◇邵 欽

怎樣的試題可以測(cè)評(píng)出學(xué)生的空間觀念？空間觀念測(cè)評(píng)的核心是什么？測(cè)評(píng)空間觀念水平高低的依據(jù)又是什么？本文試圖通過對(duì)空間觀念測(cè)評(píng)的相關(guān)試題分析與解讀，為空間觀念測(cè)評(píng)的內(nèi)容提供一些案例，為空間觀念測(cè)評(píng)的核心提供一些角度，為如何測(cè)評(píng)出學(xué)生空間觀念的水平提供一些思路。

一 空間觀念的測(cè)評(píng)可以圍繞“四條線索”展開

“圖形的認(rèn)識(shí)”“測(cè)量”“圖形的運(yùn)動(dòng)”以及“圖形與位置”是圖形與幾何領(lǐng)域?qū)W習(xí)的四條線索。因此，對(duì)空間觀念的測(cè)評(píng)內(nèi)容也應(yīng)圍繞這四條線索逐一展開。

（一）圍繞對(duì)圖形特征認(rèn)識(shí)的過程開展測(cè)評(píng)。

例題1：在自制的陀螺上點(diǎn)一個(gè)黑點(diǎn)，陀螺在旋轉(zhuǎn)時(shí)黑點(diǎn)可以形成一個(gè)圓形的痕跡（如圖1）。

圖1

小明也自制了幾個(gè)陀螺，并點(diǎn)上了黑點(diǎn)（如圖2，“×”標(biāo)出的是插入火柴棍的地方）。

圖2

以上哪個(gè)陀螺在旋轉(zhuǎn)時(shí)黑點(diǎn)可以形成一個(gè)圓形的痕跡？下面說法正確的是（ ）。

A.①②③都不能形成

B.只有③能形成

C.只有②和③能形成

D.①②③都能形成

這是一道有關(guān)圓的認(rèn)識(shí)的試題，此題測(cè)評(píng)的重點(diǎn)是：學(xué)生能否抓住圓的特征，通過想象理解圓的概念。這一問題的解決對(duì)學(xué)生具有一定程度的挑戰(zhàn)性，因?yàn)闊o論在哪幅圖中，陀螺旋轉(zhuǎn)時(shí)黑點(diǎn)所形成的痕跡都無法直接看到，學(xué)生的一般策略是在頭腦中將這三幅圖分別找到定點(diǎn)和定長，然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，想象出黑點(diǎn)所形成的軌跡。所以本題實(shí)際上是借助制作陀螺這樣一個(gè)素材，測(cè)評(píng)學(xué)生對(duì)圓的特征的認(rèn)識(shí)，特別是學(xué)生頭腦中對(duì)圓的表象的認(rèn)識(shí)和理解。

（二）憑借對(duì)圖形大小的理解開展測(cè)評(píng)。

如何依托圖形測(cè)量的內(nèi)容將測(cè)評(píng)的視角由度量和計(jì)算轉(zhuǎn)為評(píng)價(jià)學(xué)生的空間觀念呢？下面的例題則是利用這一內(nèi)容進(jìn)行空間觀念測(cè)評(píng)的一個(gè)案例。

例題2：用12 個(gè)小正方體拼擺成一個(gè)立體圖形，如圖3所示。至少移動(dòng)其中（ ）個(gè)小正方體可以將這個(gè)立體圖形變成一個(gè)體積不變的長方體。

圖3

A.1 B.2 C.3 D.4

本題測(cè)評(píng)的是學(xué)生對(duì)長方體體積的認(rèn)識(shí)，長方體的大小是由長、寬、高三者決定的，也正是這三者構(gòu)成了三維空間中的長方體。題目給定了長方體的大小，學(xué)生需要通過觀察和想象得到一個(gè)符合要求的長方體圖形。

在解決這一問題時(shí)學(xué)生通常要通過已知的長方體的體積想象或推斷出其長、寬和高，再進(jìn)行小正方體的移動(dòng)；或是通過在頭腦中先對(duì)小正方體進(jìn)行逐一地移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)成為長方體時(shí)，回憶移動(dòng)的塊數(shù)，再比較幾個(gè)方案移動(dòng)塊數(shù)的多少。因此，這道題實(shí)際上是依托對(duì)長方體體積的認(rèn)識(shí)這一素材，測(cè)評(píng)學(xué)生是否能夠?qū)π≌襟w進(jìn)行正確的移動(dòng)，從而測(cè)評(píng)出學(xué)生的空間觀念。

