梅三各 戴喜生 余莎麗 吳卻

摘? ?要：對一類具有高相對度的非正則離散拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題進(jìn)行了研究.首先將集中參數(shù)系統(tǒng)高相對度的定義相應(yīng)的推廣到離散分布參數(shù)系統(tǒng).基于本文的非正則離散分布參數(shù)系統(tǒng)，設(shè)計了一類帶有相對度為p的離散分布式迭代學(xué)習(xí)控制算法.然后由偏差分方程解的一般形式，將該分布參數(shù)系統(tǒng)降維處理為一般的離散線性系統(tǒng)，給出了在適當(dāng)初邊值條件下迭代跟蹤誤差沿迭代軸收斂的充要條件.用線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論證明了本文所設(shè)計的分布式學(xué)習(xí)控制算法的收斂性.數(shù)值例子說明了所給算法的有效性.

關(guān)鍵詞：相對度;迭代學(xué)習(xí)控制;離散分布參數(shù)系統(tǒng);非正則系統(tǒng)

中圖分類號：TP273? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.01.005

0? ? 引言

相對度描述的是以系統(tǒng)動力學(xué)為橋梁，系統(tǒng)的控制輸入直接饋給（簡稱為直饋）系統(tǒng)輸出程度的量[1].根據(jù)文獻(xiàn)[2]關(guān)于非正則系統(tǒng)的介紹可知，系統(tǒng)的完全非正則性可以用相對度的概念來描述，相對度為[r]的系統(tǒng)即為[r]階完全非正則系統(tǒng).迭代學(xué)習(xí)控制是一種可實現(xiàn)完全跟蹤的控制算法，具有結(jié)構(gòu)簡單，應(yīng)用廣泛等特點.目前關(guān)于迭代學(xué)習(xí)控制算法的研究大多都是針對相對度為1或0的可重復(fù)動態(tài)系統(tǒng)設(shè)計的[3-6]，這些算法一般比較簡單，比較容易設(shè)計和調(diào)節(jié)就能實現(xiàn)有限時間區(qū)間上的完全跟蹤任務(wù). 然而，實際應(yīng)用中有許多系統(tǒng)相對度大于1甚至更高，比如，文獻(xiàn)[7]提到的非完整機器人系統(tǒng)，以及文獻(xiàn)[8]提到的相對度大于4的系統(tǒng)，對類似系統(tǒng)，通常的一些算法收斂性條件將不再成立.比如，考慮下面的離散時間系統(tǒng)：

一般的，要根據(jù)系統(tǒng)高相對度的特點建立相應(yīng)的迭代學(xué)習(xí)控制算法來修正控制信號：對于[rr≥1]階完全非正則系統(tǒng)，可由系統(tǒng)當(dāng)前次運行的跟蹤誤差[e]的[r]或[r-1]階導(dǎo)數(shù)來構(gòu)造迭代學(xué)習(xí)控制策略[1]，以達(dá)到修正控制輸入信號，對期望軌跡實現(xiàn)完全跟蹤的目的.文獻(xiàn)[1]以高相對度線性時不變系統(tǒng)為研究對象，給出了一類基于高相對度的迭代學(xué)習(xí)控制算法;針對具有任意相對度的非線性連續(xù)時間系統(tǒng)，文獻(xiàn)[2]設(shè)計了一類基于數(shù)據(jù)采樣的迭代學(xué)習(xí)控制算法;文獻(xiàn)[10]研究了一類具有高相對度的不確定線性連續(xù)時間系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制，提出了一種自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法;文獻(xiàn)[11]提供了一類分析具有高相對度2D Roesser 系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制分析方法;針對一類具有高相對度的線性離散時間系統(tǒng)，文獻(xiàn)[12]設(shè)計了帶有相對度[p]的迭代學(xué)習(xí)控制算法.以上文獻(xiàn)的研究對象都是由常微分方程或者常差分方程構(gòu)成的集中參數(shù)系統(tǒng)，盡管有些文獻(xiàn)已經(jīng)研究了分布參數(shù)系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制問題[13-14]，目前研究由偏微分或偏差分方程構(gòu)成的高相對度分布參數(shù)系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題還未見有報道.本文則是首次對具有高相對度的非正則離散分布參數(shù)系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題的進(jìn)行研究.

