施建昌 陳文珍

(1.浙江省紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心 312030;2.浙江省紹興市錫麟中學(xué) 312069)

柯西不等式不僅形式優(yōu)美而且具有重要的應(yīng)用價(jià)值，許多不等式問(wèn)題通過(guò)柯西不等式化解往往事半功倍，使人耳目一新．下面就柯西不等式的三個(gè)重要應(yīng)用進(jìn)行例析.

一、變形湊數(shù)用柯西

點(diǎn)評(píng)直接應(yīng)用柯西不等式化解的問(wèn)題一般易于破解，有些問(wèn)題不易直接進(jìn)行化解，則需要進(jìn)行必要的湊、補(bǔ)等手段才能達(dá)到，因此要注意對(duì)于已知的式子進(jìn)行必要的變形，以利于柯西不等式的應(yīng)用．

二、二用柯西傳遞證

例2已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，

分析這個(gè)問(wèn)題首選要進(jìn)行變形運(yùn)用柯西不等式，將不等式兩邊同乘以3進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但一步很難達(dá)到目標(biāo)，則時(shí)不妨再用柯西不等式進(jìn)行處理，問(wèn)題便可迎刃而解．

點(diǎn)評(píng)對(duì)于柯西不等式的應(yīng)用，有時(shí)一步不能完成，要注意是否繼續(xù)符合或變形后符合柯西不等式的情況，如果符合則要繼續(xù)應(yīng)用柯西不等式進(jìn)行化解．

三、減少變量用柯西

例3已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，試求a的范圍.

分析這是一個(gè)涉及到四個(gè)變量的柯西不等式問(wèn)題，對(duì)于三維柯西不等式的應(yīng)用還是有公式可擴(kuò)展的，但這個(gè)涉及到四元的柯西不等式直接求解難度較大，需要通過(guò)恒等變形減少變量以達(dá)到目標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)減少變量個(gè)數(shù)運(yùn)用柯西不等式是一種變形技巧，一般理解是四元的就用四元的柯西不等式，然而因?yàn)橐笃渲械囊粋€(gè)變量的范圍，因此要注意減少一個(gè)變量運(yùn)用柯西不等式，通過(guò)柯西不等式轉(zhuǎn)化為所求變量的一元不等式進(jìn)行處理．

柯西不等式作為選修模塊的一個(gè)重要內(nèi)容，在不等式問(wèn)題的處理中占有重要地位，在學(xué)習(xí)其必要性質(zhì)的前提下，理解和掌握好以上三類柯西不等式的重要應(yīng)用十分必要．