陳一雄 趙圣佞 陳成 石軍

摘 要：多工況載荷下，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的病態(tài)載荷問題仍是一個(gè)開放的課題。因此，結(jié)合變體積約束限技術(shù)，構(gòu)建新的近似拓?fù)鋬?yōu)化模型，提出了一種解決結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化中病態(tài)載荷問題的優(yōu)化方法。首先，構(gòu)建多種載荷工況下結(jié)構(gòu)柔順度的雙重凝聚函數(shù)，形成新的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化模型。其次，基于有理分?jǐn)?shù)材料懲罰模型和移動(dòng)漸近線表示式，形成目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的顯式二次近似式。最后，利用光滑化對(duì)偶算法，給出具有收斂性的多工況載荷下連續(xù)體結(jié)構(gòu)的柔順度拓?fù)鋬?yōu)化算法。給出的算例結(jié)果表明，與現(xiàn)有方法相比，該方法能解決多工況載荷下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的病態(tài)載荷問題，且可獲得更優(yōu)和清晰0/1分布的結(jié)構(gòu)拓?fù)洹?/p>

關(guān)鍵詞：可行域調(diào)整;柔順度優(yōu)化;結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化;多載荷工況

中圖分類號(hào)：TG156 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2019）01-0037-04

Robust Topology Optimization Design of Structures Considering

Multiple Load Cases and Ill-loaded Problem

CHEN Yixiong1，2 ZHAO Shengning1，2 CHEN Cheng1，2 SHI Jun1，2

（1.School of Automotive and Mechanical Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha Hunan? 410114;2.Key Laboratory of? Lightweight and Reliability Technology for Engineering Vehicle，College of Hunan Province，Changsha Hunan 410114）

Abstract： The ill-load problem of structural compliance topology optimization under multiple load cases still was an opening topic of the structural topology optimization field. Combining with a varied volume limit scheme， a novel approximate model of structural compliance topology optimization under multiple load cases was constructed， and a newmethod called as a duplicate aggregation function method was proposed， which was adopted to solve the ill-load problem of structural compliance topology optimization under multiple load cases. At first， a duplicate aggregation function for structural compliances under multiple load cases was constructed， and a novel approximate topology optimization model was formed. Based on the rational approximation for material properties （RAMP） and the Method of Moving Asymptotes（MMA）， explicitconvex and separable quadratic approximate functions of objective and constraint functions were derived. Then， a compliance topology optimization approach for multiple load cases， possessing convergence， was proposedby adopting a smooth dual algorithm. It was concluded from given examples that the proposed method can solve the ill-load problem of structural compliance topology optimization under multiple load cases， and may obtain a more optimal topology with clear 0/1 distribution than the existed methods.

Keywords： feasible domain adjustment;compliance optimization;structural topology optimization;multiple load cases;ill-loaded cases

在現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)中，常見的一些重要產(chǎn)品結(jié)構(gòu)在復(fù)雜載荷工況條件下工作，且載荷工況之間的載荷量級(jí)相差很大，甚至在同一載荷工況內(nèi)，不同結(jié)構(gòu)部位間的載荷量級(jí)也存在很大差異。例如，主要的承載機(jī)械結(jié)構(gòu)可能需要留有安裝傳感器的部位或者一些工作平臺(tái)等，故機(jī)械結(jié)構(gòu)除了工作強(qiáng)載荷作用外，還在偏離強(qiáng)載荷作用部位的某處存在小載荷作用。如果小載荷或小載荷工況存在，或者小載荷作用的部位不處于強(qiáng)載荷的傳力路徑上，那么在基于傳統(tǒng)優(yōu)化方法的多工況載荷下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過程中，可能會(huì)出現(xiàn)沒有材料支承小載荷的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，即所謂的病態(tài)載荷。為了解決病態(tài)載荷問題，隋允康等根據(jù)載荷的量級(jí)將載荷分成兩個(gè)層次[1]，即分別考慮強(qiáng)載荷和弱載荷進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，最終結(jié)果取決于兩個(gè)層次的劃分，且不同載荷的量級(jí)差異并不能完全反映它們導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)柔順度的量值差異。James等提出一種結(jié)構(gòu)柔順度的[η2]范數(shù)凝聚方案[η2>1]解決多工況載荷下結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化問題[2]。Luo也利用結(jié)構(gòu)柔順度的[η2]范數(shù)研究了多剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)問題[3]?；诓煌r載荷作用的結(jié)構(gòu)柔順度的量值差異特征，Cai等人考慮從0.1～0.5中取一個(gè)小值[η1][4]，形成結(jié)構(gòu)柔順度的[η1]范數(shù)凝聚函數(shù)，以解決兩組載荷工況下的病態(tài)載荷問題。Shi和Cai將該小值[η1]范數(shù)的凝聚方案擴(kuò)展到雙模材料的病態(tài)載荷工況的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中[5]。該方法的仿真結(jié)果顯示，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到超過兩組工況載荷作用且這些工況載荷含有病態(tài)載荷以及其中的兩組大載荷工況的結(jié)構(gòu)柔順度值相近時(shí)，基于小值[η1]范數(shù)凝聚方案的結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化求解只能獲得一個(gè)較差的局部解。對(duì)于僅有兩組工況載荷的情況，該方法甚至能解決拓?fù)鋬?yōu)化的病態(tài)載荷問題，但難于獲得最優(yōu)解。本文針對(duì)含有病態(tài)載荷的多工況載荷環(huán)境下結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化問題，提出一種新的優(yōu)化方法，以解決結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化的病態(tài)載荷問題，獲得較好的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化解。

