鄧佳林, 鄒益勝， 黃治光， 張繼冬， 張笑璐， 王 超

(1 西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院先進(jìn)設(shè)計(jì)與制造研究所， 成都 610000；2 中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司， 山東青島 266000)

軸承作為高速列車走行部的關(guān)鍵零部件之一，其工作狀態(tài)直接影響著高速列車的運(yùn)營(yíng)安全[1]。軸承在正常狀態(tài)下有著一定的溫度波動(dòng)范圍，而在故障狀態(tài)下，軸承的內(nèi)部振動(dòng)增大、摩擦增大會(huì)使得其產(chǎn)生的熱量增加，導(dǎo)致軸承溫度高于正常軸承的溫度波動(dòng)范圍，因此溫度可以作為判定軸承是否異常的指標(biāo)。目前高速列車采用車載軸溫監(jiān)測(cè)預(yù)警系統(tǒng)對(duì)軸承狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)控，通常分為暖軸預(yù)警及熱軸報(bào)警兩個(gè)等級(jí)，均由設(shè)定的溫度閾值及流程邏輯進(jìn)行控制[2]。當(dāng)系統(tǒng)監(jiān)測(cè)到軸承溫度出現(xiàn)異常，超過設(shè)定的溫度閾值便會(huì)進(jìn)行報(bào)警，而軸承發(fā)生故障到切軸可能只需要短短幾分鐘，所以一旦報(bào)警發(fā)生，列車必需進(jìn)行限速或者停車處理，因此如果能夠提前準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)軸溫的發(fā)展趨勢(shì)，結(jié)合現(xiàn)有的軸溫監(jiān)測(cè)預(yù)警系統(tǒng)便可提前發(fā)現(xiàn)軸溫異常，爭(zhēng)取更多的時(shí)間來處理故障，對(duì)列車安全運(yùn)行有著重要意義。

灰色系統(tǒng)理論是鄧聚龍教授[3]在1982年提出來的，用來解決小樣本、貧信息問題，具有原始數(shù)據(jù)要求少、建模過程簡(jiǎn)單、計(jì)算方便、精度可檢驗(yàn)等優(yōu)點(diǎn)。時(shí)間序列預(yù)測(cè)中最常見的灰色模型是GM(1,1)模型，被廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。楊杰[4]利用平滑處理及等維信息處理方法與灰色模型相結(jié)合，使模型能逐步調(diào)整模型的單調(diào)性，并應(yīng)用于燃?xì)夤?yīng)量預(yù)測(cè)。曹寅冬[5]利用基于固定數(shù)值的新陳代謝GM(1,1)模型對(duì)高速列車軸承相對(duì)溫升進(jìn)行單步預(yù)測(cè)。但GM(1,1)預(yù)測(cè)模型也存在著一定的局限性，其模型微分方程離散化過程中的建模機(jī)理存在著缺陷，導(dǎo)致模型存在不可避免的系統(tǒng)誤差，主要包括初始值選取和背景值優(yōu)化造成的誤差[6]。因此針對(duì)GM(1，1)模型的改進(jìn)研究也在不斷的進(jìn)行。Li-Chang Hsu[7]使用遺傳算法對(duì)背景值進(jìn)行優(yōu)化并建立了ITGM(1,1)模型。Li K等[8]使用粒子群算法對(duì)GM(1,1)模型的初始值和背景值進(jìn)行了優(yōu)化并對(duì)進(jìn)行了單步預(yù)測(cè)。Peng[9]利用人工蜂群對(duì)GM(1,1)的背景值進(jìn)行了優(yōu)化，并應(yīng)用于電力系統(tǒng)的預(yù)測(cè)管理。然而，這些改進(jìn)的模型本質(zhì)上仍屬于指數(shù)模型，這種固定的模型結(jié)構(gòu)限制了對(duì)波動(dòng)數(shù)據(jù)的適應(yīng)能力。

在一個(gè)區(qū)間中運(yùn)行的高速列車，宏觀上分為3個(gè)階段：即啟動(dòng)段、恒速段和制動(dòng)段，軸承溫度的變化趨勢(shì)與這3個(gè)階段基本匹配。在啟動(dòng)段，軸溫逐漸上升；在恒速段，軸溫呈上升或穩(wěn)定特征；在制動(dòng)段，軸溫開始下降。從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來看，軸溫上升段和軸溫下降段的溫度變化呈現(xiàn)比較明顯的單調(diào)特性，滿足GM(1,1)對(duì)建模數(shù)據(jù)單調(diào)性的要求。但實(shí)際上由于高速列車運(yùn)行過程中的速度和環(huán)境是動(dòng)態(tài)變化的，因此軸溫的變化并非具有嚴(yán)格的單調(diào)性，特別是在上升和下降趨勢(shì)發(fā)生轉(zhuǎn)變的拐點(diǎn)處附近，這將導(dǎo)致GM(1,1)預(yù)測(cè)結(jié)果存在較大的誤差。

