辛宗霈，馮顯英，杜付鑫，李 慧，李沛剛

(山東大學(xué) a.機(jī)械工程學(xué)院; b.高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室,濟(jì)南 250061)

0 引言

隨著數(shù)控機(jī)床逐步發(fā)展，機(jī)床對(duì)加工精度的要求越來越高。機(jī)床誤差包括熱誤差、幾何誤差及力引起的誤差，其中熱變形引起的誤差占機(jī)床誤差的40%～70%[1]。機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)在運(yùn)行期間摩擦產(chǎn)生熱量，將導(dǎo)致滾珠絲杠的溫度升高，而產(chǎn)生較大的熱誤差，直接影響機(jī)床精度。因此，對(duì)滾珠絲杠溫度分布、熱變形規(guī)律和熱誤差補(bǔ)償技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模研究，可以更好地分析熱誤差對(duì)機(jī)床加工精度的影響。

針對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差，國內(nèi)外學(xué)者在機(jī)床熱誤差建模和補(bǔ)償方面進(jìn)行了廣泛的研究。主要方法有：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型法、多元線性回歸法、有限元法和多體理論建立熱誤差模型方法等。夏軍勇等[2]通過非線性時(shí)序模型預(yù)測(cè)絲杠在多變熱源狀況下的熱彈性特征。OtakarHorejs等[3]在絲杠預(yù)緊效應(yīng)基礎(chǔ)上，提出熱變形和軸承溫升的變化關(guān)系。田國富等[4]提出了運(yùn)用多元線性回歸理論建模的方案，進(jìn)行數(shù)控機(jī)床熱誤差的模型識(shí)別并達(dá)到了非常高的建模精度。陳誠等[5]提出了以ELMAN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行熱誤差建模，通過這種方法所建立的模型考慮了運(yùn)行條件，準(zhǔn)確性得到提高，且魯棒性更強(qiáng)。張毅[6]在自然指數(shù)基礎(chǔ)上提出通過多項(xiàng)式擬合描述機(jī)床定位誤差和滾珠絲杠坐標(biāo)位置關(guān)系的方法。

在上述論文所建熱誤差模型中，多數(shù)是用平臺(tái)軸向熱誤差直接代替機(jī)床絲杠熱變形，而實(shí)際上由于絲杠與平臺(tái)之間傳動(dòng)鏈的影響,兩者并不相等,因此需要建立數(shù)學(xué)模型表示兩者間的關(guān)系。本文提出一種兩步熱誤差預(yù)測(cè)方法，以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)絲杠熱變形量進(jìn)行建模，然后通過多項(xiàng)式插值擬合來求得平臺(tái)軸向熱誤差y與絲杠實(shí)際熱變形量x之間的關(guān)系，構(gòu)建出熱誤差預(yù)測(cè)模型。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)平臺(tái)軸向熱誤差的方法作為直接法，與兩步法進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，兩步法預(yù)測(cè)得到的熱誤差比直接法預(yù)測(cè)得到的熱誤差更接近于實(shí)測(cè)平臺(tái)軸向熱誤差。

1 兩步法原理

眾所周知，進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的定位誤差很大部分由絲杠副的熱變形引起，以絲杠軸向熱變形量x表示[1]。

x=s(t)-s

(1)

其中，s是絲杠副某一點(diǎn)的位置。

機(jī)床開機(jī)自工作零點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至指定行程處，為忽略定位誤差，以此次激光干涉儀測(cè)量的工作臺(tái)位移量作為初始值，熱誤差反映為在熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中每次激光干涉儀測(cè)量值與其之間的差值。該誤差由進(jìn)給過程中所產(chǎn)生的熱量引起，直接反映為工作臺(tái)軸向位移量，因此稱作平臺(tái)軸向熱誤差y。

在大多數(shù)研究中，重點(diǎn)是系統(tǒng)溫升如何影響運(yùn)動(dòng)的精確性和如何降低熱效應(yīng)，在多數(shù)熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，都是用平臺(tái)軸向熱誤差直接代替機(jī)床絲杠熱變形，而沒有精確地以公式表示兩者間的關(guān)系。實(shí)際上，激光干涉儀測(cè)得的誤差不能簡(jiǎn)單的等同于絲杠熱變形量，因?yàn)樵跐L珠絲杠與工作臺(tái)之間存在著傳動(dòng)鏈。所以，平臺(tái)軸向熱誤差是由絲杠熱變形導(dǎo)致的，但二者并不相等。假設(shè)y和x之間的關(guān)系并非線性關(guān)系，因此可以通過多項(xiàng)式對(duì)兩者之間的代數(shù)關(guān)系進(jìn)行擬合：

y=λ0+λ1x+λ2x2+λ3x3+……+λnxn

(2)