1 含有病態(tài)載荷的多工況載荷下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

對(duì)于指定體積約束的多工況載荷下結(jié)構(gòu)柔順度優(yōu)化問題，實(shí)質(zhì)要求是使[maxl=1，2，…，LClρ]最小。

針對(duì)含有病態(tài)載荷的多工況載荷環(huán)境下結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化問題，本文構(gòu)建式（1）的結(jié)構(gòu)柔順度的雙重凝聚函數(shù)[faggρ]，并將它作為多工況載荷環(huán)境下結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化模型的近似目標(biāo)函數(shù)。

[faggρ=l=1LClρClmρ0η1η2η1+l=1LClρClmρ0η11η2]（1）

式中，L表示載荷工況總數(shù)，[Cl]表示第l組工況載荷作用下的結(jié)構(gòu)柔順度，[lm]為最大初始結(jié)構(gòu)柔順度值[Clmρ0]對(duì)應(yīng)的載荷工況序號(hào)，[η1]和[η2]為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，分別取小于1和大于1的值。因此，本文基于最大結(jié)構(gòu)柔順度最小和預(yù)定結(jié)構(gòu)體積要求，構(gòu)建了多工況載荷環(huán)境下結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化模型：

[minfaggρ=l=1LClρClmρ0η1η2η1+l=1LClρClmρ0η21η2s.t.? ?q=1Qρa(bǔ)vnqV0nq+p=1pραvipV0iq/V0≤V*/V0Kρulρ=Fl，l=1，2，…，Lρminnq≤ρnq≤1，q=1，2，…，Q]（2）

式中，[V*]表示約束的體積值，[V0]為初始結(jié)構(gòu)的體積值，而K表示結(jié)構(gòu)總剛度陣。[Fl]為第l組工況載荷，[ul]為第l組載荷工況下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。取[ρminnq=10-5]，以避免結(jié)構(gòu)總剛度陣奇異。

2 結(jié)構(gòu)柔順度的靈敏度分析和多工況載荷下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化近似模型

引入如式（3）、式（4）所示的變體積限技術(shù)：

[Vk+1u=Vk-minβ1V0，V*-Vk，Vk≥V*Vk+minβ1V0，V*-Vk，Vk<V*? ?，k=1，2，3]（3）

[Vk+1U=maxVkU-β1V0，V*，V4≥V*minVkU+β1V0，V*，V4<V*? ?，k=4，5，…]（4）

式中，[β1]為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，取值范圍為[0.005，0.025];[Vk]表示第k迭代步的結(jié)構(gòu)體積;[λk]是前一步（第k步）的拉格朗日乘子。

式（4）中，[Vk+1U]相對(duì)于迭代步k是單調(diào)變化的。在進(jìn)行有限迭代步后，式（2）的可行域完全與優(yōu)化模型（4）的可行域一致。式（2）的收斂性完全由求解算法確定。另外，變體積約束限技術(shù)的引入使得近似優(yōu)化模型（2）易于用對(duì)偶方法求解，且基于措施的優(yōu)化方法可獲得序列清晰拓?fù)洹?/p>

再者，類似于文獻(xiàn)[6，7]，將人工變量[w1]引入到模型（2），至此得到拓?fù)錁?gòu)型可穩(wěn)健變化的優(yōu)化模型（5）。

[minfk0ρ+c1w1+12d1w21s.t.? ?fk1ρ-w1≤0ρ∈ρk，w1≥0]? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

3 算例

圖1左端固定的懸臂梁尺寸為2m×1m×0.002m，其彈性模量和泊松比分別為200GPa和0.3。作用于結(jié)構(gòu)的三組工況載荷都為集中載荷工況。工況載荷一的集中載荷[F1]為8 000N，沿鉛垂方向向下作用于結(jié)構(gòu)的右端中點(diǎn)。工況載荷二的集中載荷[F2]為10N，沿鉛垂方向向下作用于結(jié)構(gòu)的右端上端點(diǎn)。工況載荷三的集中載荷[F3]為10 000N，沿鉛垂方向向下作用于結(jié)構(gòu)的上邊中點(diǎn)。將初始設(shè)計(jì)域劃分為等尺寸的5 000個(gè)平面應(yīng)力單元，并指定目標(biāo)體積比[θ=0.4]。本文取長(zhǎng)度過濾尺寸為[rmin=3.0Δmin]（[Δmin]是結(jié)構(gòu)單元邊長(zhǎng)的最小尺寸）。初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的拓?fù)渥兞慷紴?.0。收斂參數(shù)取為[ε1=0.000 1]和[ε2=0.000 1]。雙重凝聚函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)[η1]和[η2]分別取0.2和10。

圖2為本文方法獲得的懸臂梁結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化歷程圖?？梢钥闯觯M管載荷的量級(jí)相差非常大，在最后的構(gòu)型中仍然有材料支撐弱載荷，可獲得較好的拓?fù)鋬?yōu)化解。這充分說明本文方法是有效的，能夠解決病態(tài)載荷問題。圖3給出了本文方法獲得的懸臂梁結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)體積比和各工況載荷下結(jié)構(gòu)的柔順度的優(yōu)化歷程曲線。不難看出，整個(gè)優(yōu)化歷程是穩(wěn)健變化的。

4 結(jié)論

本文提出了解決病態(tài)載荷問題的一種新的多工況載荷下連續(xù)體結(jié)構(gòu)的柔順度拓?fù)鋬?yōu)化求解方法。從方法的理論公式和給出的算例可以得出以下結(jié)論：①提出的結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化方法能解決病態(tài)載荷問題，且具有收斂性和好的穩(wěn)健性;②本文方法可獲得更優(yōu)、更清晰0/1分布的優(yōu)化結(jié)構(gòu)拓?fù)洹?/p>

參考文獻(xiàn)：

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