翟國軍,李文明

(1.延邊職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 延吉 133000；2.吉林大學(xué) 儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院，長春 130026)

0 引言

直流伺服電機(jī)由于其結(jié)構(gòu)簡單，且能夠保證平滑的調(diào)速性能以及精確的定位性能而在工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的不斷發(fā)展，直流伺服電機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究也得到了廣泛的關(guān)注[2]。將傳統(tǒng)的直流伺服電機(jī)控制理論與網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的相結(jié)合，使得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡化，成本降低，靈活性增強(qiáng)[3]。但是，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)也存在一些無法避免的問題，比如網(wǎng)絡(luò)時(shí)延、數(shù)據(jù)丟包或者數(shù)據(jù)包亂序等。文獻(xiàn)[4]應(yīng)用模糊自適應(yīng)算法及預(yù)測(cè)控制算法設(shè)計(jì)控制器減小了網(wǎng)絡(luò)時(shí)延對(duì)控制系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[5]研究不同的數(shù)據(jù)丟包率對(duì)直流伺服電機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)性能造成的影響并分析其穩(wěn)定性。但是上述文獻(xiàn)只考慮單一因素的影響，未同時(shí)考慮電機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的時(shí)延丟包問題。

滑模變結(jié)構(gòu)控制因?yàn)槠漭^好的模型魯棒性廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)[6]通過積分型滑模變結(jié)構(gòu)控制器抑制了負(fù)載擾動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[7]通過互補(bǔ)滑模面與廣義滑模面相結(jié)合，驗(yàn)證了該方法具有較好的抑制抖振效果。文獻(xiàn)[8]將通過反步滑?？刂破髟谝种贫墩穹壬先〉昧溯^好的效果。但是上述文章均著重于考慮如何降低抖振，沒有綜合考慮滑?？刂频恼w性能優(yōu)化，且研究對(duì)象未考慮系統(tǒng)丟包與時(shí)延。

考慮到直流伺服電機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的非線性特性以及網(wǎng)絡(luò)傳輸特性，本文提出了一種基于滑動(dòng)窗口多核LS-SVM在線預(yù)測(cè)補(bǔ)償?shù)亩喟鼈鬏斨绷魉欧姍C(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)DRNN-PID趨近律滑?？刂品椒?。

1 系統(tǒng)建模

設(shè)直流伺服電機(jī)NCS傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)均采用時(shí)間驅(qū)動(dòng)，控制器為事件驅(qū)動(dòng)，數(shù)據(jù)帶有時(shí)間戳并多包傳輸，且假設(shè)傳輸過程中無數(shù)據(jù)包亂序。將傳感器數(shù)據(jù)傳輸時(shí)延τca和控制量傳輸時(shí)延τsc合并為τ(k)。在此基礎(chǔ)上，建立離散系統(tǒng)模型：

(1)

其中，x(k)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u(k)∈Rm代表控制量輸入。設(shè)τ(k)為時(shí)變但有界的Markov隨機(jī)變量，τ(k)的狀態(tài)空間取為Ω={0,1,2}，系統(tǒng)的時(shí)延狀態(tài)遷移關(guān)系為：

(2)

定義Π=πij，(i,j∈Ω)為系統(tǒng)的時(shí)延狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。因?yàn)橹绷魉欧姍C(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)式(1)中顯含時(shí)延項(xiàng)τ(k)，所以滑模面的設(shè)計(jì)較為困難。因此，根據(jù)預(yù)測(cè)控制思想[10]可知原系統(tǒng)等價(jià)為：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]可知，系統(tǒng)(4)狀態(tài)完全能控。

圖1 丟包補(bǔ)償器多包傳輸NCS結(jié)構(gòu)

(4)

(5)

其中，σ(k)為LS-SVM預(yù)估值與系統(tǒng)狀態(tài)真實(shí)值的預(yù)測(cè)誤差系數(shù)。

在系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸時(shí)，如果發(fā)生丟包，則未更新的數(shù)據(jù)由預(yù)估器進(jìn)行補(bǔ)償更新，此時(shí)式(4)可寫為：

(6)

綜上所述可得丟包補(bǔ)償?shù)臅r(shí)延直流伺服電機(jī)NCS模型為：

(7)