1? ? 高相對度非正則離散拋物分布參數(shù)系統(tǒng)描述

考慮如下的單輸入單輸出高相對度非正則離散拋物分布參數(shù)系統(tǒng)：

數(shù)值仿真結(jié)果如圖1—圖4所示.

圖1是系統(tǒng)運行時的期望曲面，圖2是第20次運行時的輸出曲面，圖3是第20次運行時實際輸出與期望輸出的誤差曲面，圖4是迭代次數(shù)與每次運行時實際輸出與期望輸出之間最大誤差的關(guān)系圖.由圖3可以看出在第20次運行時，相應(yīng)的迭代誤差可以滿足.由圖4可以看出在第6次運行時輸出軌跡對期望軌跡基本實現(xiàn)完全跟蹤.因此，數(shù)值仿真結(jié)果驗證了本文所提出算法的有效性.

4? ? 結(jié)語

本文利用學(xué)習(xí)控制方法對非正則離散拋物型偏差分系統(tǒng)進(jìn)行了研究，設(shè)計了基于相對度的控制算法，得到誤差沿迭代軸收斂的結(jié)果，數(shù)值仿真也驗證了所給算法的有效性.利用該算法的思想，未來可考慮進(jìn)一步推廣到雙曲型系統(tǒng).

參考文獻(xiàn)

[1]? ? 阮小娥， 王杰. 高階相對度線性時不變系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)[J].? 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2014，37（6）：1077-1092.

[2]? ? SUN M X， WANG D W. Sample-data iterative learning control for nonlinear systems with arbitrary relative degree[J]. Automatic， 2001，37（2）：283-289.

[3] 肖陽， 朱芳來. 非正則線性系統(tǒng)閉環(huán)P型迭代學(xué)習(xí)控制算法[J]. 桂林電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2006，26（3）：191-194.

[4] 施建禮， 宋召青， 王文才. 非正則線性系統(tǒng)的閉環(huán)P 型迭代學(xué)習(xí)控制[J]. 計算機仿真，2003， 20（10）：71-73.

[5] 傅勤. 二階非線性雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2014，34（3）：284-293.

[6] HUANG D Q，XU J X，LI X F，et al. D-type anticipator iterative learning control for a class in homogeneous heat equations[J]. Automatica， 2013， 49：2397-2408.

[7]? ? 胡躍明，譚慧瓊，李迪. 基于非線性系統(tǒng)相對度的學(xué)習(xí)控制算法及在非完整移動機器人中的應(yīng)用[J]. 控制理論與應(yīng)用， 2001，18（5）：662-668.

[8]? ? DABO M，CHAFOUK H，LANGLOIS N.Unconstrained NCGPC with a guaranteed closed-loop stability：case of nonlinear SISO systems with the relative degree greater than four[C]//Proceedings of the 48h IEEE Conference on Decision and Control （CDC） held jointly with 28th Chinese Control Conference，2009，12，1980-1985， Shanghai，China.

[9]? ? 毛祖永，李曉東. 具有迭代初始誤差的高相對度線性離散系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制[J]. 控制理論與應(yīng)用，2012，29（8）：117-120.

[10] CHIEN C J， YAO C Y. An output-based adaptive iterative learning controller for high relative degree uncertain linear systems[J]. Automatic， 2004， 40（1）：145-153.

[11] MENG D Y， JIA Y M， DU J P， et al. Data-driven control for relative degree systems via iterative learning[J]. IEEE Transactions on Neural Networks， 2011， 22（10）：2213-2225.

[12] WEI Y S，? LI X D. Iterative learning control for linear discrete-time systems with high relative degree under initial state vibration[J]. IET Control Theory & Applications. 2016，10（10）：1115-1126.

[13]? 戴喜生，張建香，袁海英，等.基于閉環(huán)P型學(xué)習(xí)控制的線性分布參數(shù)切換系統(tǒng)故障診斷[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報，2016，27（4）：7-14.

[14]? 戴喜生，羅文廣，曹立生，等.初值大偏差分布參數(shù)系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)跟蹤控制[J].廣西工學(xué)院學(xué)報，2012，23（4）：18-22.

[15]? ILCHMANN A，MULLER M. Time-varying linear systems：relative degree and normal form[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2017，52（5）：1-17.

[16] CHENG S S. Partial difference equation[M]. London and New York： Taylor & Francis， 2009.