陳向昀 陳昊 張紅/上海市計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究院

0 引言

目前，我國(guó)直流電阻的測(cè)量具有較高準(zhǔn)確度，已建立了基于量子霍爾電阻國(guó)家基準(zhǔn)的量值溯源體系，而交流電阻由于缺乏國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范、精密測(cè)量裝置等，溯源體系尚未形成，無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量交流電阻隨頻率的變化及時(shí)間常數(shù)[1]。計(jì)量學(xué)界最新的研究表明交流電阻標(biāo)準(zhǔn)量值是建立熱力學(xué)絕對(duì)溫標(biāo)的三大支柱之一[2]。在溯源過程中，交流電阻標(biāo)準(zhǔn)起著核心作用。可見，研究交流電阻的檢測(cè)方法是一項(xiàng)非常重要的研究課題。

1 交流電阻的定義及特征

精確的等效線路能夠得到交流電阻模型，但對(duì)交流電阻器來(lái)說(shuō)不一定有用，用集中的電阻、電容、電感元件組成的已能適當(dāng)?shù)卮斫涣麟娮杵鳌Ｒ簿褪钦f(shuō)，作為頻率函數(shù)，一個(gè)由實(shí)數(shù)和虛數(shù)元件組成的圖像可以用來(lái)表示交流特性。

1.1 串聯(lián)模型和并聯(lián)模型

在規(guī)定的頻率下，任何一個(gè)電阻器都可以用一個(gè)電感和一個(gè)電阻串聯(lián)（串聯(lián)表示）或用一個(gè)電容和一個(gè)電阻并聯(lián)（并聯(lián)表示）來(lái)表示其特性[3]。其兩種情況可以用式（1）（2）表示

式中：Rz——阻抗；

RS——等效串聯(lián)電阻；

Rp——等效并聯(lián)電阻；

j——虛部；

ω——角頻率；

LS——等效串聯(lián)電感；

CP——等效并聯(lián)電容

它是一個(gè)隨頻率f變化的不定量，所以日常表征電阻的特性，常用其實(shí)數(shù)部分R來(lái)表示，此時(shí)f=0，所以稱為直流電阻值。直流電阻值的測(cè)量準(zhǔn)確度很高，測(cè)量誤差可以小于1×10-6。

從上述阻抗表達(dá)式可以看出，在特殊條件下（使用的交流頻率比較低或電阻自身的感性或容性比較小），電阻的交流阻抗和直流阻抗比較接近（誤差可小于10-3～10-5）。圖1可以表達(dá)RZ和R的頻率特性。

圖1 RZ和R的頻率特性

從圖1上曲線可以清楚看出某一頻率以下（通常稱此頻率為電阻的頻率指數(shù)，單位為kHz），RZ和R相差很小。

1.2 電阻和時(shí)間常數(shù)模型

表示交流電阻器特性的第三種方法也被采用，它用R和τ,即電阻和時(shí)間常數(shù)來(lái)規(guī)定交流電阻器的特性，但不同于式（1）（2）那樣能給出簡(jiǎn)單的模型。在電阻器的使用頻率范圍內(nèi)，R和τ的值基本上不受頻率影響。

由于給出的表示電阻器特性的方法在規(guī)定的頻率是相等的，它們有如下關(guān)系：

引入時(shí)間常數(shù)τ來(lái)表征電阻的交流特性（τ=RC或

2 交流電阻的檢測(cè)方法

2.1 單頻率電流電壓法

通過圖2可以得出，通以頻率為f的交流電，根據(jù)歐姆定律得出此時(shí)的交流阻抗值。這里的交流阻抗值只在f頻率下有效。用此方法測(cè)得的交流阻抗值只作為測(cè)試數(shù)據(jù)，測(cè)得的交流阻抗準(zhǔn)確度一般在萬(wàn)分之五以下。由于這里未給出頻率偏移對(duì)其數(shù)值的影響，所以一般不作為計(jì)量檢定數(shù)據(jù)。因此就不能標(biāo)定準(zhǔn)確度。