2 滑動(dòng)窗口組合核LS-SVM在線預(yù)估

LS-SVM相對(duì)傳統(tǒng)的SVM大大的提高了計(jì)算效率以及預(yù)測(cè)精度[12]。對(duì)于一個(gè)個(gè)數(shù)為l的樣本序列(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xi,yi)，…，(xl,yl)，其輸入向量為xi∈Rn，輸出向量為yi∈R，采用LS-SVM進(jìn)行函數(shù)估計(jì)，具體步驟可以描述如下：

(8)

其中,φ(·):Rn→Rnh是將輸入向量映射到高維特征空間的映射函數(shù)；權(quán)值向量w∈Rnh，誤差變量ei∈R，偏置值b∈R；懲罰系數(shù)γ>0，從最小化目標(biāo)函數(shù)可知，懲罰系數(shù)的選擇影響著誤差所起的作用，懲罰系數(shù)取值較大，則誤差影響占目標(biāo)函數(shù)比重較大，反之較小。根據(jù)LS-SVM相關(guān)理論可以得到最小二乘支持向量機(jī)的基本方程：

(9)

根據(jù)SVM的原理可知核函數(shù)的選取對(duì)最后的回歸預(yù)測(cè)有重大影響，不同核函數(shù)其特點(diǎn)不同，導(dǎo)致的預(yù)測(cè)效果也不一樣。為提升預(yù)測(cè)性能，定義核函數(shù)為高斯核函數(shù)與Sigmoid核函數(shù)的線性組合：

K(xi,xj)=ω1Kg+ω2Ks

(10)

其中，ω1,ω2為相應(yīng)核函數(shù)的權(quán)值，滿足ω1+ω2=1,對(duì)式(9)求解，即可得到系數(shù)α和b，從而得到最小二乘支持向量回歸模型：

(11)

定義特征矩陣：Q=Ω+γ-1I，其中

(12)

在直流伺服電機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)實(shí)際工作過程中，會(huì)產(chǎn)生大量工作數(shù)據(jù)，為了跟蹤系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，在線建模要有一個(gè)吐故納新的過程。

滑動(dòng)時(shí)窗策略如圖2所示，時(shí)窗每一次移動(dòng)，參訓(xùn)樣本也隨著移動(dòng)，設(shè)時(shí)窗寬度為L，正比于樣本個(gè)數(shù)。

圖2 滑動(dòng)窗口策略示意圖

以時(shí)間預(yù)測(cè)為例，在線多核LS-SVM補(bǔ)償算法可描述如下：

(7)將樣本集和誤差集移位，xi=xi+1，yi=yi+1，ei=ei+1,i=1,2,..,L-1；xL=xnew，yL=ynew，eL=enew；

以上的過程是一個(gè)循環(huán)往復(fù)過程，隨著采樣的進(jìn)行，建模采用的樣本則始終是最新的L個(gè)樣本，即實(shí)現(xiàn)了滑動(dòng)時(shí)窗的在線移動(dòng)。具體流程圖可參見圖3。

圖3 滑動(dòng)時(shí)窗補(bǔ)償流程圖

3 DRNN滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

3.1 PID趨近律分析

相應(yīng)的PID趨近律表達(dá)式為：

(13)

式中，l>0代表比例系數(shù)，m>0是積分系數(shù)，n>0表示微分系數(shù)，類似于PID控制器的特點(diǎn)，比例項(xiàng)主要影響趨近速度，積分項(xiàng)主要影響輸出量抖振幅值，微分項(xiàng)主要是影響抖振的頻率。t0代表系統(tǒng)初次到達(dá)滑模面時(shí)間，t代表當(dāng)前時(shí)刻。

式(13)等價(jià)于

(14)

當(dāng)s>0且s→0+時(shí),存在

(15)

所以

(16)

(17)

根據(jù)上述分析，提出的PID趨近律滿足滑動(dòng)模態(tài)存在和到達(dá)條件。

由于在系統(tǒng)未到達(dá)滑模面時(shí)，積分項(xiàng)的作用為0，所以對(duì)式(14)求解可得：

(18)

當(dāng)s(t)=0，解式(18)得：

(19)

