潘園園， 曾笑云， 劉 洋， 楊晟院， 左國才

1(湘潭大學(xué) 信息工程學(xué)院，湘潭 411105)

2(湖南軟件職業(yè)學(xué)院 軟件與信息工程學(xué)院，湘潭 411100)

邊緣是像素灰度值發(fā)生劇烈變化的像素的集合，圖像大部分的信息存在于邊緣中. 邊緣檢測是圖像處理領(lǐng)域中研究最廣泛最重要的課題之一，也是圖像分割、圖像重建、特征提取和目標(biāo)識別的基礎(chǔ).

當(dāng)從圖像中提取邊緣時(shí)，通常會出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，比如曲線不連接、缺失邊緣和假邊. 因此，構(gòu)建一種能夠精確檢測圖像邊緣的方法是至關(guān)重要的. 目前為止，已經(jīng)有許多不同的方法成功的應(yīng)用到圖像邊緣檢測中[1-6].文獻(xiàn)[1]提出一種在邊緣檢測過程中加入邊緣曲度算子進(jìn)行噪聲衰減的邊緣檢測方法. 此方法可以抑制噪聲得到較高的定位精度，但耗時(shí)比傳統(tǒng)Canny方法有一定的增加. 文獻(xiàn)[2]是采用小波變換和改進(jìn)的自適應(yīng)中值濾波器代替Canny方法中使用的高斯濾波器對圖像進(jìn)行平滑處理，具有較高的定位精度，但時(shí)間復(fù)雜性有所增加. 文獻(xiàn)[3]提出了一種基于灰度關(guān)聯(lián)的自適應(yīng)邊緣檢測方法，該方法可以自適應(yīng)的計(jì)算閾值，使邊緣更加完整，但有時(shí)沒有設(shè)置閾值精度高. 文獻(xiàn)[4]提出了一種基于估計(jì)理論的邊緣檢測方法，該方法在局部細(xì)節(jié)上具有一定的優(yōu)勢，但檢測完整性不具有優(yōu)勢. 文獻(xiàn)[5]提出一種Canny算子與智能路由算法相結(jié)合的邊緣檢測方法，該方法對邊緣映射效果要求很高. 文獻(xiàn)[6]提出一種基于多級形態(tài)學(xué)的模糊邊緣檢測方法，該方法可以得到較準(zhǔn)確的邊緣檢測結(jié)果，此方法適用于有多目標(biāo)而不是單一目標(biāo).

目前已有的邊緣檢測方法除了對傳統(tǒng)邊緣檢測算子進(jìn)行改進(jìn)之外，隨著人工智能的發(fā)展，又出現(xiàn)一些新的邊緣檢測方法[7-10].

從數(shù)學(xué)角度分析，微分要求函數(shù)曲線具有一定的光滑度，但積分對函數(shù)曲線的光滑度要求不高. 因此，本文從積分的角度，提出一種基于局部能量的邊緣檢測方法. 此方法是在以一個(gè)像素點(diǎn)為中心的對稱區(qū)域中，計(jì)算區(qū)域內(nèi)所有像素的灰度值與中心像素的灰度值之間的差值，差值平方的總和作為中心像素點(diǎn)所對應(yīng)的局部能量. 這個(gè)局部能量是一種積分形式的. 通過局部能量的大小來判斷此積分區(qū)域內(nèi)是否存在邊緣.一般地，邊緣點(diǎn)對應(yīng)的局部能量較大，而光滑區(qū)域內(nèi)的像素點(diǎn)對應(yīng)的局部能量是比較小的. 因此，根據(jù)局部能量函數(shù)的大小，就可以快速有效地找到邊緣點(diǎn)所在的位置.

1 基于局部能量的邊緣檢測方法

1.1 局部能量方法

圖1(a)是一個(gè)理想的階躍曲線，灰度值的躍變表成一個(gè)集合，像素點(diǎn)y∈Ωx，f(x)是中心點(diǎn)x的像素灰度明圖像中邊緣點(diǎn)的存在. 圖1(b)是階躍曲線的導(dǎo)數(shù).圖1(b)中的峰值點(diǎn)對應(yīng)圖像的邊緣點(diǎn). 如圖2所示，假設(shè)有一條線段L，長度是2r，線段的中心點(diǎn)是x. 讓線段L的中心點(diǎn)沿著曲線移動. 運(yùn)動過程如圖2所示. 中心點(diǎn)x在曲線上移動過程中相對應(yīng)點(diǎn)的像素灰度值都稱為f(x)，而線段與曲線所圍對稱區(qū)域內(nèi)所有像素點(diǎn)構(gòu)值，f(y)是對稱區(qū)域內(nèi)其他像素點(diǎn)y的像素灰度值. 計(jì)算此對稱區(qū)域內(nèi)所有像素灰度值f(y)和中心點(diǎn)x的像素灰度值f(x)的差值平方和，這些差值平方和稱為中心像素點(diǎn)x所對應(yīng)的局部能量.