式中，y是進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在位置為s處的平臺(tái)軸向熱誤差；λ0、λ1、λ2、λ3…λn是修正系數(shù)，反映了平臺(tái)軸向熱誤差和絲杠熱變形量的關(guān)系；x是絲杠在位置s處的熱變形量；λ0、λ1、λ2、λ3…λn可通過多種方法求得，例如灰色理論系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、最小二乘法、回歸分析、多變量回歸分析等，本文選擇多項(xiàng)式擬合方法進(jìn)行求解。

兩步法基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多項(xiàng)式擬合方法，第一步通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)絲杠軸向熱變形量x，第二步通過多項(xiàng)式插值擬合來求得平臺(tái)軸向熱誤差y與絲杠軸向熱變形量x之間的關(guān)系，通過這兩個(gè)步驟得到實(shí)際平臺(tái)軸向熱誤差。

2 熱誤差建模方法

圖1所示為兩步法流程圖。本文以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)絲杠熱變形建模，建立動(dòng)態(tài)絲杠熱變形模型。實(shí)驗(yàn)基于滾珠絲杠平臺(tái)進(jìn)行建模，以熱誤差實(shí)驗(yàn)中的工作臺(tái)速度v、運(yùn)行時(shí)間t和工作行程l作為輸入量，對(duì)以上各運(yùn)行條件進(jìn)行變化，測(cè)量絲杠熱變形及溫度，建立滾珠絲杠的熱誤差模型[5]。

圖1 兩步法建模及預(yù)測(cè)流程圖

在完成上述絲杠熱變形建模之后，對(duì)于不同工況下的絲杠熱變形和平臺(tái)軸向熱誤差之間的關(guān)系進(jìn)行多項(xiàng)式擬合求解。在得到誤差數(shù)據(jù)后，采用最小二乘法對(duì)式(2)的參數(shù)求解。

3 機(jī)床溫升、熱變形量及平臺(tái)軸向熱誤差測(cè)量試驗(yàn)

兩步法首先需要通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)各運(yùn)行條件和絲杠熱變形進(jìn)行建模處理，得出熱變形量x與各變量之間的關(guān)系，然后通過對(duì)平臺(tái)軸向熱誤差y與x進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，進(jìn)而相結(jié)合得到進(jìn)給系統(tǒng)的熱誤差模型。因此我們按照兩步法所需要的各種數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)并收集實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

在實(shí)驗(yàn)過程中，工作載荷、工作臺(tái)進(jìn)給速度、行程以及工作時(shí)間對(duì)絲杠熱變形都有影響，因此在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)充分考慮以上工況的影響，在空載下制定實(shí)驗(yàn)方案如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)方案

除測(cè)量階段，從機(jī)床開機(jī)到達(dá)到熱平衡，運(yùn)動(dòng)方式為定行程勻速往復(fù)運(yùn)動(dòng)，每隔10min停機(jī)測(cè)量一組數(shù)據(jù)。運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)和測(cè)量起點(diǎn)均為工作零點(diǎn)。

系統(tǒng)溫升、絲杠熱變形量及平臺(tái)軸向熱誤差測(cè)量原理圖如圖2所示，檢測(cè)系統(tǒng)的硬件主要包括溫度傳感器(T1、T2、T3、T4)、溫度變送器、微位移傳感器(W1)、數(shù)據(jù)采集卡及激光干涉儀。其中近端軸承的溫度由安裝在固定端軸承處的T1檢測(cè)，遠(yuǎn)端軸承的溫度由T2檢測(cè)，螺母組件的溫度由安裝在螺母處的T3檢測(cè)，環(huán)境溫度由T4檢測(cè)。W1用于測(cè)量絲杠末端的熱變形量[8]。激光干涉儀的反射鏡安裝在工作臺(tái)上，干涉鏡和激光頭固定，用于測(cè)量平臺(tái)軸向熱誤差。圖3所示為滾珠絲杠運(yùn)行平臺(tái)測(cè)量實(shí)驗(yàn)圖。

