陳 浩，羅靜博，崔桉愷

（海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院，湖北 武漢 430000）

0 引言

到目前為止，在水中兵器應(yīng)用領(lǐng)域，對艦船磁場建模的基本假設(shè)是艦船靜止停泊在固定方向上，由此導(dǎo)出的艦船磁場是靜態(tài)磁場，滿足拉普拉斯方程[1-2]。采用等效源方法或有限元等方法[3-5]，能夠精確求解出艦船磁場的數(shù)學(xué)模型，據(jù)此評估艦船的磁性狀態(tài)，所建模型也能較好地用于測量點(diǎn)附近保持同一航向運(yùn)動(dòng)的艦船。艦船的固定磁場在十幾天內(nèi)是不變的，但是其感應(yīng)磁場卻隨著航向和航行地點(diǎn)的變化而變化[6]，因此，根據(jù)單一方向測量數(shù)據(jù)解出的磁場模型不能用于評估不同緯度、不同航向的艦船磁場。需要掌握艦船的實(shí)時(shí)磁場狀態(tài)，便迫切需要建立艦船磁場在實(shí)際航行中的數(shù)學(xué)模型。本文將通過等效源的方法，求出固定磁矩參數(shù)和感應(yīng)磁矩參數(shù)。其中固定磁矩是不變的，適應(yīng)于不同緯度和不同航向，而感應(yīng)磁矩可以根據(jù)不同航向和不同緯度的磁場投影的大小進(jìn)行調(diào)整后精確描述運(yùn)動(dòng)艦船磁場的磁性。由此建立艦船磁場能適用于不同航向和不同緯度的數(shù)學(xué)模型。

1 旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子混合陣列模型

艦船磁場建模等效源中最常見的就是偶極子和旋轉(zhuǎn)橢球體[7-8]，其中包括：均勻磁化的旋轉(zhuǎn)橢球體模型、旋轉(zhuǎn)橢球體陣列模型、磁偶極子陣列模型、旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子混合陣列模型。需根據(jù)艦船磁場的產(chǎn)生機(jī)理和磁源分布特征來建立數(shù)學(xué)模型[9]。建模中，采用合理的模型參數(shù)描述艦船磁場的分布規(guī)律；采用高魯棒性模型求解方法求解模型參數(shù)；同時(shí)采用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法確保所建模型的置信度和模型精度。

如圖1所示，艦船磁場可用1個(gè)均勻磁化的旋轉(zhuǎn)橢球體和 1列磁偶極子所組成的混合模型所產(chǎn)生的磁場來擬合。旋轉(zhuǎn)橢球體位于艦船吃水面的中心x=0處，長軸2a為艦船長度LS，短軸2b為艦寬WS；1列N-1個(gè)磁偶極子均勻布放于艦船吃水面中線上，布放間隔d取為船寬。

布放間隔d為

磁偶極子個(gè)數(shù)為

2 考慮航向變換時(shí)的模型

2.1 考慮航向變換時(shí)艦船磁場建模

在一定的時(shí)間內(nèi)，固定磁性可視為不變，感應(yīng)磁性，其大小和方向隨當(dāng)?shù)卮艌龅臄?shù)值而成比例地變化。所以可以把旋轉(zhuǎn)橢球體或磁偶極子模型的磁矩分解為固定磁矩和感應(yīng)磁矩進(jìn)行研究。

根據(jù)式（3），利用艦船磁場的測量數(shù)據(jù)，采用回歸方法求解模型參數(shù)，得到艦船磁場的單航向模型。

其中每一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體或磁偶極子的解法為

利用式（4）建立關(guān)于磁矩的線性方程組如下：

方程（5）有3個(gè)變量，3×n×m個(gè)方程，屬超定方程，一般用最小二乘法求解。為了用最小二乘法求解方程（4），將下標(biāo)重排，下標(biāo)重排規(guī)則為(11,12,…,1m,21,22,…,2m,…,n1,n2,…,nm,)=(1,2,…,K)其中K=n×m為測量點(diǎn)數(shù)目。