圖1 階躍曲線及其導(dǎo)數(shù)

圖2 水平線段L的中心點(diǎn)沿曲線運(yùn)動時(shí)，曲線與水平線段L的中點(diǎn)的差值示意圖

根據(jù)以上的分析，局部能量函數(shù)定義如下：

考慮到高斯核函數(shù)K(x)具有緊支撐性和加權(quán)的特性，式(1)可以改寫成：

本文選擇的高斯核函數(shù)是式(3).

1.2 理論分析

基于上述對圖2的分析，可以得到如下的結(jié)論：

也真是奇怪，有些事情，苦思冥想往往找不到解決的途徑，一旦放松下來，甚至把它撂在了一邊不去管它，頭腦中或許會一瞬間跳出一個(gè)天才的解決方案。此時(shí)，在與“詩的妾”打情罵俏的短信中，一個(gè)想法突然在高潮頭腦中清晰起來。高潮有些興奮，站起身來，拍拍屁股，真的沖著湖面，大叫了幾聲。湖對面的那流浪青年停下練唱，用中氣十足的嗓音對高潮喊道，不服氣啊哥兒們，有本事你也來段海豚音？

結(jié)論：線段L的中心點(diǎn)沿著曲線移動，局部能量值是不斷變化的，當(dāng)線段的中心點(diǎn)與邊緣點(diǎn)重合時(shí)，局部能量達(dá)到最大值.

證明. 在圖2中，局部能量函數(shù)在邊緣點(diǎn)x=0處達(dá)到最大值.

假設(shè)x-y=τ,y=x-τ,dy=-dτ得到

對式(5)求導(dǎo)數(shù)得：

當(dāng)x=0時(shí)

如圖1所示，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(x)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù). f(x+τ)-f(x-τ)是大于零的常數(shù). 當(dāng)x＜0，導(dǎo)函數(shù)f′(x)是單調(diào)遞增的，當(dāng)x＞0時(shí)單調(diào)遞減，滿足對稱性.

因?yàn)椋琭(x+τ)-f(x)和f(x)-f(x-τ)大于零，所以

(1)當(dāng)x-τ＜0,x＞0，即x∈(0,τ)，f′(x+τ)-f′(x)＜0，f′(x)-f′(x-τ)＜0.

(2)當(dāng)x-τ＞0，即x∈(τ,∞)，f′(x+τ)-f′(x)＜0，f′(x)-f′(x-τ)＜0.

綜上所述，只要滿足x＞0，E′(x)的值是恒小于零的，因此，當(dāng)x＞0時(shí)局部能量函數(shù)E(x)是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù).

同樣的，根據(jù)f′(x)的對稱性，當(dāng)x＜0時(shí)，局部能量函數(shù)E(x)是單調(diào)遞增函數(shù). 因此，局部能量函數(shù)在邊緣點(diǎn)x=0取得大值. 在實(shí)驗(yàn)中，我們通過調(diào)整閾值得到邊緣點(diǎn).

例如，如圖3(a)所示，x=0處的跳變點(diǎn)為邊緣點(diǎn).如圖3(b)所示，局部能量最大值點(diǎn)也在x=0處.

圖3 階躍曲線及其各點(diǎn)對應(yīng)的局部能量示意圖

本文提出了一種基于局部能量的邊緣檢測方法，當(dāng)中心點(diǎn)位于對稱區(qū)域中的光滑區(qū)域時(shí)，局部能量值比較小，當(dāng)位于邊緣點(diǎn)時(shí)，局部能量達(dá)到最大值. 因此，可以通過局部能量的最大值來快速準(zhǔn)確的確定邊緣點(diǎn)位置.