所以針對(duì)GM(1,1)建模機(jī)理的缺陷，以及GM(1,1)對(duì)呈現(xiàn)較大波動(dòng)的軸溫?cái)?shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)結(jié)果不太理想的問題。在GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)上，對(duì)原始GM(1,1)進(jìn)行修正，提出了一種粒子群算法優(yōu)化的灰色預(yù)測(cè)模型。首先利用一次多項(xiàng)式GM(1,1)模型進(jìn)行修正，重構(gòu)灰色模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)來增強(qiáng)模型的適應(yīng)能力，再利用粒子群算法對(duì)重構(gòu)模型參數(shù)進(jìn)行求解，同時(shí)也避免傳統(tǒng)GM(1，1)的初始值選取和背景值優(yōu)化問題，最后將此方法應(yīng)用于高速列車軸溫預(yù)測(cè)。

1 基于PSO的軸溫灰色預(yù)測(cè)模型

1.1 灰色預(yù)測(cè)GM(1,1)模型

原始的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)原理如下：

(1)假設(shè)原始序列X(0)={x(0)(k)}，(k=1…n)，一階累加序列為X(1)={x(1)(k)}，其中：

(1)

(2)利用X(1)構(gòu)造背景值序列Z(1)={z(1)(k)}，

其中

z(1)(k)=λx(1)(k-1)+(1-λ)x(1)(k)，k=1…n

(2)

(3)λ∈[0，1]，為了方便計(jì)算一般取為0.5。

(4)假定X(1)具有近似指數(shù)變化規(guī)律，則GM(1,1)模型的白化方程為：

(3)

將式(3)離散化可將GM(1,1)表達(dá)為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(4)

那么：

(5)

于是GM(1,1)模型的解為：

(6)

當(dāng)k=1，…，n時(shí)為模型的擬合值，當(dāng)k>n時(shí)為模型的預(yù)測(cè)值。將累加序列還原即可得到預(yù)測(cè)序列：

(7)

1.2 粒子群優(yōu)化的灰色預(yù)測(cè)模型

從灰色模型的建模原理可以看出x(0)(1)只是人為選定的求解初值，而模型參數(shù)a,b的最小二乘解并不依賴x(0)(1)，即x(0)(1)不一定是灰色模型的擬合值，而λ=0.5也并非GM(1,1)最優(yōu)解，這是灰色模型建模機(jī)理方面存在的缺陷。同時(shí)，由式(7)可以看出，灰色模型實(shí)質(zhì)是最小二乘意義下指數(shù)模型的曲線擬合，所以其對(duì)建模數(shù)據(jù)有一定的單調(diào)性要求。

因此考慮到模型的初始值選取造成的誤差，將灰色模型修正為：

(8)

累計(jì)值還原可得：

(9)

為了增加模型對(duì)波動(dòng)數(shù)據(jù)的適應(yīng)能力，利用一次多項(xiàng)式代替初值誤差項(xiàng)，改進(jìn)的模型為：

(10)

直接利用粒子群算法對(duì)改進(jìn)后的擬合模型：

(11)

以最小均方誤差作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)求解。這樣不僅能繼續(xù)保證模型的最小二乘意義，還可以避免傳統(tǒng)灰色模型對(duì)背景值的優(yōu)化。利用粒子群算法求解參數(shù)包括c1,c2,c3,c4。

整個(gè)算法流程如下：

(1)確定粒子個(gè)數(shù)N，并初始化每個(gè)粒子的位置

pi=[pi1…pin]和速度vi=[vi1…vin]，可將原始灰色模型的解作為初始值進(jìn)行優(yōu)化；

(2)根據(jù)式(10)計(jì)算每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)結(jié)果

(3)計(jì)算每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的擬合誤差Fi；

(12)

(4)當(dāng)Fi小于其個(gè)體最小誤差時(shí)，則用pi替換pbi；當(dāng)Fi小于總體最小誤差時(shí)，則用pi替換gb；

(5)依據(jù)式(13)更新粒子的速度和位置；

vi=wvi+c1r1(gb-pi)+c2r2(pbi-pi)

(13)