圖2 單頻率電流電壓法

2.2 多頻率電流電壓法

利用兩個(gè)以上的頻率，再利用電流、電壓法測(cè)量，可以得到一個(gè)方程組

上述方程組中未知量為R和L（或R和C），通過解方程可以求得R和L（或R和C），這樣可以給出隨意頻率下的RZ=R+j2πfxL（或可以通過直流電橋測(cè)出直流電阻值R(實(shí)數(shù)部分)，這樣相對(duì)更準(zhǔn)確一些。電阻固有的電感（或電容）的準(zhǔn)確測(cè)量決定上述方法的準(zhǔn)確度。

2.3 時(shí)間常數(shù)法

用時(shí)間常數(shù)τ的大小來(lái)表征交流電阻的頻率特性是國(guó)際電工委員會(huì)的規(guī)定。用下述方法可以精確測(cè)量電阻的交流阻抗。時(shí)間常數(shù)τ可表達(dá)為用τ代入式（1）（2）阻抗公式可得：

交流阻抗

式中：LS——等效串聯(lián)電感；

RP——等效并聯(lián)電阻；

RS——等效串聯(lián)電阻；

CP——等效并聯(lián)電容

通過式（3）可以得出在電阻器的使用頻率范圍內(nèi)，只要測(cè)量出電阻器的時(shí)間常數(shù)τ就可以準(zhǔn)確地測(cè)量出電阻器的交流阻抗。目前市場(chǎng)上沒有能直接測(cè)量τ的儀器，只有測(cè)量品質(zhì)因素Q的儀器?？赏ㄟ^Q推導(dǎo)求得τ的值。

通過式（4）得出雖然Q值隨f變化而變化，但如果測(cè)出某一頻率下的Q值，就可以計(jì)算出τ。并且的值在一定頻率范圍內(nèi)基本上是不變的。通過測(cè)量Q值的大小可以確定該頻率下RZ和RS（交流阻抗和直流電阻）之間的相對(duì)誤差。

通過式（6）計(jì)算可得知，當(dāng)Q＜ 0.01時(shí)，RZ和RS相對(duì)誤差＜0.005%。對(duì)于某一頻率下測(cè)得的Q，當(dāng)頻率改變N倍，則Q值也改變?yōu)镹倍。RZ和RS之間相對(duì)誤差足夠小時(shí)，就可以通過測(cè)量RS來(lái)表示RZ。

給定頻率下的RZ和RS之間相對(duì)誤差有：當(dāng)頻率改變N倍，則新頻率下的相對(duì)誤差為原來(lái)頻率時(shí)相對(duì)誤差的N的2倍（N為任意正數(shù)）。例如：1 kHz時(shí)某交流電阻的Q值為 0.01，則 10 kHz時(shí)相對(duì)誤差為0.5%；1 kHz時(shí)相對(duì)誤差為0.005%；100 Hz時(shí)相對(duì)誤差為 0.000 05%。

上述原理提示可以通過高頻率下測(cè)量出Q值，來(lái)提高低頻率下電阻交流阻抗的準(zhǔn)確度。用上述原理和方法測(cè)量交流阻抗，在一定的頻率以下可以達(dá)到接近直流電阻的測(cè)量準(zhǔn)確度。

2.4 低電阻的交流阻抗測(cè)量方法

對(duì)于大于1 Ω的電阻，可以用“多用電橋”測(cè)出其Q值，但1 Ω的電阻，測(cè)出的Q值誤差極大，不適合應(yīng)用上述2.3的方法來(lái)計(jì)算交流阻抗。這里介紹一種“另類”的測(cè)量方法，即先用直流電橋測(cè)出其電阻值，再用2.1節(jié)中的“電流、電壓”方法在較高頻率下（選用頻率上限的N倍，一般在10倍以上），測(cè)出其交流阻抗值RZ，則使用頻率段的誤差可表示為：

3 結(jié)語(yǔ)

本文討論的電阻是具有恒定L或C的電阻，即電阻固有的L或C不隨頻率而改變，也不隨通過的電流大小而改變。在測(cè)試中，電阻必須遠(yuǎn)離磁場(chǎng)感抗或鐵磁性物質(zhì)。對(duì)于那些有自身頻率補(bǔ)償功能的電阻器，則還要應(yīng)用一些其他手段，本文這里不再討論。