方程（5）的最小二乘問題可用以下方程表示：

由式（7）得到式（8）：

式（8）就是方程（4）的最小二乘解，由此計(jì)算出磁矩后便可利用式（3）計(jì)算出邊界面下方任意點(diǎn)的艦船磁場。

如果要求得運(yùn)動(dòng)艦船模型，需要把艦船磁場分解成固定分量和感應(yīng)分量，艦船磁場的模型磁矩也可分解成固定磁矩和感應(yīng)磁矩，即：

已知，艦船在航行過程中，由于受地磁場感應(yīng)磁化而形成的感應(yīng)磁性，其大小和方向隨當(dāng)?shù)卮艌龅臄?shù)值而成比例地變化，所以縱軸方向感應(yīng)磁矩可表示為地磁場縱向方向與比例系數(shù)之積。

式中：Kxi為縱軸方向感應(yīng)磁化系數(shù)；BH為地磁場的水平分量；ψ為磁航向角。

將式（10）代入式（9）得到：

同理可以得到方程：

式中：Kyi、Kzi分別為橫向方向和垂直方向的感應(yīng)磁化系數(shù)；分別為橫向方向和垂直方向的固定磁矩。這里很顯然，BH、ψ均為已知量，只要有2組數(shù)據(jù)就可以解算出Kxi、Kyi和。由于艦船在橫向方向與垂直方向的體積相似，故磁化系數(shù)可以近似代替，即：Kzi=Kyi。

于是式（12）可以改寫成：

利用 2組模型磁矩參數(shù)就可以解算出以上方程的所有參數(shù)，利用多組模型磁矩參數(shù)平均計(jì)算可提高精度。

計(jì)算出磁矩后便可利用式（3）計(jì)算出邊界面下方任意點(diǎn)的艦船磁場。從而得到不同航向上運(yùn)動(dòng)艦船的磁場的數(shù)學(xué)模型。

2.2 運(yùn)動(dòng)艦船數(shù)學(xué)模型計(jì)算分析

采用模型艦船的實(shí)際磁場數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)艦船數(shù)學(xué)模型計(jì)算分析。艦船磁場分析軟件應(yīng)用線性回歸的方法進(jìn)行旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子混合建模，采用14個(gè)磁偶極子與1個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體來模擬艦船磁場。分別得到4組相互正交的航向上磁矩?cái)?shù)據(jù)。分別為北（N）、東（E）；北（N）、西（W）；東（E）、南（S）；西（W）、南（S）4組數(shù)據(jù)。求解，得到4×15 組模型參數(shù)Mx、My、Mz。

模型驅(qū)逐艦的數(shù)據(jù)為船長Ls=132 m，船寬Ws=10.8 m，測量深度分別為Z=13 m和Z=22.3 m，其數(shù)據(jù)點(diǎn)分布見圖2。

利用2.1節(jié)中描述的方法，求解得到的磁矩方程參數(shù)如圖3所示。圖中僅列出Z=13 m時(shí)的情況，Z=22.3 m時(shí)結(jié)果類似。

圖2 艦船磁場測量數(shù)據(jù)點(diǎn)分布Fig.2 Distribution of measurement data points of ship magnetic field

從4組數(shù)據(jù)計(jì)算出來的參數(shù)由15個(gè)點(diǎn)組成，從圖3-4可以看出其變化趨勢相同。要注意的是：圖3-4中，參數(shù)值最后一組值的參數(shù)是旋轉(zhuǎn)橢球體模型參數(shù)數(shù)據(jù)，其x、y軸方向感應(yīng)磁化系數(shù)，x軸方向固定磁矩都明顯大于前面14組偶極子模型參數(shù)數(shù)據(jù)。14個(gè)磁偶極子數(shù)據(jù)得到的x軸方向固定和感應(yīng)磁矩、y軸方向感應(yīng)磁化系數(shù)參數(shù)組變化趨勢基本相同，有一定的誤差，這是由于磁場測量是有一定的誤差所引起的。由于初始計(jì)算的4組數(shù)據(jù)是不相關(guān)的4個(gè)方向數(shù)據(jù)的正交組合，所以計(jì)算結(jié)果表明了算法的穩(wěn)定性。利用多組模型磁矩參數(shù)平均計(jì)算得到更精確的參數(shù)。

