王清波，趙朝前，陳婷

(四川建筑職業(yè)技術學院 1.土木工程系；2.基礎教學部，四川 德陽，618000；)

塔筒是風機結構的重要組成部分，它的振動會導致風機結構變形、附加應力等，影響風機的壽命，尤其是風輪轉頻與塔筒固有頻率接近時，風機塔筒將發(fā)生共振，容易導致風機倒塌。因此，在塔筒設計[1-2]過程中，分析不同邊界條件對塔筒的固有頻率的影響就顯得尤為重要。

對風機塔筒扭轉振動分析，可以將風機塔筒簡化為變截面懸臂梁來分析。針對風機塔筒的扭轉分析，文獻[3]對某1.5MW雙饋異步風電機組軸系的扭轉進行了建模，建立了多軸系的集中質(zhì)量模型，計算并分析了風機軸系扭轉振型及固有頻率，并利用有限元軟件進行了驗證；文獻[4]對機電耦合作用下變頻調(diào)速驅動風機軸系扭轉振動失穩(wěn)進行了分析，建立了風機軸系機電耦合扭轉振動動力學模型，分析了扭矩脈動情況下的頻譜特性，并對軸系扭矩和扭轉振動進行了測試分析；文獻[5]用一種近似方法求解了復雜軸系扭轉振動動力特性，采用Ritz展開和攝動分析結合的方法，對非均質(zhì)變截面復雜軸的扭轉振動動力特性進行了求解；文獻[6]分析了任意邊界條件彈性桿結構扭轉振動特性，采用改進傅里葉技術方法建立了任意邊界條件彈性桿扭轉振動特性預報模型，得到了彈性桿扭轉振動問題的特征矩陣方程；文獻[7] 提出了適用于工程的小波變換的表述方法，對汽輪發(fā)電機組軸系扭轉振動進行了分析；文獻[8]使用攝動法研究變截面桿扭轉振動特性，結合邊界條件得到了固有頻率的特征方程和頻率參數(shù)；文獻[9]提出了一種精確方法分析了多跨支撐和帶有附加質(zhì)量梁的彎扭耦合自由振動；文獻[10]使用轉換微分傳遞法對非均質(zhì)薄壁梁的彎扭耦合振動進行了求解，并與有限元軟件計算的結果進行了對比，驗證了該方法的正確性。綜上所述，對風機軸系的扭轉振動計算分析大多使用傳統(tǒng)算法，這對非均質(zhì)變截面的軸系計算分析不僅復雜，而且精度不高。不僅如此，文獻對風機塔筒實際邊界條件并沒有建模。為此，文章使用微分求積法對實際邊界條件下的風機塔筒的扭轉振動特性進行計算，結果表明，該方法僅取較少的節(jié)點就能得到較高的精度，是一種高效的數(shù)值方法，其原理見文獻[11-13]。

1 風機塔筒自由扭轉振動方程

風機塔筒一般采用管式結構，可將其簡化為懸臂梁，如圖1所示，圖中o為塔基截面中心，ox沿塔筒軸線方向，oy軸在塔基平面內(nèi)，且與ox軸垂直，塔筒長度為L。根據(jù)材料力學和振動力學[14-16]的知識，風機塔筒自由扭轉振動方程為

圖1 變截面管式塔筒Fig.1 The tower of wind turbine with a variable cross-section

(1)

其中:ρ(x)為單位體質(zhì)質(zhì)量，kg/m3；Ip(x)為x截面對其中心的極慣性矩，m4；G(x)為x截面的切變模量，Pa；θ(x，t)為塔筒x截面處在t時刻相對左端面的扭轉角，rad。設θ=Y(x)eiωt，Y(x)為塔筒扭轉振動位移分布函數(shù)，將其代入上式，得

(2)

其中：ω為塔筒的圓頻率。

風機塔筒在彈性地基下的扭轉自由振動分析，可將地基抗扭剛度用扭轉彈簧表示，并假設其剛度為Kt?？紤]到風機的吊裝過程，須要對僅安裝了機艙的塔筒和全部吊裝完成(安裝了機艙和風輪)進行振動特性分析。對于塔筒頂端的機艙，在振動特性分析時，可簡化為集中質(zhì)量，并假設機艙質(zhì)量為Ma。對機艙和風輪在振動特性分析時，可嘗試性的將其簡化為一圓盤，圓盤的轉動慣量由機艙和風輪幾何特性共同決定，他們之間的真實關系需要大量的實驗和仿真分析得出。作為理論分析，設圓盤的轉動慣量為Ja。為此，風機塔筒的邊界條件為

剛性地基：

θ(0，t)=0

(3)

彈性地基：

(4)

自由端：

(5)

安裝了機艙：

(6)

其中：R為機艙的回轉半徑，由機艙的結構形式?jīng)Q定。

安裝了風輪和機艙：

(7)

