黃蘇萍

摘要：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，是一個(gè)非常重要的教學(xué)目標(biāo)。數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，因?yàn)閿?shù)學(xué)推理能力的形成和提高需要一個(gè)長期的、循序漸進(jìn)的過程。教學(xué)中，我們可以通過三個(gè)策略來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力：以“猜想驗(yàn)證”為載體，發(fā)掘相同屬性，促類比推理能力的提升;以“巧妙轉(zhuǎn)化”為橋梁，溝通知識聯(lián)系，促演繹推理能力的發(fā)展;以“探求規(guī)律”為抓手，深入問題本質(zhì)，促歸納推理能力的提高。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)推理能力;類比推理能力;演繹推理能力;歸納推理能力

數(shù)學(xué)推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理又包括類比推理、歸納推理等合情推理。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成。

數(shù)學(xué)推理能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》所提出的十個(gè)“核心詞”之一，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在其教學(xué)總目標(biāo) “數(shù)學(xué)思考”部分指出：“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法。對于第一學(xué)段學(xué)段（1-3年級）的學(xué)生來說，應(yīng)學(xué)會(huì)在觀察、操作等活動(dòng)中能提出一些簡單的猜想。對第二學(xué)段（4-6年級）的學(xué)生來說，要學(xué)會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果。”可見，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，是一個(gè)非常重要的教學(xué)目標(biāo)。

數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，因?yàn)閿?shù)學(xué)推理能力的形成和提高需要一個(gè)長期的、循序漸進(jìn)的過程。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，是發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)，也是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新能力的必要條件。同時(shí)，推理又在很大程度上推動(dòng)著學(xué)生運(yùn)算能力和空間想象能力的發(fā)展，推動(dòng)著學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成。

一、以“猜想驗(yàn)證”為載體，發(fā)掘相同屬性，促進(jìn)類比推理能力的提升

類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，簡稱類推。類比推理的前提是需要兩個(gè)或兩類對象有部分屬性相同，此為類推的基礎(chǔ)。學(xué)生進(jìn)行類推的過程需要有一定的載體，這個(gè)載體就是“先猜想后驗(yàn)證”的學(xué)習(xí)過程。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：“真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維作出各種猜想，然后加以證實(shí)?！薄跋炔孪牒篁?yàn)證”是科學(xué)探究的一般規(guī)律，學(xué)生在猜想“可能是什么”之后，運(yùn)用各種方法進(jìn)行求證判斷“為什么”，從而得出結(jié)論，這個(gè)過程就是推理過程。

在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級下冊第五單元“四邊形的內(nèi)角和”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)有了“三角形的內(nèi)角和是180度”的基礎(chǔ)，因此教師可以借助“猜想驗(yàn)證”的方式，組織學(xué)生進(jìn)行類比推理，猜想四邊形的內(nèi)角和。在教學(xué)中，要發(fā)掘三角形內(nèi)角和與四邊形內(nèi)角和的相同的屬性，為學(xué)生的類比推理提供兩方面的基礎(chǔ)：一是知識內(nèi)容的類推基礎(chǔ)。學(xué)生已經(jīng)具備了“三角形的內(nèi)角和”的知識基礎(chǔ)，而“四邊形的內(nèi)角和”與“三角形的內(nèi)角和”之間存在著聯(lián)系，都屬于多邊形的內(nèi)角和，內(nèi)角和和邊數(shù)之間存在著聯(lián)系，有部分屬性是相同的，為類比推理提供了條件。二是方式方法的類推基礎(chǔ)。學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和時(shí)，學(xué)會(huì)了應(yīng)用量一量、算一算、剪一剪、拼一拼等操作方法來驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和，這為研究四邊形的內(nèi)角和類比推理提供了方法支持。

在此基礎(chǔ)上，還要為學(xué)生提供猜想的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生猜想“四邊形的內(nèi)角和可能是多少”，然后組織學(xué)生開展“猜想—驗(yàn)證—總結(jié)”的探究活動(dòng)。學(xué)生從特殊的四邊形（長方形和正方形）入手，了解了這些特殊的四邊形有四個(gè)直角，內(nèi)角和就是360°，從而猜測其它的四邊形的內(nèi)角和可能是360°。這樣，學(xué)生自然而然地就能夠?qū)⑷切蝺?nèi)角和的驗(yàn)證方法進(jìn)行遷移，進(jìn)而開展四邊形內(nèi)角和是否為360°的驗(yàn)證活動(dòng)。然后，學(xué)生對不同的四邊形展開探究，通過與三角形內(nèi)角和驗(yàn)證活動(dòng)相似的“剪一剪”“拼一拼”“量一量”等操作活動(dòng)，開展類比推理活動(dòng)，驗(yàn)證無論是哪種四邊形，內(nèi)角和均為360度的結(jié)論。這讓學(xué)生親歷了知識的形成過程，有效地發(fā)展了學(xué)生的類比推理能力。