圖3 X軸與Y軸的固定磁矩與磁化系數(shù)（15個(gè)模型點(diǎn)；Z=13 m）Fig.3 Fixed magnetic moments and susceptibilitys of X-axis and Y-axis（15 model points；Z=13 m）

將計(jì)算得到參數(shù)組期望值代入式（13），可得磁矩參數(shù)值Mx、My、Mz的解算方程，可計(jì)算固定緯度任意航向的艦船磁場，使用模型得到北航向艦船磁場反演數(shù)據(jù)與測量演算數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，得到的對比圖如圖4所示。

從圖中可以看出，反演數(shù)據(jù)與測量演算數(shù)據(jù)有較好的一致性，可進(jìn)一步計(jì)算相對標(biāo)準(zhǔn)偏差來分析數(shù)據(jù)精度，采用下式進(jìn)行計(jì)算：

在水深為13 m處測量時(shí)計(jì)算結(jié)果為5.74%，當(dāng)水深為22.3 m時(shí)，相對標(biāo)準(zhǔn)偏差為10.6%，總體精度較高，證明了所建模型的有效性。

3 考慮緯度變換時(shí)的模型

在上一節(jié)的分析中，得到了考慮航向變化時(shí)的艦船磁場數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵方程為式（13），在方程中引入了磁航向ψ，可以利用方程估算任意航向的艦船磁矩參數(shù)，然后利用式（3）解算出艦船的磁場。觀察式（12），不難發(fā)現(xiàn)BH、BZ已經(jīng)引入了緯度信息，設(shè)θ為艦船航行地區(qū)的緯度，可以將式（12）改寫成為

式中θ為艦船航行的緯度。如果知道相同艦船不同緯度磁場測量值是可以計(jì)算出Kzi的，故式（13）可以回歸到：

表1 4組數(shù)據(jù)得到的磁化系數(shù)期望值（Z=13 m）Table 1 Expected values of magnetization coefficient from 4 sets of data（Z=13 m）

圖4 北航向模型反演數(shù)據(jù)與測量數(shù)據(jù)對比（15個(gè)模型點(diǎn)；Z=13 m）Fig.4 Comparison of northward direction model's inversion data and measurement data（15 model points；Z=13 m）

4 結(jié)束語

本文圍繞運(yùn)動(dòng)艦船磁場數(shù)學(xué)建模問題展開研究，分析了艦船磁場的產(chǎn)生來源，將艦船磁場模型參數(shù)分為固定磁矩與感磁磁矩，運(yùn)動(dòng)艦船磁場數(shù)學(xué)建模問題主要是針對感磁磁矩進(jìn)行建模。研究了考慮航向變化和緯度變化時(shí)艦船磁場的數(shù)學(xué)建模問題，采用4個(gè)航向的實(shí)船數(shù)據(jù)對建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，證明了算法的穩(wěn)定性。分析了現(xiàn)有感應(yīng)磁場測量方法，并根據(jù)磁場測量值得到艦船磁場的計(jì)算值，在4個(gè)主要磁航向上把艦船磁場感應(yīng)測量值與艦船磁場計(jì)算值進(jìn)行比較，得出在 4個(gè)主要磁航向上進(jìn)行測量時(shí)誤差達(dá)到最小值的結(jié)論，并進(jìn)一步證明本文提出的運(yùn)動(dòng)磁場數(shù)學(xué)建模的合理性。

與單一航向的艦船磁場建模方法相比，同時(shí)建立 4個(gè)不同航向的主要困難在于要保證用不同航向測量數(shù)據(jù)獨(dú)立解出的4組數(shù)據(jù)必須相容，由此才能解出感應(yīng)磁矩和固定磁矩。由于采用等效源方法，最后用最小二乘法來進(jìn)行計(jì)算，所得到的解一般是局部最優(yōu)解。難以保證獨(dú)立解出的4組參數(shù)相容。為了克服這一困難，在各航向進(jìn)行艦船磁場建模時(shí)采用0.96高置信度水平F統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法對模型參數(shù)進(jìn)行了檢驗(yàn)。并對測量數(shù)據(jù)選取和等效源陣列布設(shè)進(jìn)行了優(yōu)化，有效保證了不同磁化狀態(tài)下模型參數(shù)求解結(jié)果的相容性。