本文方法的算法步驟如下：

步驟1. 輸入圖像;步驟2. 使用高斯核函數(shù)對圖像進(jìn)行預(yù)處理;步驟3. 邊緣檢測響應(yīng)采用式(2)的局部能量函數(shù);步驟4. 選擇適當(dāng)?shù)拈撝颠M(jìn)行處理;步驟5. 輸出邊緣映射圖.

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在本節(jié)中，通過一系列的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性. 實(shí)驗(yàn)中使用的圖像包括正常圖像、合成圖像、醫(yī)學(xué)圖像以及Berkeley分割數(shù)據(jù)集(BSDS)中圖像. 本節(jié)分兩部分進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：1) 與常用邊緣檢測方法的對比;2) 通過Baddeley誤差度量(BEM)[20]方法進(jìn)行的數(shù)值比較.

2.1 與常用邊緣檢測方法對比實(shí)驗(yàn)

本文方法與常用邊緣檢測方法對合成圖像和醫(yī)學(xué)圖像的邊緣檢測結(jié)果對比如圖4、圖5、圖6所示.

圖4 本文方法與常用邊緣檢測方法對合成圖像的邊緣檢測結(jié)果示意圖(括號中數(shù)值為從上到下閾值). (a)原圖; (b) 本文方法(0.4，0.15，0.27); (c) Canny (0.8，0.35，0.45); (d) Sobel(30，5，9); (e) Prewitt (30，5，8); (f) LoG (3，0.5，0.7)

其中，圖4和圖5的第(a)列是原圖，第(b)-(f)列分別是采用本文方法、Canny方法、Sobel方法、Prewitt方法和LoG方法的邊緣檢測結(jié)果. 從圖片效果上看，本文方法的檢測結(jié)果要優(yōu)于其它方法.

圖6的第二行圖像是在第一行原圖的基礎(chǔ)上加了標(biāo)準(zhǔn)差為0.05的高斯噪聲圖像，第四行圖像是在第三行原圖的基礎(chǔ)上加了標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的高斯噪聲圖像. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法能得到更好的檢測結(jié)果.

圖7為本文方法與其他文獻(xiàn)所提方法的比較，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，本文方法能得到較好的邊緣檢測結(jié)果.

圖5 本文方法與常用邊緣檢測方法對醫(yī)學(xué)圖像的邊緣檢測結(jié)果示意圖(括號中數(shù)值為從上到下閾值). (a)原圖; (b)本文方法(0.25，0.26); (c)Canny (0.3，0.45); (d) Sobel (17，5); (e)Prewitt(12，5); (f) LoG (0.2，0.4)

圖6 本文方法與常用邊緣檢測方法對原圖與添加了高斯噪聲圖像的邊緣檢測結(jié)果示意圖(括號中數(shù)值為從上到下閾值). (a)原圖; (b)本文方法(0.19，0.19，0.2，0.3); (c) Canny(0.19，0.17，0.3，0.5); (d) Sobel (15，19，15，30); (e) Prewitt(15，18，15，30); (f) LoG (1.5，1.5，1.2，1.8)

圖7 本文方法與其他文獻(xiàn)檢測方法的對比

2.2 BEM對比試驗(yàn)

在本節(jié)中，通過對不同條件下的相同圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)來比較本文方法和其他方法. 為了進(jìn)行定量比較，本文使用 Baddeley誤差度量(BEM)[20]方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證. 兩個(gè)二進(jìn)制圖像的不同之處是由BEM計(jì)算的. 這些實(shí)驗(yàn)是在不同類型的Berkeley分割數(shù)據(jù)集(BSDS)[21，22]圖像上進(jìn)行的. 在本節(jié)實(shí)驗(yàn)中使用了很多不同場景下的圖像.

因?yàn)檫吘売成鋱D像通常是以二進(jìn)制的形式顯示，因此，它可以使用BEM方法進(jìn)行比較研究. I1和I2是兩個(gè)二進(jìn)制圖像，有相同的維度N×M，p={1,···,N}×{1,···,M}是像素位置集合. I1是BSDS中給出的真實(shí)的邊緣圖像，I2是邊緣檢測方法獲得的邊緣圖像. k-BEM(0＜k＜∞)的定義如下：

其中，ω是一個(gè)用于權(quán)重的凹遞增函數(shù)，d(p,Ii)表示點(diǎn)p到最接近的邊緣點(diǎn)的Ii距離. 實(shí)驗(yàn)中所要用到的距離函數(shù)，選擇使用歐幾里得距離公式. 根據(jù)文獻(xiàn)[23，24]，在所有的BEM對比實(shí)驗(yàn)中，選擇統(tǒng)一使用k=2和ω(x)=min(c,x)，其中

BEM方法是用來比較兩幅二進(jìn)制圖像之間的差異性的. 所以，通過BEM方法得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果越小，說明兩幅圖像間的差異性越小，也就意味著邊緣檢測得到的結(jié)果越接近BSDS數(shù)據(jù)庫中給出的真實(shí)邊緣圖像.

