吳琳 魏友華 洪姍

摘 ?要： 在土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)的勘察和采集過程中，因為各種客觀因素導(dǎo)致數(shù)據(jù)不完整，這會對后續(xù)的研究工作造成一定的影響，因此對數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)是預(yù)處理階段最基本的步驟。基于土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)在自身或在變換域內(nèi)的稀疏性，建立基于字典學(xué)習(xí)的土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)重構(gòu)模型，將數(shù)據(jù)重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為稀疏優(yōu)化問題，可以減少數(shù)據(jù)重構(gòu)后的平滑效果，在一定程度上保留土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)在異常區(qū)和背景區(qū)交界處的結(jié)構(gòu)特征。最后將反距離插值法和稀疏重構(gòu)算法重構(gòu)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果表明稀疏重構(gòu)算法能有效地對土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。

關(guān)鍵詞： 土壤地球化學(xué); 稀疏優(yōu)化; 數(shù)據(jù)重構(gòu); 字典學(xué)習(xí); 正交匹配追蹤算法; 反距離插值法

中圖分類號： TN911.1?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號： 1004?373X（2019）09?0018?04

Pedogeochemistry data sparse reconstruction based on dictionary learning

WU Lin， WEI Youhua， HONG Shan

（Geomathematics Key Laboratory of Sichuan Province， Chengdu University of Technology， Chengdu 610059， China）

Abstract： In the process of the exploration and collection of pedogeochemistry data， the data is incomplete due to various objective factors， which has the influence on the subsequent research to some extent. Therefore， the reconstruction of the data is the most fundamental step of pretreatment stage. On the basis of the sparsity of the pedogeochemistry data itself or in the transform domain， a pedogeochemistry data reconstruction model based on dictionary learning is established， which can convert the data reconstruction problem into sparse optimization problem， so as to reduce the smooth of reconstructed data， and reserve the structure feature of pedogeochemistry data at the junction of the abnormal area and background area to a certain extent. The data reconstructed by inverse distance interpolation method and sparse reconstruction algorithm is compared， which shows that the sparse reconstruction algorithm can reconstruct the pedogeochemistry data effectively.

Keywords： pedogeochemistry; sparse optimization; data reconstruction; dictionary learning; orthogonal matching pursuit algorithm; inverse distance interpolation method

0 ?引 ?言

在實(shí)際的地球化學(xué)數(shù)據(jù)采集中，常常因為采集區(qū)域地理環(huán)境條件的限制，采集方式、環(huán)境噪音等客觀原因?qū)е驴辈焓占降臄?shù)據(jù)不完整、不規(guī)則。而在地球化學(xué)數(shù)據(jù)異常圈定等各種處理中要求數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)的網(wǎng)格數(shù)據(jù)。另外，數(shù)據(jù)的不完整還導(dǎo)致信息的丟失，在后續(xù)的數(shù)據(jù)處理中會降低數(shù)據(jù)結(jié)果的可信度。因此，對實(shí)測數(shù)據(jù)的插值重構(gòu)是地球化學(xué)數(shù)據(jù)處理的必要步驟。

地質(zhì)學(xué)者們在地質(zhì)數(shù)據(jù)插值過程中常用的方法為反距離加權(quán)插值法[1]、徑向基函數(shù)插值法[2]、克里金插值法[3]、分形插值法[4]等。這些傳統(tǒng)的插值方法均是將插值后的數(shù)據(jù)整體趨于平滑[5]，會使土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)在背景區(qū)和異常區(qū)的交界處變得光滑，從而影響異常區(qū)域的波動。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一步研究會影響地質(zhì)人員對數(shù)據(jù)的分析，同時也會影響實(shí)地勘測找礦工作。因為在插值前并沒有對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，所以使用傳統(tǒng)方法進(jìn)行插值重構(gòu)后，得到的數(shù)據(jù)是對實(shí)測數(shù)據(jù)的近似插值重構(gòu)，仍然會受到各種噪音的影響。

在圖像處理領(lǐng)域，文獻(xiàn)[6]提到降噪的同時會損失原始圖像的紋理特征，因此提出基于稀疏表示的圖像降噪算法，在降噪后可有效保留原始圖像的結(jié)構(gòu)信息。在土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)中，異常區(qū)與背景區(qū)之間的差異就類似于這種結(jié)構(gòu)信息，在降噪時也需要保留這種結(jié)構(gòu)信息。文獻(xiàn)[7]在對地球化學(xué)數(shù)據(jù)的研究中指出，地球化學(xué)數(shù)據(jù)具有稀疏性，無噪聲的土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)可以通過字典稀疏表示，與實(shí)際數(shù)據(jù)之間的逼近殘差就是噪聲，這樣的降噪也不會使曲線光滑。

根據(jù)以上研究，本文嘗試將稀疏表示應(yīng)用在土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)重構(gòu)中。對重構(gòu)后的土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)進(jìn)行異常圈定，再與反距離插值重構(gòu)數(shù)據(jù)的異常圈定結(jié)果以及實(shí)際結(jié)果進(jìn)行比較，最終數(shù)值實(shí)驗?zāi)M表明，該算法適用于土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)重構(gòu)。

1 ?土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)稀疏重構(gòu)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[8]提到的壓縮感知理論的核心思想以及文獻(xiàn)[7]指出的地球化學(xué)數(shù)據(jù)具有稀疏性可知，地球化學(xué)數(shù)據(jù)可以表示為：

