劉淑琴 薛 紅

（西安工程大學(xué)理學(xué)院 西安 710048）

1 引言

當(dāng)前期權(quán)漸漸吸引了國(guó)內(nèi)國(guó)外許多投資人的眼球，其定價(jià)也越來(lái)越引起人們的重視。因此學(xué)者們也對(duì)不同期權(quán)進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［1～3］分別討論了重置期權(quán)，回望期權(quán)，亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題?，F(xiàn)匯率連動(dòng)期權(quán)作為期權(quán)的一種，是進(jìn)行全球投資的一種金融期權(quán)形式，不僅依賴(lài)于外國(guó)股票的價(jià)格，而且依賴(lài)匯率變化。因?yàn)閲?guó)標(biāo)的資產(chǎn)和匯率的變動(dòng)都是隨機(jī)過(guò)程，定價(jià)比較困難，所以許多學(xué)者對(duì)此期權(quán)也進(jìn)行了研究。迄今為止，有關(guān)匯率連動(dòng)期權(quán)的研究也有許多，文獻(xiàn)［4～12］主要利用鞅方法和保險(xiǎn)精算方法等不同方法分別討論了布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下有關(guān)匯率連動(dòng)期權(quán)定價(jià)模型，并給出了相應(yīng)的定價(jià)公式；以上學(xué)者是在布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下研究的此期權(quán)，然而我們發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有較好的“厚尾”和長(zhǎng)程依賴(lài)特性，因此用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)取代了標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)［13～14］利用不同的方法討論了標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下匯率期權(quán)定價(jià)問(wèn)題；但是近年來(lái)，發(fā)現(xiàn)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)沒(méi)有獨(dú)立性和平穩(wěn)性，使用范圍比較廣，即可描述平穩(wěn)又可描述不平穩(wěn)的現(xiàn)象，比分?jǐn)?shù)運(yùn)動(dòng)是更一般的高斯過(guò)程。文獻(xiàn)［15］國(guó)外學(xué)者首次提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，它是更一般的Gauss過(guò)程，它的增量與增量之間無(wú)獨(dú)立性，無(wú)平穩(wěn)性的特征，相對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)適用范圍更加廣泛，所以可以更好地應(yīng)用到金融市場(chǎng)當(dāng)中。隨后文獻(xiàn)［16～20］基于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)環(huán)境下討論了各種期權(quán)定價(jià)模型，結(jié)果都優(yōu)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的模型。期權(quán)定價(jià)的方法有多種多樣，但適用范圍較廣，限制因素較少的是由文獻(xiàn)［21］是由 Mogens Bladt與 Tina Hvid Rydberg于1998年第一次提出的保險(xiǎn)精算方法。在文獻(xiàn)［22］中閆海峰等人也討論了此方法的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)［23］中討論了歐式期權(quán)和交換期權(quán)在隨機(jī)利率及O-U過(guò)程下的定價(jià)方法。基于諸多學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，因此本文在股價(jià)和匯率滿足雙分?jǐn)?shù)隨機(jī)利率驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的大前提下，利用此方法推導(dǎo)出匯率連動(dòng)期權(quán)定價(jià)公式。

2 金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

假定利率rt，股票價(jià)格St，匯率價(jià)格 Xt分別滿足隨機(jī)微分方程：

其中 a，b，c，μt，σ 為常數(shù)，，都為雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，并且它們的相關(guān)系數(shù)都為δ。

引理1 隨機(jī)微分方程（3）的解為

引理2 隨機(jī)微分方程（4）的解為

定義1［20］價(jià)格過(guò)程在 [t，T]的期望收益率定義為。

引 理 3［23］設(shè) 兩 隨 機(jī) 變 量 ，，則對(duì)任意實(shí)數(shù) a，b，c，d，k，有

引 理 4［23］設(shè) 三 隨 機(jī) 變 量 ，，則 對(duì) 任 意 實(shí) 數(shù)a，b，c，k，有

3 匯率連動(dòng)期權(quán)定價(jià)

3.1 第一種匯率連動(dòng)期權(quán)

其中：

證明：首先

由于

其中：

由于

故結(jié)論得證。

3.2 第二種匯率連動(dòng)期權(quán)

其中：

證明：首先

則

由于

故結(jié)論得證。

4 結(jié)語(yǔ)

當(dāng)前有越來(lái)越多的證券投資商以及各種商業(yè)銀行發(fā)行了匯率連動(dòng)期權(quán)，但由于股價(jià)以及匯率的變動(dòng)都是隨機(jī)的變動(dòng)過(guò)程，對(duì)其定價(jià)相對(duì)來(lái)說(shuō)有一定的難度，因此本文利用保險(xiǎn)精算進(jìn)行貼現(xiàn)定價(jià)方法在雙分?jǐn)?shù)隨機(jī)利率下定價(jià)了此種期權(quán)，不論金融市場(chǎng)處于以上何種情況，本文給出的匯率連動(dòng)期權(quán)公式都能使用。