其中：w為慣性常數(shù)，一般取0.5。

c1，c2為加速常數(shù)，一般取1.4。

r1，r2為random(0，1)函數(shù)。

(6)重復(fù)(2)至(6)直到滿足誤差條件或者達(dá)到最大迭代次數(shù)；

(7)將得到的gb即修正模型的可行解帶入式(11)中即可得到模型的預(yù)測(cè)值。

1.3 粒子群優(yōu)化的軸溫灰色預(yù)測(cè)模型

為了實(shí)現(xiàn)軸承溫度實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，采用滑動(dòng)窗口的思想來更新當(dāng)前時(shí)刻預(yù)測(cè)模型的建模數(shù)據(jù)，窗口大小和預(yù)測(cè)模型建模數(shù)相等。每當(dāng)新一時(shí)刻的軸溫?cái)?shù)據(jù)來臨時(shí)，將其增添到窗口序列前端，并舍棄尾部數(shù)據(jù)，然后利用更新后窗口內(nèi)的數(shù)據(jù)作為當(dāng)前時(shí)刻模型的建模數(shù)據(jù)，然后對(duì)軸溫的變化趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，保證建模數(shù)不變的同時(shí)，及時(shí)更新最新的趨勢(shì)信息。

整個(gè)模型的輸入是當(dāng)前時(shí)刻采集到的軸溫?cái)?shù)據(jù)及其歷史領(lǐng)域軸溫?cái)?shù)據(jù)構(gòu)成的窗口序列，輸出是未來一定時(shí)間步長(zhǎng)的預(yù)測(cè)溫度，實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)時(shí)需要根據(jù)在線監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)不斷更新輸入的窗口溫度序列。在模型運(yùn)行前需要確定建模數(shù)(窗口長(zhǎng)度)、預(yù)測(cè)步長(zhǎng)以及PSO的粒子個(gè)數(shù)、慣性常數(shù)等參數(shù)。具體流程如圖1所示：

(1)數(shù)據(jù)預(yù)處理。對(duì)傳輸過程中缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，插值方式為前向插值，用前一時(shí)刻數(shù)據(jù)代替當(dāng)前時(shí)刻的缺失數(shù)據(jù);

(2)更新建模數(shù)據(jù)。獲取當(dāng)前時(shí)刻軸溫?cái)?shù)據(jù)，更新用于建模的窗口數(shù)據(jù)序列。考慮到傳感器精度以及插值引起的誤差，對(duì)建模數(shù)據(jù)進(jìn)行滑動(dòng)平均處理;

(3)構(gòu)建模型。根據(jù)選取的建模數(shù)據(jù)，按照本文提出的方法構(gòu)建軸溫預(yù)測(cè)模型;

(4)更新預(yù)測(cè)結(jié)果。根據(jù)事先設(shè)定的預(yù)測(cè)步長(zhǎng)，利用構(gòu)建好的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，更新預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖1 PSO優(yōu)化的灰色軸溫預(yù)測(cè)流程圖

2 模型驗(yàn)證

以高速列車實(shí)際履歷軸溫?cái)?shù)據(jù)為例，對(duì)提出的基于PSO的軸溫灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行驗(yàn)證。數(shù)據(jù)來源為運(yùn)行在西安到西寧線路上的某型高速列車車載軸溫監(jiān)測(cè)系統(tǒng)所采集的軸承溫度數(shù)據(jù)。該系統(tǒng)所用溫度傳感器型號(hào)為PT100，其采樣頻率為1/60 Hz～1/20 Hz，采樣精度為1 ℃，安放位置在軸承座盲孔內(nèi)接近軸承外圈位置，取其中某節(jié)車軸箱軸承連續(xù)幾個(gè)啟停段的波動(dòng)溫度數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù)，運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)為80 min?？紤]到實(shí)際運(yùn)用中，車載軸溫監(jiān)測(cè)系統(tǒng)每間隔1 min才會(huì)進(jìn)行一次數(shù)據(jù)傳輸，故對(duì)測(cè)試軸溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行重采樣，重采樣后的頻率為1/60 Hz，即每分鐘1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

不恰當(dāng)?shù)慕?shù)對(duì)預(yù)測(cè)精度有著直接影響，經(jīng)過試驗(yàn)，文中采用的建模數(shù)為7個(gè)點(diǎn)?？紤]到模型的計(jì)算效率，PSO的粒子數(shù)取30，最大迭代數(shù)取50。慣性常數(shù)w取0.5，加速常數(shù)c1,c2取1.4。

從測(cè)試數(shù)據(jù)中截取單調(diào)上升、單調(diào)下降和非單調(diào)波動(dòng)3種不同變化趨勢(shì)的數(shù)據(jù)段用于測(cè)試模型的擬合能力，每段的長(zhǎng)度與建模數(shù)相等。圖 2是GM(1,1)預(yù)測(cè)模型和改進(jìn)后預(yù)測(cè)模型對(duì)長(zhǎng)度為7個(gè)點(diǎn)(7 min)的不同變化趨勢(shì)的軸溫?cái)?shù)據(jù)擬合情況。從圖中可以明顯觀察到：由于建模機(jī)理的缺陷及模型本身擬合能力的限制，GM(1，1)模型只適用于具有一定單調(diào)性的數(shù)據(jù)，對(duì)波動(dòng)數(shù)據(jù)的擬合存在較大的誤差。而改進(jìn)后的灰色模型對(duì)波動(dòng)數(shù)據(jù)的擬合誤差遠(yuǎn)小于灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，擬合能力明顯更強(qiáng)。

