孟俊貞,馬開鋒, 黃桂平,趙繼偉,楊衛(wèi)森

(1. 華北水利水電大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院,河南 鄭州 450046;2. 華北水利水電大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院,河南 鄭州 450046;3. 華北水利水電大學(xué) 水利學(xué)院,河南 鄭州 450046)

0 引 言

GPS測量技術(shù)能夠快速獲取高精度的三維測量數(shù)據(jù),是控制測量的首選方法. 但GPS測量結(jié)果只能給出相對于WGS-84橢球的大地高,不能直接應(yīng)用于我國測繪生產(chǎn)與工程建設(shè)中所采用的正常高系統(tǒng)中,為此需要進(jìn)行GPS高程的擬合轉(zhuǎn)換. 近年來,許多學(xué)者進(jìn)行了GPS高程擬合方面的研究[1-17],獲得了豐富的理論與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn). 但當(dāng)GPS控制網(wǎng)線形布設(shè)時(shí),即可采用解析內(nèi)插的方法進(jìn)行確定待定點(diǎn)的正常高,即通過已知高程控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)與高程異常值,由構(gòu)造的插值函數(shù)擬合測線方向上的似大地水準(zhǔn)面曲線,然后內(nèi)插其它點(diǎn)的高程異常值[8,12-13]. 比較經(jīng)典的解析內(nèi)插法主要有:多項(xiàng)式曲線擬合法、正交函數(shù)曲線擬合法、三次樣條曲線擬合法與Akima曲線擬合法等. 每種方法各有特點(diǎn)、各具優(yōu)勢. 其中多項(xiàng)式曲線擬合法,雖然計(jì)算比較簡單,但當(dāng)存在較多擬合點(diǎn)采用最小二乘原理計(jì)算時(shí),常常出現(xiàn)系數(shù)矩陣病態(tài),使得擬合效果不理想. 故本文重點(diǎn)針對正交函數(shù)曲線擬合法、三次樣條曲線擬合法與Akima曲線擬合法及其改進(jìn)優(yōu)化進(jìn)行研究.

1 GPS高程線性擬合方法

1.1 正交函數(shù)曲線擬合法

GPS高程線性擬合方法中有常見的多項(xiàng)式擬合方法,但多項(xiàng)式擬合方法在用最小二乘法解算時(shí),得到的系數(shù)矩陣常常是病態(tài)的,為了避免求解這種病態(tài)方程組,通常利用正交函數(shù)(函數(shù)向量內(nèi)積為零的函數(shù))來確定擬合多項(xiàng)式[13].

設(shè)給定n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,ξi)(i=0, 1, 2, …,n),需要確定一個(gè)m次的最小二乘擬合多項(xiàng)式(其中m

(1)

式中,a0,a1,…,am為多項(xiàng)式系數(shù).

若能夠構(gòu)造出一組次數(shù)不超過m的在給定點(diǎn)上的正交多項(xiàng)式Qj(x)(j=0,1,2,…,m),則可以首先用Qj(x)作為基函數(shù),進(jìn)行最小二乘擬合,即:

Pm(x)=q0Q0(x)+q1Q1(x)+…+

qmQm(x),

(2)

式中,系數(shù)qj(j=0,1,2,…,m)為

(3)

然后將各個(gè)qj代入式(2),并展開成一般多項(xiàng)式(1).

構(gòu)造給定點(diǎn)上的正交多項(xiàng)式Qj(x)(j=0,1,2,…,m)的遞推公式如下:

(4)

其中：

(5)

(6)

其中：

(7)

在實(shí)際計(jì)算中,可以根據(jù)遞推公式(4)逐步求出各正交多項(xiàng)式Qj(x),并用公式(3)計(jì)算出組合系數(shù)qj. 同時(shí),逐步將每次計(jì)算得到的qjQj(x)項(xiàng)展開后累加到擬合多項(xiàng)式(1)中,得到m次的擬合多項(xiàng)式. 將待求點(diǎn)的擬合坐標(biāo)代入,即可求出其高程異常[13].

1.2 三次樣條曲線擬合法

在測線較長、己知點(diǎn)較多、高程異常變化較大時(shí),按最小二乘原理求得的多項(xiàng)式系數(shù)削高補(bǔ)低的誤差會增大. 為避免高次插值引起的振蕩現(xiàn)象以及分段低次插值連接點(diǎn)上的不光滑性,通常采用以三次樣條函數(shù)作為擬合模型的分段計(jì)算方式.