式（5）是NP難問題，很難直接求解出該問題的精確解。本文采用貪婪算法中的正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法[10]近似求解這個問題。在實(shí)際應(yīng)用中該算法的迭代過程如下：

2） 更新索引集[Vt=Vt-1?λt]，記錄找到的傳感矩陣中的重建原子集合[At=At-1，aλt]。

3） 由最小二乘法得到[θt=arg miny-Atθ2];更新殘差[rt=y-Atθt]，并且令[t=t+1]。

4） 判斷是否滿足[t>K]，若滿足，則停止迭代; 若不滿足，則執(zhí)行步驟1）。

最后得到變換系數(shù)[Θ]，這一過程又被稱為稀疏編碼。

為了更加精確地重構(gòu)出數(shù)據(jù)，則要求設(shè)計出高效的觀測矩陣和選擇最能稀疏表達(dá)數(shù)據(jù)[X]的稀疏變換矩陣[Ψ]。本文只考慮稀疏變換矩陣[Ψ]。該矩陣要根據(jù)具體數(shù)據(jù)的特征來選擇，適合于某一類數(shù)據(jù)的稀疏變換，不一定適合于另一類數(shù)據(jù)。因此選擇K?SVD算法對稀疏變換矩陣[Ψ]進(jìn)行自適應(yīng)學(xué)習(xí)[11?12]，從而達(dá)到能夠適合于不同地區(qū)的土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)重構(gòu)。

K?SVD每次更新一個原子（即變換矩陣的一列）及其對應(yīng)的稀疏系數(shù)，并且需要將實(shí)際勘察數(shù)據(jù)分塊。假設(shè)按照某種方式將數(shù)據(jù)分為[L]塊，依次對稀疏變換矩陣第[ll=1，2，…，L]列進(jìn)行更新：

1） 找出所有滿足[wl=jθjl≠0]的數(shù)據(jù)小塊[Yj];

2） 對每個下標(biāo)[j∈wl]，計算殘差[elj=Yj-m≠lΦψmθmj];

3） 計算殘差矩陣[El]，其列為[eliji，j∈wl];

4） 對[El]進(jìn)行奇異值分解得[El=UΔVT]。則[U]的第一列將作為字典更新后的第[l]列，同時更新[αliji，j∈wl]為[Δ1，1]乘以[V]的第一列。

每次迭代后會得到更新的稀疏變換矩陣[Ψ]，直到達(dá)到最優(yōu)的[Ψ]或達(dá)到設(shè)定的迭代次數(shù)。再重復(fù)稀疏編碼和變換矩陣更新過程，最后得到重構(gòu)的數(shù)據(jù)塊，對其平均得到最終的重構(gòu)數(shù)據(jù)[9]。

2 ?數(shù)值實(shí)驗

為檢驗本文提出的基于字典學(xué)習(xí)的稀疏重構(gòu)模型的效果，將其應(yīng)用到實(shí)際土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)的插值重構(gòu)中。在本文中，選擇常用的高斯矩陣作為測量矩陣[13]，選擇DCT變換矩陣作為訓(xùn)練變換矩陣的初始矩陣[14]。根據(jù)土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)只有實(shí)際勘察數(shù)據(jù)這一特點(diǎn)，本文只能根據(jù)含噪數(shù)據(jù)對變換矩陣進(jìn)行訓(xùn)練。

首先將數(shù)據(jù)對進(jìn)行分塊（本文中的塊大小為[4×4]），把分塊后的矩陣按列排列，則[M=16，N=25]，變換矩陣的原子數(shù)[15][K=600]。采用本文的算法得到重構(gòu)后的數(shù)據(jù)，對其平均即可得到最終的重構(gòu)數(shù)據(jù)。

圖1是原始缺失數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，圖2為使用反距離插值法得到的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，圖3為使用本文提出的稀疏重構(gòu)模型得到的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖。其中，圖中圓圈越大表示元素含量越高;圓圈越小表示元素含量越低。

從圖1～圖3中可以看出，兩種重構(gòu)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的值分布比較一致。圖2中，反距離插值重構(gòu)數(shù)據(jù)在圈較大區(qū)域內(nèi)，其元素含量比原始數(shù)據(jù)的值低，且增長緩慢，即較為嚴(yán)重地破壞了異常區(qū)與背景區(qū)交界處的結(jié)構(gòu);而根據(jù)稀疏重構(gòu)算法重構(gòu)后的數(shù)據(jù)在圈較大區(qū)域內(nèi)與原始數(shù)據(jù)的元素含量值保持一致，與圖2相比，減弱了對異常區(qū)與背景區(qū)交界處結(jié)構(gòu)的破壞，能更好地保留土壤數(shù)據(jù)的原始結(jié)構(gòu)和有用信息的完整性。

圖1 原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖

圖2 反距離插值數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

圖3 稀疏重構(gòu)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

3 ?結(jié) ?論

本文根據(jù)土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)本身或在變換域的稀疏性，將數(shù)據(jù)重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，可對土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)進(jìn)行很好的重構(gòu)，并且重構(gòu)后的數(shù)據(jù)符合原始數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，從而保留了異常區(qū)和背景區(qū)交界處的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等有用信息，在一定程度上有利于后期處理土壤地球化學(xué)數(shù)據(jù)。

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