假設風機塔筒為非均質(zhì)變截面結構，單位體積質(zhì)量ρ、切變模量G和極慣性矩Ip均是塔筒高度x的函數(shù)，設ρ=ρ0k1(x)，G=G0k2(x)，Ip=Ip0k3(x)，ρ0、G0和Ip0分別為塔基單位體積密度、切變模量和截面對圓心的極慣性矩，令無量綱變量X=x/L，將上式代入式(2)得

(8)

微分求積法是利用Lagrange插值或樣條插值將未知函數(shù)用離散點函數(shù)值的加權線性和來表示，可以建微分方程轉變成以離散點函數(shù)值的未知量方程組，最后求出數(shù)值解。其原理簡單，計算量小，易于在計算機上實現(xiàn)，對高階微分方程和耦合微分方程組的求解有著獨有的優(yōu)勢。按照微分求積法基本原理和求解過程，式(8)的微分求積形式為

(9)

風機塔筒邊界條件的微分求積形式如下

剛性地基：

Y1=0

(10)

彈性地基：

(11)

自由端：

(12)

安裝了機艙：

(13)

安裝了風輪和機艙：

(14)

式(9)與邊界條件寫成矩陣的形式如下

{[A]+λ2[B]}{Yj}=0

(15)

令式(15)系數(shù)矩陣行列式為零，可求出風機扭轉無量綱固有頻率及相應的振型。

2 數(shù)值算例

2.1 均質(zhì)等截面塔筒數(shù)值算例

對于風機塔筒，取k1=(1-b1X)，k2=(1-b2X)，k3=(1-b3X)3。式中b1、b2和b3分別反映了塔筒單位體積質(zhì)量變化、切變模量變化和截面變化情況的參數(shù)，可分別稱其為質(zhì)量變化系數(shù)、切變模量變化系數(shù)和截面變化系數(shù)。當b1=b2=b3=0時，風機塔筒退化為均質(zhì)等截面塔筒，表1給出了不同節(jié)點下風機塔筒扭轉無量綱固有頻率計算結果?？梢钥闯?，對塔筒扭轉低階固有頻率，使用微分求積法僅取很少的節(jié)點便能得到高精度的結果。當節(jié)點N=14時，求得風機塔筒前六階扭轉無量綱固有頻率均具有很高精度，因此，文中結果均為N=14時求得。

參數(shù)γ1體現(xiàn)的是彈性地基抗扭剛度，可稱其為地基抗扭剛度系數(shù)。參數(shù)γ2和γ3分別與機艙重量和圓盤轉動慣量相關。當γ1=100，γ2=0.1，γ3=0.5時，表2給出了不同邊界條件下風機塔筒扭轉無量綱固有頻率。表2可以看出，彈性地基較剛性地基降低了風機塔筒扭轉無量綱固有頻率，安裝了機艙和風輪的塔筒較單獨塔筒的扭轉無量綱固有頻率要小，這是因為機艙和風輪相當于增加了塔筒的重量。

表1 均質(zhì)等截面塔筒扭轉無量綱固有頻率
Table 1 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with ahomogeneous and uniform cross-section

塔筒扭轉無量綱固有頻率一階二階三階四階五階六階數(shù)值解(N=8)1.5714.7137.88110.97913.56922.327數(shù)值解(N=10)1.5714.7127.85310.99914.26317.259數(shù)值解(N=12)1.5714.7127.85410.99514.11917.256數(shù)值解(N=14)1.5714.7127.85410.99614.13917.278精確解[16]1.5714.7127.85410.99614.13717.279

表2 不同邊界條件下均質(zhì)等截面塔筒扭轉無量綱固有頻率
Table 2 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with a homogeneous material andconstant section under different boundary conditions

階數(shù)塔筒扭轉無量綱固有頻率λ[-]固+自由彈+自由固+機艙彈+機艙固+機艙+風輪彈+機艙+風輪λ11.57 1.561.431.421.081.07λ24.714.674.314.273.653.61λ37.857.787.237.166.586.52λ411.0010.8910.2010.109.639.53λ514.1414.0013.2213.0912.7212.60λ617.2817.1116.2616.1015.8315.68

2.2 非均質(zhì)變截面塔筒數(shù)值算例

當b1，b2和b3均不為零時，風機塔筒為非均質(zhì)變截面塔筒，對彈性地基下安裝了機艙和風輪的風機塔筒，當γ3=0.5，b1=b2=b3=0.1時，彈性地基下安裝了機艙和風輪的塔筒扭轉振動前六階振型如圖2所示。表3給出了不同地基抗扭剛度下風機塔筒扭轉無量綱固有頻率結果。表3可以看出，地基抗扭剛度越大，風機塔筒扭轉無量綱固有頻率越大，且地基抗扭剛度系數(shù)對低階頻率的影響更大。當γ1≥104時，風機塔筒扭轉無量綱固有頻率不再變化，彈性地基已接近于剛性地基。

表3 不同地基抗扭剛度系數(shù)下塔筒扭轉無量綱固有頻率
Table 3 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with differentζ1