三次樣條曲線實(shí)際上是由多段三次多項(xiàng)式曲線拼接而成的連續(xù)曲線．在段間連接點(diǎn)處,不僅函數(shù)自身連續(xù),且其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的.這樣不僅克服了單個(gè)多項(xiàng)式不靈活、不穩(wěn)定的缺點(diǎn),而且保留了多項(xiàng)式的表達(dá)與計(jì)算的簡便性,因而在較長測線GPS高程擬合中得到了較為廣泛的應(yīng)用.

ξ(x)=ξ(xi)+(x-xi)ξ(xi,xi+1)+

(x-xi)(x-xi+1)ξ(x,xi,xi+1),

(8)

ξ″(xi)(i=1,2,…,n-1)滿足系數(shù)矩陣為對稱三角陣的線性方程組:

(9)

用追趕法求解方程組(9),可求出ξ″(xi),而

ξ″(x)=ξ″(xi)+(x-xi)ξ″(xi,xi+1).

(10)

利用二階差商與式(10),可求得ξ(x,xi,xi+1),再將ξ(x,xi,xi+1)代入式(8),即可求得待定點(diǎn)的高程異常擬合值.

1.3 Akima曲線擬合法

該方法是指在兩個(gè)已知點(diǎn)間內(nèi)插時(shí),除用這兩個(gè)己知點(diǎn)外,還需用兩己知點(diǎn)外的兩個(gè)點(diǎn),其目的是使函數(shù)曲線光滑、連續(xù).

設(shè)有6個(gè)已知點(diǎn)(i=1, 2, …, 6),現(xiàn)需要在3號點(diǎn)和4號點(diǎn)之間內(nèi)插任一待求點(diǎn),其計(jì)算公式為

ξ(x)=P0+P1(x-x3)+P2(x-x3)2+

P3(x-x3)3.

(11)

式中:

(12)

式(12)中的t3、t4為3號點(diǎn)和4號點(diǎn)實(shí)測要素的斜率,t3用1～5號已知點(diǎn)計(jì)算,t4用2～6號已知點(diǎn)計(jì)算,一般計(jì)算公式為

(13)

式中,mi=(ξi+1-ξi)/(xi+1-xi).

當(dāng)式(13)中分母為零時(shí),ti=1/2(mi-1-mi)或ti=mi.

2 GPS高程線性擬合改進(jìn)方法及精度評定

2.1 GPS高程線性擬合改進(jìn)方法

在進(jìn)行上述正交函數(shù)、三次樣條、Akima等曲線擬合過程中,由于用于曲線擬合的已知點(diǎn)與檢核點(diǎn)不可能嚴(yán)格分布在一條直線上,故根據(jù)已知點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)之間的距離來求某一點(diǎn)的擬合坐標(biāo),顯然是不夠準(zhǔn)確的,為了改善曲線擬合的精度,在已有曲線擬合方法的基礎(chǔ)上,進(jìn)行了曲線擬合坐標(biāo)算法的改進(jìn)優(yōu)化.

假定曲線上第一個(gè)已知點(diǎn)的擬合坐標(biāo)為0,則其中一個(gè)點(diǎn)的擬合坐標(biāo)xi為該點(diǎn)與前一點(diǎn)的距離ri,i-1再加上前一點(diǎn)的擬合坐標(biāo)xi-1,公式可表示為

xi=xi-1+ri,i-1.

(14)

2.2 精度評定

為了客觀評定GPS高程擬合計(jì)算的精度,通常在布設(shè)幾何水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)時(shí),在其施測區(qū)域內(nèi)適當(dāng)多聯(lián)測幾個(gè)GPS點(diǎn),作外部檢核用. 所以,在評定GPS水準(zhǔn)擬合精度時(shí),一般主要采用外符合精度與每千米水準(zhǔn)測量全中誤差兩個(gè)評價(jià)指標(biāo).

(15)

2)每千米水準(zhǔn)測量全中誤差Mw各相鄰檢核點(diǎn)高差較差DVh可看作是符合水準(zhǔn)路線的閉合差,如此可計(jì)算出每千米水準(zhǔn)測量全中誤差Mw,具體計(jì)算公式如下:

(16)

式中:N為高差個(gè)數(shù);F為比較高差的檢核點(diǎn)間距離,km.

3 實(shí)例應(yīng)用

南水北調(diào)工程某標(biāo)段已測量的GPS點(diǎn)位數(shù)據(jù)和四等水準(zhǔn)數(shù)據(jù)結(jié)果,如表1所示. 其點(diǎn)位位置分布如圖1所示.

表1 已測數(shù)據(jù)結(jié)果

圖1 點(diǎn)位分布圖

由圖1可知,該區(qū)域所測點(diǎn)位呈線性分布,故較適合于采用GPS線性擬合方法進(jìn)行高程異常擬合. 為驗(yàn)證文中所提改進(jìn)方法的有效性,分別采用正交函數(shù)、三次樣條與Akima曲線模型對其進(jìn)行高程擬合,并采用外符合精度M與全中誤差Mw進(jìn)行擬合精度比較分析.