由式(19)可解得系統(tǒng)第一次到達(dá)滑模面的時(shí)間為：

(20)

由式(20)可知，到達(dá)時(shí)間t0是有限值。且該時(shí)間與比例系數(shù)、微分系數(shù)相關(guān)。當(dāng)比例系數(shù)較大時(shí)或者微分系數(shù)較小時(shí)，則趨近時(shí)間較短。但因?yàn)橄到y(tǒng)的抗干擾、抖振等因素，比例系數(shù)l不宜過大；當(dāng)系統(tǒng)第一次進(jìn)入滑模面后，積分項(xiàng)和微分項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)高頻抖振起到主要的抑制作用，因此微分系數(shù)n也不宜過小。

3.2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

根據(jù)對(duì)直流伺服電機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)補(bǔ)償建模可知相應(yīng)的狀態(tài)空間模型如式(7)所示，假設(shè)狀態(tài)變量個(gè)數(shù)為2，設(shè)計(jì)離散滑?？刂苹Ｃ鏋椋?/p>

(21)

其中，F(xiàn)為滑模面常數(shù)矩陣。式(5)等價(jià)于：

(22)

(23)

將式(23)代入式(22)得：

(24)

已知第一次到達(dá)滑模面時(shí)滿足如下條件：

s(k0)=0,k0≠0

(25)

則式(24)等價(jià)于：

(26)

若式(26)中存在極點(diǎn)λ，使得方程(21)的根在復(fù)平面的左半平面：

(27)

確定k之后，則滑模面常數(shù)矩陣F即可解得：

F=diag[z11]

(28)

[s(k+1)-s(k)]s(k)<0

(29)

但由文獻(xiàn)[14]可知，式(29)只是離散準(zhǔn)滑模運(yùn)動(dòng)存在的必要條件，而非充分條件。針對(duì)該問題，Sarpturk提出一種離散滑模到達(dá)充分條件：

|s(k+1)|<|s(k)|

(30)

根據(jù)連續(xù)趨近律分析可得離散滑模面函數(shù)可以表示為：

(31)

通過式(31)可知此時(shí)無論s(k)>0或者s(k)≤0，均滿足式(30)的要求。進(jìn)一步分析該P(yáng)ID趨近律滑模控制器的穩(wěn)定性，定義Lyapunov函數(shù)為：

V(k)=s2(k)

(32)

可得:

ΔV(k)=s2(k+1)-s2(k)

(33)

由于滿足式(29),所以ΔV(k)<0，因此可以證明該滑?？刂破鳚u進(jìn)穩(wěn)定。此時(shí)等效控制u(k)為：

(34)

通過式(34)可知，在狀態(tài)量已知的情況下，可以求得下一時(shí)刻的狀態(tài)變量和輸出變量。

3.3 DRNN-PID趨近律

對(duì)角回歸型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是具有反饋的動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它能夠更直接更生動(dòng)地反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。它是RBF網(wǎng)絡(luò)的一種變化形式，通過存儲(chǔ)內(nèi)部狀態(tài)使其具備映射動(dòng)態(tài)特征的功能，從而使系統(tǒng)具有適應(yīng)時(shí)變特性的能力，代表了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展方向。它也是一種3層前向網(wǎng)絡(luò)，隱層為回歸層。正向傳播是輸入信號(hào)從輸入層傳向輸出層，如果輸出層得到了期望的輸出，則學(xué)習(xí)算法結(jié)束；否則，轉(zhuǎn)至反向傳播。反向傳播將誤差信號(hào)按連接通路反向計(jì)算，由梯度下降法調(diào)整各層神經(jīng)元的權(quán)值和閥值，使誤差信號(hào)減小。令該DRNN的輸入為滑模切換函數(shù)s(k)和其變化量Δs(k)，其中Δs(k)=s(k+1)-s(k)，這兩個(gè)輸入量能夠反映此時(shí)與滑模面的狀態(tài)以及未來的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，輸出量為PID趨近律的三個(gè)參數(shù)l,m,n。具體的計(jì)算可參考文獻(xiàn)[18]。

4 仿真分析

定義直流伺服電機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的采樣周期為0.1s,根據(jù)文獻(xiàn)[2]可知當(dāng)負(fù)載電流為0時(shí)，狀態(tài)空間模型參數(shù)矩陣為：