圖2 系統(tǒng)溫升、絲杠熱變形量及平臺(tái)軸向熱誤差測(cè)量原理圖

圖3 滾珠絲杠運(yùn)行平臺(tái)測(cè)量實(shí)驗(yàn)圖

4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練與多項(xiàng)式擬合

如圖4所示為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖[9]。

圖4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中，將4個(gè)測(cè)溫點(diǎn)測(cè)得的溫升值組成陣列(4×19)作為輸入變量，將這段時(shí)間采集的絲杠熱變形量組成向量(1×19)作為輸出變量[7]。以實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行構(gòu)建，并對(duì)其繼續(xù)訓(xùn)練。對(duì)實(shí)驗(yàn)4的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效性，并得到絲杠各處的熱變形。經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練加入算法得到絲杠熱變形整體分布，建立起絲杠熱變形模型。

在完成絲杠熱變形的模型建立后，將多組實(shí)驗(yàn)過程測(cè)得的y與x進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，擬合的過程中，一個(gè)非常關(guān)鍵的問題就是確定合適的多項(xiàng)式階次。階次如果太低，會(huì)導(dǎo)致擬合精確度低；階次如果太高，計(jì)算難度增大，誤差實(shí)施補(bǔ)償困難，可能會(huì)出現(xiàn)過擬合的現(xiàn)象，使模型魯棒性降低。在每次實(shí)驗(yàn)中，我們通過對(duì)不同階次多項(xiàng)式在該實(shí)驗(yàn)條件下的熱誤差擬合精度對(duì)比，分析多組實(shí)驗(yàn)選擇出適合的階次作為最終擬合階次。評(píng)價(jià)指標(biāo)SSE為和方差，是擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的誤差的平方和；RMSE是均方根誤差，是擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的平方和與觀測(cè)次數(shù)m比值的平方根[6]。最終如表2所示選擇n=3為最終擬合階次。

表2 多項(xiàng)式擬合精度對(duì)比

在不同運(yùn)行條件下，進(jìn)行平臺(tái)軸向熱誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中同時(shí)測(cè)得平臺(tái)軸向熱誤差及相應(yīng)時(shí)間的絲杠熱變形，根據(jù)式(3)得出平臺(tái)軸向熱誤差與絲杠熱變形間的數(shù)學(xué)模型。

y=λ0+λ1x+λ2x2+λ3x3

(3)

由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)，對(duì)上式的參數(shù)進(jìn)行求解，可以得到平臺(tái)軸向熱誤差與絲杠熱變形之間的具體模型[10]。

y=0.0076+0.9987x+6.2×e-5x2+8.4463×e-7x3

(4)

5 預(yù)測(cè)結(jié)果分析

由于單獨(dú)分析兩步法預(yù)測(cè)的熱誤差無法體現(xiàn)其優(yōu)越性，因此在結(jié)果中將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接訓(xùn)練平臺(tái)軸向熱誤差預(yù)測(cè)得到的熱誤差和兩步法預(yù)測(cè)得到的熱誤差曲線圖進(jìn)行比較，方法一稱作“直接法”。首先，通過實(shí)驗(yàn)1中的數(shù)據(jù)訓(xùn)練直接法和兩步法。然后通過實(shí)驗(yàn)2～實(shí)驗(yàn)4驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，同時(shí)將模型逐步優(yōu)化[5]。圖5為實(shí)驗(yàn)1的溫升數(shù)據(jù)及平臺(tái)軸向熱誤差y。

(a) 溫升曲線

(b) 平臺(tái)軸向熱誤差曲線 圖5 實(shí)驗(yàn)1

(a) 溫升曲線

(b) 平臺(tái)軸向熱誤差及預(yù)測(cè)模型統(tǒng)計(jì) 圖6 實(shí)驗(yàn)2

圖7 平臺(tái)軸向熱誤差組成

(a)溫升曲線

(b)熱變形誤差及預(yù)測(cè)模型統(tǒng)計(jì) 圖8 實(shí)驗(yàn)3

(a)溫升曲線

(b)平臺(tái)軸向熱誤差及預(yù)測(cè)模型統(tǒng)計(jì) 圖9 實(shí)驗(yàn)4

6 結(jié)論

本文提出了一種由BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)絲杠熱變形，然后通過多項(xiàng)式插值擬合來求得平臺(tái)軸向熱誤差與絲杠實(shí)際熱變形量之間的關(guān)系的復(fù)合建模方法，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此方法的可行性。在實(shí)驗(yàn)過程中行程發(fā)生變化的情況下，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)熱變形與多項(xiàng)式擬合熱變形和平臺(tái)軸向熱誤差兩方法結(jié)合預(yù)測(cè)得到的熱誤差殘差在-3.1～2.2μm內(nèi)波動(dòng)，此方法比單獨(dú)以BP網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練平臺(tái)軸向熱誤差的方法具有更好的預(yù)測(cè)精度，更適合于工程應(yīng)用。

DOI:org/10.1007/s00170-014-5606-0.