將本文方法和其他方法應(yīng)用到Berkeley分割數(shù)據(jù)集(BSDS)的10個(gè)測試圖像中，把不同方法得到的二進(jìn)制圖像與BSDS中給出的真實(shí)邊緣圖像使用BEM方法計(jì)算不同之處，并將本文方法與其他方法得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較. 實(shí)驗(yàn)中用到的圖像分為兩類：原圖像和添加高斯噪聲圖像.

使用邊緣檢測方法來處理圖像時(shí)，選擇不同的閾值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，通過對閾值大小的不斷調(diào)整，選擇一個(gè)最接近實(shí)際邊緣的二進(jìn)制圖像進(jìn)行比較. 這樣得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是比較合理的.

表1 本文方法與其他方法對原圖使用BEM方法得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表1為采用本文方法與其他算法針對原圖進(jìn)行邊緣檢測的BEM值對照表. 表1中第一列為BSDS數(shù)據(jù)庫中的圖像編號，第2-9列分別為Canny0.75、Canny1.5、Prewitt、Sobel、LoG、Ant算法[23]、GED-T[24]、GEDEA[25]和本文方法的BEM值(其中，Canny0.75表示Canny方法采用閾值為0.75的情形). 表1中的最后一行的sum項(xiàng)為各種方法處理數(shù)據(jù)庫圖例的各項(xiàng)BEM值的總和. 從表1可以看出，本文方法的檢測結(jié)果中至少有6幅圖像的結(jié)果是優(yōu)于其他幾種方法方法. 例如，BSDS數(shù)據(jù)庫中圖像編號為69015的圖像，本文方法的BEM值比其他幾種方法的BEM值都要小，也就是說，本文方法與其他幾種邊緣檢測方法相比，邊緣檢測得到的結(jié)果更接近BSDS數(shù)據(jù)庫中給出的真實(shí)邊緣圖像. 但也有幾幅圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果并不都是最小的，如圖像編號為54082的圖像，本文方法檢測到的結(jié)果并不是最好的，但與其他方法相比也是可以接受的，而且表1中所有圖例的BEM總和也是最小的.

表2為采用本文方法與其他算法針對添加噪聲的圖像進(jìn)行邊緣檢測的BEM值對照表. 噪聲圖像是在原圖像的基礎(chǔ)上，添加了標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的高斯噪聲得到的. 表2中的數(shù)據(jù)顯示，本文方法針對含噪聲圖像的邊緣檢測結(jié)果中至少有6幅圖像的結(jié)果是比其他幾種方法得到的結(jié)果都要小，說明針對噪聲圖像，本文方法得到的檢測結(jié)果也是比較接近BSDS數(shù)據(jù)庫中給出的真實(shí)邊緣圖像. 因此，本文方法對含有少量噪聲的圖像的邊緣檢測也是有效的.

表2 本文方法與其他方法在添加噪聲的圖像中使用BEM方法得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表1和表2給出的數(shù)據(jù)中，本文方法無論是對原圖還是對添加了高斯噪聲后的圖像的檢測結(jié)果都有超過半數(shù)是比其他方法檢測到的數(shù)值要小. 根據(jù)BEM方法的理論知，數(shù)值越小，檢測到的結(jié)果越接近數(shù)據(jù)庫中給出的邊緣圖，說明檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性越高. 因此，本文方法的優(yōu)勢在于檢測結(jié)果相對于其他幾種方法來說是比較好的.

3 結(jié)論

本文提出了一種新的基于局部能量的圖像邊緣檢測方法. 局部能量最大的點(diǎn)對應(yīng)于邊緣點(diǎn). 通過局部能量，可以有效地找到邊緣點(diǎn). 通過大量的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，本文方法無論是從視覺效果上還是BEM定量結(jié)果上，與其他方法相比，都能得到比較好的檢測結(jié)果.