（三）依托圖形運(yùn)動(dòng)的生活素材開展測(cè)評(píng)。

圖形的運(yùn)動(dòng)在小學(xué)階段主要包括對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)和相似，在現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的這些運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，這些現(xiàn)象是測(cè)評(píng)空間觀念時(shí)很好的素材。利用這些素材，既可以測(cè)評(píng)學(xué)生的空間觀念，又能夠幫助學(xué)生動(dòng)態(tài)地認(rèn)識(shí)我們生存的空間。

例題3：張叔叔開車回家，在路口等紅燈時(shí)，從車的后視鏡里看到了后面的公交車，如圖4所示。根據(jù)圖中信息，可以判斷出公交車是（ ）路。

A.28 B.58 C.82 D.85

本題是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)稱現(xiàn)象的測(cè)評(píng)。學(xué)生在解決問題時(shí)要將后視鏡中的數(shù)在頭腦中還原為實(shí)際的車牌，當(dāng)然，一些學(xué)生通過將試卷翻過來看，推斷得到正確答案也不失為一種策略，這一策略也正體現(xiàn)了他們能夠?qū)㈩^腦中想象的過程，用現(xiàn)實(shí)中的直接操作行為進(jìn)行驗(yàn)證，從而得到結(jié)果。

（四）突出相對(duì)位置關(guān)系的理解開展測(cè)評(píng)。

圖形的位置是以多種方式刻畫圖形（或物體）的位置并應(yīng)用這些方式確定位置及位置關(guān)系為主要內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生空間觀念的。課標(biāo)中也就這一內(nèi)容提到了“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”這一空間觀念的具體表現(xiàn)。下面的例題則是結(jié)合這一內(nèi)容的一道題。

例題4：下面關(guān)于“中心廣場”的位置，描述正確的是（ ）。

圖5

A.中心廣場的位置在太陽神車的東偏北70°的方向

B.中心廣場的位置在太陽神車的西偏南70°的方向

C.中心廣場的位置在太陽神車的南偏西70°的方向

D.中心廣場的位置在太陽神車的北偏東70°的方向

這道題從方位的角度確定和描述位置，是在相對(duì)位置關(guān)系理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)行學(xué)生空間觀念的測(cè)評(píng)。本題對(duì)學(xué)生的空間觀念具有很大的挑戰(zhàn)性，因?yàn)?，?duì)于中心廣場與太陽神車這兩個(gè)地點(diǎn)來講，我們可以用任意一個(gè)地點(diǎn)為觀測(cè)點(diǎn)去描述另一個(gè)地點(diǎn)的位置，當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)發(fā)生變化時(shí)，另一地點(diǎn)與觀測(cè)點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系就會(huì)發(fā)生變化。題目給出了從中心廣場觀測(cè)太陽神車，太陽神車在觀測(cè)點(diǎn)的北偏東70°的方向，依據(jù)這個(gè)關(guān)鍵信息，學(xué)生要想象出兩個(gè)地點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系，從而判斷出從太陽神車觀測(cè)中心廣場的位置。

二 空間觀念測(cè)評(píng)的關(guān)鍵是想象和推理

學(xué)生空間觀念的形成與發(fā)展，應(yīng)通過觀察、操作、想象、推理、表達(dá)等活動(dòng)展開，因此，對(duì)空間觀念的測(cè)評(píng)也可以著眼于這幾個(gè)要素來做。那么，怎樣的試題能夠?qū)ⅰ跋胂蟆被蛘摺巴评怼睖y(cè)評(píng)出來呢？

例題5：李明沿圖6中所示的粗實(shí)線和粗虛線剪開正方體紙盒，然后將紙盒各面向外展開，那么與展開后的圖形形狀相似的是（ ）。

圖6

本題四個(gè)選項(xiàng)均為正方體的展開圖，學(xué)生無法靠之前對(duì)展開圖的記憶進(jìn)行選擇，也無法靠現(xiàn)場操作立體圖形或平面圖形尋找答案。在解決問題的過程中，學(xué)生需要通過觀察，并在頭腦中想象將正方體盒子沿棱剪開的過程，思考剪開后面與面之間的關(guān)系，得到正方體對(duì)應(yīng)的展開圖。