定義時(shí)延狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

(35)

圖4為對(duì)應(yīng)Π1的時(shí)延分布。

圖4 時(shí)延分布圖

利用未丟包的數(shù)據(jù)包進(jìn)行訓(xùn)練，通過文獻(xiàn)[19]的PSO優(yōu)化方法對(duì)多核LS-SVM參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化得到懲罰因子C=196,高斯核函數(shù)參數(shù)為0.6，Sigmoid核函數(shù)參數(shù)為0.9，兩個(gè)核函數(shù)相應(yīng)的權(quán)值為ω1=0.681，ω2=0.319。

相應(yīng)的滑?？刂破鲄?shù)設(shè)定初始值為比例系數(shù)l=30、積分系數(shù)m=1、微分系數(shù)n=5，網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值取[-0.5,+0.5]之間的隨機(jī)值，輸入層、回歸層和輸出層的學(xué)習(xí)速率取0.3，動(dòng)量因子取0.05，進(jìn)一步由極點(diǎn)配置計(jì)算得滑模面常數(shù)矩陣:

(36)

根據(jù)式(33)可計(jì)算出控制量。利用Truetime進(jìn)行仿真驗(yàn)證，首先對(duì)滑動(dòng)窗口多核LS-SVM在線預(yù)測(cè)補(bǔ)償進(jìn)行驗(yàn)證，給定角位移傳感器狀態(tài)變量數(shù)據(jù)變化曲線如圖5中的紅色曲線，分別在30%以及60%丟包率條件下利用基于滑動(dòng)窗口策略的單核LS-SVM與多核LS-SVM進(jìn)行丟包預(yù)測(cè)補(bǔ)償，預(yù)測(cè)對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 丟包預(yù)測(cè)補(bǔ)償對(duì)比圖

從圖5中的預(yù)測(cè)補(bǔ)償結(jié)果可以看出，無論在丟包率為30%或者60%時(shí)，多核LS-SVM丟包預(yù)測(cè)較單核LS-SVM的狀態(tài)量更接近無丟包狀態(tài)變換曲線，且當(dāng)丟包率較小時(shí)，基本可以完全復(fù)現(xiàn)無丟包狀態(tài)量變化情況。說明無論丟包率的大小，多核LS-SVM的預(yù)測(cè)補(bǔ)償精度都較單核LS-SVM高。

進(jìn)一步考慮在不同丟包率條件下，在線補(bǔ)償對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制的影響。如圖6為丟包率在25%條件下無補(bǔ)償DRNN滑模控制與多核LS-SVM在線補(bǔ)償DRNN滑?？刂祈憫?yīng)對(duì)比，圖7為丟包率在50%條件下無補(bǔ)償DRNN滑?？刂婆c多核LS-SVM在線補(bǔ)償DRNN滑?？刂祈憫?yīng)對(duì)比。從圖中可以看出不論是丟包率為25%還是50%，基于多核LS-SVM在線補(bǔ)償DRNN滑?？刂祈憫?yīng)的快速性與穩(wěn)態(tài)性能均優(yōu)于無數(shù)據(jù)補(bǔ)償?shù)腄RNN滑模控制，進(jìn)一步證明了數(shù)據(jù)包在線預(yù)測(cè)補(bǔ)償對(duì)丟包條件下的DRNN滑模控制效果有改善的效果，能夠在一定丟包率條件下實(shí)現(xiàn)較好的控制效果。

圖6 25%丟包率條件下控制對(duì)比

圖7 50%丟包率條件下控制對(duì)比

為證明DRNNPID趨近律滑模控制的優(yōu)越性，在丟包率為20%條件下，給定參考跟蹤信號(hào)為角位移等于1的階躍信號(hào)，分別利用分段趨近律滑?？刂芠20]、模糊冪次趨近律滑?？刂芠21]以及DRNN-PID趨近律滑?？刂茖?duì)直流伺服電機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行控制，角位移響應(yīng)曲線如圖8所示，相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)放大圖如圖9所示。

