的增加，之后增幅逐漸變小。

圖9是在激光波長(zhǎng)為500 nm的情況下，通過模擬計(jì)算獲得的不同粒徑金顆粒表面光強(qiáng)分布曲線。可以看出，圓心角在-120°～120°的范圍內(nèi)顆粒表面的光強(qiáng)分布基本沒有受到粒徑變化帶來的影響，但在底部附近，顆粒表面的光強(qiáng)分布有一個(gè)明顯的增強(qiáng)，這是粒徑變化導(dǎo)致反照率變大，散射效應(yīng)被不斷加強(qiáng)的結(jié)果。

圖 8 反照率隨無量綱粒徑的變化Fig. 8 Albedo vs. dimensionless radius

圖 9 不同粒徑顆粒表面的光強(qiáng)分布(λ=500 nm)Fig. 9 Distribution of β(θ) at different radii (λ=500 nm)

一束tp=15 ps，J=0.5 J/cm2的激光分別照射不同粒徑的金顆粒，圖10是在t=30 ps，即激光照射剛結(jié)束時(shí)，顆粒的溫度場(chǎng)分布。從圖中可以看出，顆粒底部的溫度隨著粒徑的增加而不斷升高，當(dāng)粒徑從200 nm增加到800 nm，顆粒底部溫度從3 801 K下降到5 580 K，這是由于粒徑的增加會(huì)加強(qiáng)散射效應(yīng)的作用，使顆粒底部光強(qiáng)提高，從而顆粒底部獲得更多的激光能量。而顆粒頂部與顆粒球心附近的溫度隨著粒徑的增加而不斷降低，當(dāng)粒徑從200 nm增加到800 nm，顆粒頂部溫度從3 793.5 K下降到2 558 K，而球心溫度則從1 230 K下降到860 K。球體的體積比表面積為半徑的，隨著粒徑變大，單位光照面積下的傳熱體積增大，導(dǎo)致溫度降低。

圖11為t=2 000 ps時(shí)顆粒的溫度場(chǎng)分布。此時(shí)粒徑為200 nm的顆粒已經(jīng)完全熔化，顆粒的最高溫度為2 371 K，最低溫度為2 369 K，整體溫度趨于均勻。當(dāng)粒徑為800 nm，顆粒的熔化體積占比為10.1%，顆粒最高溫度為1 331 K，最低溫度為1 000 K。在顆粒的下半部分，底部溫度偏高，這是因?yàn)橄嘧兘缑娴竭_(dá)底部，凝固過程放熱使溫度升高。在激光照射結(jié)束一段時(shí)間以后，顆粒的溫度場(chǎng)趨于均勻，顆粒整體的溫度、熔化程度隨粒徑增加而降低。

圖12是不同粒徑顆粒底部表面溫度隨時(shí)間變化的曲線?？梢钥闯鲭S著粒徑變大，顆粒底部表面溫度達(dá)到的峰值不斷提高，之后下降的速度也越來越快。這是因?yàn)殡S著粒徑變大，散射效應(yīng)增強(qiáng)，顆粒底部獲得更多的能量，溫度也相應(yīng)提高。但由于散射效應(yīng)加強(qiáng)的區(qū)域較小，而其周圍光強(qiáng)較弱的低溫區(qū)域體積隨半徑變大，底部熱量向四周低溫區(qū)域擴(kuò)散，溫度也隨之降低，使熔化不能近一步加深。

圖 10 t=30 ps時(shí)顆粒的溫度場(chǎng)Fig.10 Temperature field of particles at t=30 ps

圖 11 t=2 000 ps時(shí)顆粒的溫度場(chǎng)Fig.11 Temperature field of particles at t=2 000 ps

圖 12 θ=180°時(shí)表面溫度隨時(shí)間的變化Fig.12 Surface temperature at θ=180°vs. time

4 結(jié) 論

本文將激光照射金顆粒的雙溫度模型應(yīng)用到二維雙溫度模型，并引入了由于散射效應(yīng)引起的顆粒表面光強(qiáng)不均勻分布的影響，結(jié)合基于界面能量平衡方程與成核動(dòng)力學(xué)相耦合的界面追蹤法，模擬了在散射作用下激光照射金顆粒的熔化情況，并研究了粒徑對(duì)燒結(jié)過程的影響。研究表明：由于散射效應(yīng)，當(dāng)激光垂直照射金顆粒時(shí)，熔化現(xiàn)象主要發(fā)生在顆粒的兩極，且底部熔化開始時(shí)間早，熔化體積較小。在激光照射階段，粒徑的增加會(huì)增強(qiáng)散射效應(yīng)的作用，使顆粒底部光強(qiáng)提高，底部溫度也隨之升高。在激光照射結(jié)束以后，由于粒徑變大會(huì)增加單位光照表面積下傳熱的體積，所以顆粒的粒徑越大整體的溫度水平越低，顆粒熔化程度也越低，顆粒底部的溫度也下降得越快。