例題6：淘氣用一些大小相同的小正方體搭出了一個(gè)立體圖形，并從不同方向觀察后畫出了下面的三幅圖（如圖7）：

圖7

淘氣所搭出的立體圖形用了（ ）個(gè)小正方體。

對(duì)于這道題，學(xué)生需要根據(jù)三視圖進(jìn)行立體圖形的還原，并得到正確拼搭塊數(shù)。解決這一問題對(duì)學(xué)生的思維有較高的要求，學(xué)生需要結(jié)合情境進(jìn)行非形式化的推理。例如，他們需要多次在頭腦中進(jìn)行類似“如果……那么……”的嘗試，需要有條理地在頭腦中對(duì)三視圖進(jìn)行逐一的操作，從而得出正確的結(jié)論。整個(gè)問題的解決突出經(jīng)歷“提出假設(shè)—得出一個(gè)結(jié)論—證實(shí)或否定這一結(jié)論”這樣循環(huán)往復(fù)的一個(gè)過程。

通過上面的兩道題可以發(fā)現(xiàn)，題目應(yīng)以四條線索中的某一內(nèi)容為載體，以想象、推理作為解決問題的途徑和測(cè)評(píng)的最終目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)。盡量避免學(xué)生通過現(xiàn)場制作一個(gè)符合題意的物品，進(jìn)行簡單操作就能解決的問題，突顯出想象和推理在解決空間與幾何問題中的價(jià)值和意義，測(cè)評(píng)出學(xué)生的空間觀念。

三 測(cè)評(píng)空間觀念的水平要關(guān)注學(xué)生的表現(xiàn)

每個(gè)人空間觀念的水平不同，因此我們需要尋求較為科學(xué)和有效的方式，以測(cè)評(píng)學(xué)生空間觀念的水平。根據(jù)學(xué)生的作答情況給予不同層次的評(píng)價(jià)是開展有效測(cè)評(píng)的方式之一。

例題7：玩具廠要將一批長方體木塊原料切割成長方體小積木，如圖8所示，這樣的一塊長方體木塊原料最多可以切割出幾塊長方體小積木（不能拼接）？可以寫一寫、畫一畫，說明你的切割方案。

圖8

本題所傳遞的不僅僅是單純的體積測(cè)量問題。具體來講：首先，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)有“特定的規(guī)格”；其次，這種特定規(guī)格不能通過更小的標(biāo)準(zhǔn)拼接得到。因此，學(xué)生解決這一問題必須依靠空間想象，并且對(duì)其中的小長方體要不斷進(jìn)行旋轉(zhuǎn)擺放，同時(shí)需要把這樣的想象過程與想象后的結(jié)果通過寫一寫、畫一畫的方式表達(dá)出來。

由于題目本身具有一定的開放性，學(xué)生在完成切割小積木的任務(wù)時(shí)，因切割方案不同，所呈現(xiàn)的結(jié)果也不同，反映出的空間觀念水平也不盡相同。因此不能簡單地對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)，需要制定出較為合理的空間觀念水平的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

首先，將能否借助圖形在頭腦中進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來解決問題，作為評(píng)價(jià)空間觀念水平高低的關(guān)鍵性指標(biāo)。

其次，依據(jù)學(xué)生解決問題時(shí)表現(xiàn)出的一些基本特征，進(jìn)行相關(guān)水平的層次劃分，如表1所示：

表1

再次，為了更準(zhǔn)確地了解學(xué)生空間觀念的水平，需要將表1中的特征進(jìn)行進(jìn)一步外顯，外顯后的各水平具體描述及學(xué)生的表現(xiàn)情況如下：

水平0，切割的塊數(shù)為1～5 以外的數(shù)，且無法直觀表達(dá)出切割方案。

水平1，用算式計(jì)算出5 塊，沒有用直觀的方式表達(dá)出切割的方案，或直觀表達(dá)了切割出1塊的方案，或只寫出了4 塊而沒有切割方案的說明。學(xué)生的典型解答如圖9所示。

圖9

水平2，借助直觀表達(dá)的方式，正確表達(dá)出切割方案為2 塊、3 塊的結(jié)果，或借助直觀表達(dá)的方式，表達(dá)出的切割方案為4 塊，但無法實(shí)現(xiàn)這種方案。學(xué)生的典型解答如圖10所示。

圖10

水平3，借助直觀表達(dá)的方式，正確表達(dá)出切割方案為4 塊的結(jié)果。學(xué)生的典型作答如圖11所示。

圖11

至此，依據(jù)學(xué)生的解答情況劃分出了本題空間觀念的不同水平表現(xiàn)，這樣使得對(duì)學(xué)生空間觀念的測(cè)評(píng)更為具體和詳盡，同時(shí)也使得空間觀念水平評(píng)價(jià)具有了一定的可操作性。