王蘭靈
(廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué) 510006)
在高考或各種模擬考試中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)關(guān)于抽象函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的不等式,這類題目往往對學(xué)生造成困惑,很多學(xué)生遇到之后無從下手.其實(shí),這類題目的條件或者問題中通常隱含著一些隱含的信息,給我們以推理的啟示.我們可以順著啟示的方向大膽地猜想、構(gòu)造輔助函數(shù)嘗試尋求破解之法.牛頓曾經(jīng)說過:“沒有大膽的猜想,就作不出大膽的發(fā)現(xiàn).”猜想是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的有效途徑,我們在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)注重鼓勵(lì)學(xué)生積極地去觀察,大膽地去猜想,引導(dǎo)他們親身經(jīng)歷從觀察、猜想到驗(yàn)證、結(jié)論的學(xué)習(xí)探究過程,由此培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和邏輯推理能力,提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
例1 設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x),?x∈R,有f(x)+f(-x)=x2,在(0,+∞)上f′(x) 點(diǎn)評(píng)本題的精華是觀察、猜想和嘗試.只有認(rèn)真地觀察,大膽地猜想,努力地嘗試才會(huì)發(fā)現(xiàn)驚喜. 例2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且有3f(x)+xf′(x)>0,則不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0的解集是____. 分析本題有兩個(gè)思路激發(fā)點(diǎn).第一個(gè)激發(fā)點(diǎn)為:3f(x)+xf′(x)>0.看到條件“3f(x)+xf′(x)>0”,我們可以猜想構(gòu)造函數(shù)h(x)=x3f(x).第二個(gè)激發(fā)點(diǎn)是:(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0,關(guān)注到式子中的(x+2015)3f(x+2015),我們也可以猜想構(gòu)造函數(shù)h(x)=x3f(x),進(jìn)而驗(yàn)證思路的正確性. 解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在(-∞,0)上的可導(dǎo)函數(shù),所以x+2015<0,x<-2015.由3f(x)+xf′(x)>0兩邊同時(shí)乘以x2得:x3f′(x)+3x2f(x)>0,構(gòu)造h(x)=x3f(x),所以h′(x)=x3f′(x)+3x2f(x)>0,得h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0?(x+2015)3f(x+2015)>-27f(-3)?f(x+2015)>h(-3),故x+2015>-3,得x>-2018. 綜上得解集是(-2018,-2015). 點(diǎn)評(píng)知識(shí)是思路的基礎(chǔ),猜想、嘗試和推理是解題的方法.我們既要對導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則熟悉于心,對函數(shù)的構(gòu)造形式理解掌握到位,又要敏銳觀察,大膽猜想,勇于推理嘗試,方可尋得解題思路.如本例中看到條件“3f(x)+xf′(x)>0”就猜想構(gòu)造函數(shù)h(x)=x3f(x),或者發(fā)現(xiàn)了問題中的(x+2015)3f(x+2015),也嘗試構(gòu)造函數(shù)h(x)=x3f(x). 例3(黃岡市2016年高三3月質(zhì)檢)定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)使不等式2f(x) 分析題目給的條件很少,由條件“2f(x) 在解有關(guān)原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的抽象不等式時(shí),學(xué)生不但要有發(fā)現(xiàn)“真諦”的眼光(具有構(gòu)造函數(shù)的知識(shí)儲(chǔ)備),更要具有利用函數(shù)的重要性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性等)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推理的能力.在知識(shí)儲(chǔ)備方面,學(xué)生需要對導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則熟記于心,不但能正向記憶,更要會(huì)逆向運(yùn)用.函數(shù)的構(gòu)造,本質(zhì)上是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的逆用.因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則主要涉及和差、積、商三類,所以常見的函數(shù)構(gòu)造形式通常有以下三類. 1.逆用和、差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的構(gòu)造 對于f′(x)±g′(x)>0或f′(x)±g′(x)<0,構(gòu)造h(x)=f(x)±g(x). 2.逆用積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的構(gòu)造(關(guān)系為“加”型) (1)對于f′(x)+f(x)>0,兩邊同乘ex得:exf′(x)+exf(x)>0,構(gòu)造h(x)=exf(x); (2)對于xf′(x)+f(x)>0,構(gòu)造h(x)=xf(x); (3)對于xf′(x)+nf(x)>0,若x≠0,則兩邊同時(shí)乘以xn-1得:xnf′(x)+nxn-1f(x)>0或者xnf′(x)+nxn-1f(x)<0,構(gòu)造h(x)=xnf(x). 3.逆用商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的構(gòu)造(關(guān)系為“減”型)二、逆用積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)
三、逆用商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)