方案一:對正交函數(shù)(此處采用三階函數(shù))與三次樣條曲線擬合進(jìn)行驗(yàn)證,此處選取A1、A4、A6、A7、A8、A9、A12、A14這8個(gè)點(diǎn)來計(jì)算擬合模型參數(shù),其余點(diǎn)作為檢核點(diǎn)進(jìn)行擬合殘差計(jì)算及精度結(jié)果評定,如表2所示.

方案二:對三次樣條與Akima曲線擬合進(jìn)行驗(yàn)證,此處選取A1、A2、A3、A5、A7、A9、A12、A13、A14這9個(gè)點(diǎn)來計(jì)算擬合模型參數(shù),其余點(diǎn)作為檢核點(diǎn)進(jìn)行擬合殘差計(jì)算及精度結(jié)果評定,如表3所示.

表2 方案一擬合結(jié)果

表3 方案二擬合結(jié)果

表2結(jié)果表明,采用原正交函數(shù)與三次樣條曲線擬合方法時(shí),針對此選點(diǎn)方案原正交函數(shù)與三次樣條曲線擬合方法得到的結(jié)果,其全中誤差分別達(dá)到了8.88 mm與14.44 mm,很明顯正交函數(shù)曲線擬合方法的精度結(jié)果較好. 而通過兩者改進(jìn)后的方法分別進(jìn)行擬合計(jì)算可知,改進(jìn)后的正交函數(shù)與三次樣條曲線擬合方法擬合結(jié)果精度的全中誤差均有提升;但改進(jìn)后的正交函數(shù)擬合結(jié)果中,其最大殘差與外符合精度還有所變大,這是由于計(jì)算其模型參數(shù)時(shí)所選點(diǎn)位的非線性組合方案導(dǎo)致的;而改進(jìn)后的三次樣條曲線擬合結(jié)果的精度有明顯改善,其精度提高了一倍,全中誤差達(dá)到了7.00 mm,從而顯示了改進(jìn)后三次樣條曲線擬合方法針對此選點(diǎn)方案的優(yōu)越性.

表3結(jié)果表明,采用原三次樣條與Akima曲線擬合方法時(shí),針對此選點(diǎn)方案三次樣條與Akima曲線擬合方法得到的結(jié)果,其全中誤差分別達(dá)到了20.11 mm與17.70 mm,相對來說Akima曲線擬合方法的精度結(jié)果較好. 而通過兩者改進(jìn)后的方法分別進(jìn)行擬合計(jì)算可知,改進(jìn)后的三次樣條與Akima曲線擬合方法擬合結(jié)果精度均有明顯提升,其中改進(jìn)后的三次樣條曲線擬合結(jié)果的精度提高了近一倍,全中誤差達(dá)到了11.79 mm,改進(jìn)后的Akima曲線擬合方法擬合結(jié)果的精度提高了近兩倍,全中誤差達(dá)到了6.07 mm,從而顯示出了改進(jìn)后的Akima曲線擬合方法針對此選點(diǎn)方案的明顯優(yōu)越性.

通過總體分析,在選點(diǎn)適宜的情況下,采用改進(jìn)后的Akima曲線擬合方法能夠?qū)€性區(qū)域的GPS高程異常進(jìn)行較高精度的擬合計(jì)算,可以作為GPS高程線性擬合的首選方法. 本文方法主要針對相對較為線性的區(qū)域進(jìn)行了數(shù)據(jù)測試驗(yàn)證,若擬合區(qū)域存在較大弧段時(shí),本文方法是否有效,還需進(jìn)一步測試研究.

4 結(jié)束語

通過分別采用原正交函數(shù)、三次樣條與Akima曲線擬合方法與分別改進(jìn)后的擬合方法對南水北調(diào)工程某標(biāo)段的GPS高程線性擬合,得到了針對不同的選點(diǎn)方案,同一種擬合方法也有不同的擬合精度結(jié)果;針對同一種選點(diǎn)方案,不同的擬合方法也有不同的擬合精度結(jié)果;而對于文中所提的改進(jìn)后的曲線擬合方法均有不同程度的精度提升,其中改進(jìn)后的Akima曲線擬合方法的擬合精度結(jié)果提升最為明顯,故針對線性擬合區(qū)域在選點(diǎn)適宜的情況下,可以考慮采用改進(jìn)后的Akima曲線擬合方法對其GPS高程異常進(jìn)行較高精度的擬合計(jì)算,從而獲得較理想的高精度擬合結(jié)果.