圖2 不同趨勢(shì)軸溫?cái)?shù)據(jù)擬合結(jié)果

以80 min連續(xù)波動(dòng)溫度數(shù)據(jù)來驗(yàn)證改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)能力。分別使用GM(1,1)模型和本文改進(jìn)后的軸溫預(yù)測(cè)模型進(jìn)行1～10 min軸溫預(yù)測(cè)。

為了全面的、平均的、典型的反映預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度，綜合采用平均絕對(duì)誤差(EMA)、平均相對(duì)誤差(EMAR)、最大絕對(duì)誤差(EMAXA)以及誤差方差(EVAR)對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，其定義如下：

(14)

(15)

(16)

(17)

預(yù)測(cè)結(jié)果誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3～圖6所示，其中5 min預(yù)測(cè)結(jié)果如圖 7所示。

圖3 改進(jìn)前后平均絕對(duì)誤差

圖4 改進(jìn)前后平均相對(duì)誤差

圖5 改進(jìn)前后最大絕對(duì)誤差

圖6 改進(jìn)前后誤差方差

圖7 改進(jìn)前后5 min預(yù)測(cè)結(jié)果

從預(yù)測(cè)結(jié)果誤差統(tǒng)計(jì)的4個(gè)指標(biāo)來看，改進(jìn)后的軸溫預(yù)測(cè)模型對(duì)波動(dòng)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度明顯優(yōu)于GM(1,1)模型，預(yù)測(cè)結(jié)果更加的理想。進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)：

(1)改進(jìn)后1～10 min預(yù)測(cè)結(jié)果的平均絕對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差均有著明顯的降低。以5 min預(yù)測(cè)結(jié)果為例，平均絕對(duì)誤差由6 ℃降低到5 ℃，降低了16.7%；平均相對(duì)誤差由9.1%降到了7.8%，降低了14.3%；

(2)改進(jìn)后1～10 min預(yù)測(cè)結(jié)果的最大絕對(duì)誤差在短步長(zhǎng)預(yù)測(cè)時(shí)，也有著一定的改善。以5 min為例，最大絕對(duì)誤差由20℃降低到18.6℃，降低了7%。但隨著預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的增大，改進(jìn)模型的最大絕對(duì)誤差逐漸逼近GM(1,1)模型，在10 min時(shí)兩者的最大絕對(duì)誤差相同。

(3)改進(jìn)后模型的誤差方差明顯低于改進(jìn)前的誤差方差，以5 min為例，誤差方差由24.6降低到了20.6。這表明改進(jìn)后模型預(yù)測(cè)誤差分布范圍更小，預(yù)測(cè)效果更佳理想。

(4)從5 min預(yù)測(cè)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)在溫度上升和下降階段，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)一定單調(diào)性時(shí)，改進(jìn)后的模型預(yù)測(cè)結(jié)果略優(yōu)于GM(1,1)預(yù)測(cè)模型。但在數(shù)據(jù)的拐點(diǎn)處，特別是25 min左右的溫升拐點(diǎn)時(shí)，改進(jìn)模型預(yù)測(cè)效果明顯優(yōu)于GM(1,1)模型。

3 結(jié) 論

在GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)上，利用一次多項(xiàng)式對(duì)其進(jìn)行了修正，重構(gòu)灰色模型的時(shí)間響應(yīng)序列，再利用PSO對(duì)重構(gòu)模型進(jìn)行求解，并據(jù)此構(gòu)建了一種高速列車軸溫預(yù)測(cè)模型。再以高速列車實(shí)際履歷軸溫?cái)?shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，通過對(duì)比分析改進(jìn)前后兩種模型對(duì)不同趨勢(shì)軸溫?cái)?shù)據(jù)擬合結(jié)果，以及不同預(yù)測(cè)步長(zhǎng)下的預(yù)測(cè)結(jié)果，得出如下結(jié)論：

(1)改進(jìn)后的模型通過一次多項(xiàng)式進(jìn)行修正，利用PSO求解參數(shù)，不僅避免了傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測(cè)模型的背景值優(yōu)化，還克服了邊值缺陷問題，增強(qiáng)了對(duì)波動(dòng)數(shù)據(jù)的擬合能力；

(2)基于PSO的軸溫灰色預(yù)測(cè)模型相較于GM(1，1)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)誤差有著明顯的改善。其中5 min預(yù)測(cè)平均絕對(duì)誤差降低了16.7%，平均相對(duì)誤差降低了14.8%，最大絕對(duì)誤差降低了7%，誤差分布范圍也更加集中。并且上升階段拐點(diǎn)處的預(yù)測(cè)誤差明顯降低。