圖8 不同趨近律滑?？刂菩Ч麑?duì)比

圖9 不同趨近律滑模控制效果放大圖

具體的100次采樣周期之后穩(wěn)態(tài)抖振結(jié)果如表1所示。

表1 穩(wěn)態(tài)抖振結(jié)果對(duì)比

從上述對(duì)比結(jié)果可以看出，雖然分段趨近律的初始響應(yīng)速度最快，但是其抖振幅值明顯大于其他兩種滑模控制方法。而模糊冪次趨近律相對(duì)于分段趨近律來說，抖振大大減小，但是其響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間卻明顯增大。而DRNN-PID趨近律滑模控制抖振幅值最小，響應(yīng)曲線能夠快速上升至目標(biāo)值并且保持較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

再通過控制量u(k)的響應(yīng)曲線來分析不同趨近律下的抖振情況,見圖10，可以看出控制量u(k)在DRNN-PID趨近律的滑模控制中抖振幅度較PID趨近律明顯減小，放大圖見圖11，表2為100次采樣之后不同趨近律的平均穩(wěn)態(tài)誤差，DRNN-PID趨近律的滑?？刂破骄€(wěn)態(tài)誤差明顯小于其他兩種趨近律滑模控制，從穩(wěn)態(tài)誤差的角度進(jìn)一步說明了DRNN-PID趨近律滑模控制的抖振較弱。

圖10 不同趨近律控制量對(duì)比

圖11 不同趨近律控制量放大圖

趨近律類別穩(wěn)態(tài)誤差(100次后)分段趨近律0.0286模糊冪次趨近律0.0124DRNN-PID趨近律0.0084

通過相應(yīng)理論與仿真結(jié)果共同分析可知，分段趨近律根據(jù)與滑模面的距離來實(shí)現(xiàn)兩種趨近律的切換，在響應(yīng)初期，由于主要考慮趨近速度，故其響應(yīng)速度較快，但是，趨近律切換之后，主要考慮減小抖振，所以響應(yīng)曲線會(huì)有明顯的轉(zhuǎn)折出現(xiàn)，但是此時(shí)狀態(tài)變量還未到達(dá)滑模面，因此切換后的趨近律此時(shí)并未起到減小抖振的作用，反而使得響應(yīng)速度減慢。此種方法的切換時(shí)機(jī)選取對(duì)最后的控制效果會(huì)產(chǎn)生較大影響。模糊冪次趨近律能夠在線調(diào)整趨近律速度，其設(shè)計(jì)目標(biāo)主要在于減少系統(tǒng)抖振，增強(qiáng)系統(tǒng)對(duì)外部干擾以及參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性，因此其魯棒性較強(qiáng)，但是響應(yīng)速度較慢。而DRNN-PID趨近律能夠通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性映射能力使得比例、積分、微分參數(shù)可調(diào)，在前期通過增大比例系數(shù)使得趨近速度加快，后期接近滑模面時(shí)減小比例系數(shù)，增大積分系數(shù)減小抖振振幅，減少穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)增大微分系數(shù)抑制抖振，兼顧了響應(yīng)速度與抑制抖振。

5 結(jié)束語

本文針對(duì)存在時(shí)延以及丟包的多包傳輸直流伺服電機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，提出了一種基于滑動(dòng)窗口策略的多核LS-SVM在線預(yù)測(cè)丟包補(bǔ)償DRNN-PID趨近律滑?？刂破鳎⑦M(jìn)行仿真得出如下結(jié)論：

(1)將時(shí)延系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為無時(shí)延系統(tǒng)，并且基于滑動(dòng)窗口多核LS-SVM在線預(yù)測(cè)的丟包補(bǔ)償預(yù)測(cè)能夠在一定丟包情況下保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且能夠保證較好的補(bǔ)償效果；

(2)DRNN-PID趨近律滑?？刂戚^分段趨近律以及模糊冪次趨近律滑模控制既能保證較快的響應(yīng)速度，又使得抖振幅值小，兼顧了響應(yīng)速度與抖振抑制；

(3)基于滑動(dòng)窗口多核LS-SVM在線補(bǔ)償條件下的DRNN-PID滑?？刂颇軌蜉^好的實(shí)現(xiàn)存在時(shí)延丟包的多包傳輸直流伺服電機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的跟蹤控制，且對(duì)數(shù)據(jù)丟包具備一定魯棒性。