階數(shù)塔筒扭轉無量綱固有頻率λ[-]ζ1=10-2ζ1=100ζ1=102ζ1=104ζ1=105λ10.090.761.181.191.19λ22.262.573.633.663.66λ35.065.246.526.586.58λ48.088.199.549.639.63λ511.1611.2412.6012.7212.72λ614.2714.3315.6815.8315.83

當γ1=102，b1=b2=b3=0.1時，表4給出了不同機艙和風輪轉動慣量下風機塔筒扭轉無量綱固有頻率結果。表4可以看出，機艙和風輪轉動慣量越大，風機塔筒扭轉無量綱固有頻率越小，且機艙和風輪轉動慣量對低階頻率的影響更大。

表4 不同ζ3下塔筒扭轉無量綱固有頻率
Table 4 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with differentζ3

階數(shù)塔筒扭轉無量綱固有頻率λ[-]ζ3=0.1ζ3=1ζ3=5ζ3=10ζ3=100λ11.550.950.480.340.11λ24.313.403.183.143.12λ37.186.386.256.246.22λ410.129.449.359.349.34λ513.1012.5212.4612.4512.44λ616.1115.6215.5715.5615.56

當γ1=100，γ3=0.5，b2=b3=0.1時，表5給出了b1對塔筒扭轉無量綱固有頻率結果。表5可以看出，風機塔筒扭轉無量綱固有頻率隨質(zhì)量變化系數(shù)增大而增大，且質(zhì)量變化系數(shù)對風機塔筒扭轉低階無量綱固有頻率影響較小。

表5 不同b1值下的塔筒扭轉無量綱固有頻率
Table 5 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a wind turbine tower for differentb1values

階數(shù)塔筒扭轉無量綱固有頻率λ[-]b1=0.2b1=0.3b1=0.4b1=0.5b1=0.6b1=0.7b1=0.8b1=0.9λ11.201.231.251.271.301.331.361.39λ23.703.783.853.934.024.124.244.36λ36.686.857.047.257.497.768.078.43λ49.7910.0610.3610.7011.0811.5212.0312.63λ512.9413.3113.7214.1814.7015.3016.0116.85λ616.1116.5717.0917.6818.3419.1020.0021.08

圖2 彈性地基下風機塔筒扭轉振型Fig.2 The mode shapes of a wind turbine tower under elastic foundation

表6給出了b1=b3=0.1時，b2對塔筒扭轉無量綱固有頻率結果。表6可以看出，風機塔筒扭轉無量綱固有頻率隨切變模量變化系數(shù)增大而減少，且切變模量變化系數(shù)同樣對風機塔筒扭轉低階無量綱固有頻率影響較小。表7給出了b1=b2=0.1時，b3對塔筒扭轉無量綱固有頻率結果。表7可以看出，截面變化系數(shù)僅對風機塔筒扭轉前二階無量綱固有頻率有影響，對高階頻率幾乎沒有影響。

表6 不同b2值下的塔筒扭轉無量綱固有頻率
Table 6 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a wind turbine tower for differentb2values

階數(shù)塔筒扭轉無量綱固有頻率λ[-]b2=0.2b2=0.3b2=0.4b2=0.5b2=0.6b2=0.7b2=0.8b2=0.9λ11.191.201.221.231.241.261.281.30λ23.573.503.433.363.293.213.123.02λ36.376.216.045.855.655.445.194.91λ49.309.048.778.478.157.797.376.87λ512.2711.9211.5411.1410.6910.199.618.89λ615.2614.8214.3413.8313.2612.6211.8810.93

表7 不同b3值下的塔筒扭轉無量綱固有頻率
Table 7 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a wind turbine tower for differentb3values

階數(shù)塔筒扭轉無量綱固有頻率λ[-]b3=0.2b3=0.3b3=0.4b3=0.5b3=0.6b3=0.7b3=0.8b3=0.9λ11.281.411.561.752.012.362.853.42λ23.643.673.703.753.833.974.295.41λ36.536.546.556.576.606.656.747.03λ49.549.559.559.579.599.629.689.82λ512.6012.6112.6112.6212.6312.6612.7012.82λ615.6815.6815.6915.7015.7115.7215.7615.86

3 結論

邊界條件對風機塔筒扭轉振動特性影響較大，文中對不同邊界條件下風機塔筒扭轉振動固有頻率和振型進行了求解分析，求解結果對風機塔筒的設計有一定指導意義，具體結論如下：

1)微分求積法求解風機塔筒扭轉無量綱固有頻率精度較高，計算量小。

2)風機塔筒扭轉無量綱固有頻率與地基剛度成正比，機艙和風輪降低了塔筒扭轉無量綱固有頻率。

3)風機塔筒扭轉無量綱固有頻率隨質(zhì)量變化系數(shù)增大而增大、隨切變模量變化系數(shù)增大而減小，且質(zhì)量變化系數(shù)和切變模量變化系數(shù)均對高階頻率影響較大，對低階頻率影響較小。

4)截面變化系數(shù)僅影響風機塔筒扭轉前二階無量綱固有頻率，對高階頻率幾乎沒有影響。