二、以“巧妙轉(zhuǎn)化”為橋梁，溝通知識聯(lián)系，促進(jìn)演繹推理能力的發(fā)展

演繹推理是獲得新的數(shù)學(xué)結(jié)論的思維形式與方法，其實(shí)質(zhì)是以一般性的公理、原理、定律和相關(guān)事實(shí)為前提，遵循一定的邏輯規(guī)則，得出個(gè)別或特殊結(jié)論的思維形式。進(jìn)行正確的演繹推理，關(guān)鍵在于要有理有據(jù)。在小學(xué)階段，培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，需要讓學(xué)生能收集、選擇、處理數(shù)學(xué)信息，并尋找分析出信息之間的關(guān)系，找到推理的有力依據(jù)。轉(zhuǎn)化是尋找依據(jù)的重要手段，它是數(shù)學(xué)中最常用的思想，其精髓在于將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過演繹轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中到處都滲透著轉(zhuǎn)化的思想。

在驗(yàn)證四邊形的內(nèi)角和是360°時(shí)，缺少轉(zhuǎn)化的過程，是無法推理出結(jié)論的。特殊的四邊形，即長方形和正方形的內(nèi)角和可以通過計(jì)算直接證明出結(jié)論。但是，一般的四邊形卻無法直接推理出來，這時(shí)就需要溝通“三角形內(nèi)角和”與“四邊形內(nèi)角和”之間的聯(lián)系，形成如圖1的思維過程。

如圖1所示，在一般四邊形的內(nèi)角和的驗(yàn)證過程中，需要利用轉(zhuǎn)化，搭建起“三角形內(nèi)角和”與“四邊形內(nèi)角和”之間的橋梁。應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生作輔助線，將四邊形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的三角形。因?yàn)橐粋€(gè)四邊形可以分割成兩個(gè)三角形，兩個(gè)三角形的內(nèi)角和之和正好等于四邊形的內(nèi)角和，一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180度，所以四邊形的內(nèi)角和是180度加上180度等于360度。借助“轉(zhuǎn)化”這個(gè)橋梁，學(xué)生能輕松地驗(yàn)證四邊形的內(nèi)角和是360度這一結(jié)論。這樣，在更好地理解“四邊形的內(nèi)角和是360度”這個(gè)知識點(diǎn)的同時(shí)，學(xué)生的思維經(jīng)歷了演繹推理的過程，推理能力也得到了發(fā)展。

三、以“探求規(guī)律”為抓手，深入問題本質(zhì)，促進(jìn)歸納推理能力的提高

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象、從特殊到一般的循序漸進(jìn)的過程，前面學(xué)習(xí)的知識往往是后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。而歸納推理是一種由個(gè)別到一般的推理，是從認(rèn)識研究個(gè)別事物到總結(jié)、概括一般性規(guī)律的推斷過程。引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行拓展和總結(jié)，也是一個(gè)提升歸納推理能力的過程。培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力，可以深入問題本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷探求規(guī)律的過程，以實(shí)現(xiàn)其思維從特殊到一般的飛躍。

在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級下冊第五單元“四邊形的內(nèi)角和”一課時(shí)，我根據(jù)多邊形內(nèi)角和的本質(zhì)內(nèi)涵，設(shè)計(jì)了一個(gè)拓展練習(xí)，讓學(xué)生在已經(jīng)認(rèn)識的三角形內(nèi)角和與四邊形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上，開展拓展研究。設(shè)計(jì)了表格，將學(xué)生研究的三角形、四邊形的內(nèi)角和延伸到了五邊形、六邊形……等多邊形的內(nèi)角和（如表1）。

最終，學(xué)生完成表格時(shí)采用了兩種方法。第一種方法如表2所示：

運(yùn)用這種方法，學(xué)生思考要經(jīng)歷四個(gè)步驟：第一步，通過畫一畫，發(fā)現(xiàn)每個(gè)多邊形都可以分割轉(zhuǎn)化為若干個(gè)三角形;第二步，這些三角形的內(nèi)角和之和正好等于多邊形的內(nèi)角和;第三步，通過觀察，發(fā)現(xiàn)分割的三角形的個(gè)數(shù)與多邊形的邊數(shù)之間存在聯(lián)系，即三角形的個(gè)數(shù)=多邊形的邊數(shù)-2;第四步，推理出多邊形的內(nèi)角和公式：多邊形的內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)-2）。第二種方法如表3所示：

運(yùn)用第二種方法，學(xué)生的思考也要經(jīng)歷四個(gè)步驟：第一，通過畫一畫，發(fā)現(xiàn)每個(gè)多邊形都可以分割轉(zhuǎn)化為若干個(gè)三角形;第二，這些三角形的內(nèi)角和之和，比多邊形的內(nèi)角和多出一個(gè)周角;第三，通過觀察，發(fā)現(xiàn)分割的三角形的個(gè)數(shù)與多邊形的邊數(shù)之間存在聯(lián)系，即三角形的個(gè)數(shù)等于多邊形的邊數(shù);第四，推理出多邊形的內(nèi)角和公式：多邊形的內(nèi)角和=180°×邊數(shù)-360°。

無論學(xué)生用以上哪種方法去思考，每種方法的四個(gè)步驟實(shí)際就是歸納推理的過程，從特殊多邊形的內(nèi)角和中找出規(guī)律，從而歸納出求多邊形內(nèi)角和的公式，實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的推理過程，既能訓(xùn)練產(chǎn)生的思維，又能培養(yǎng)他們的歸納推理能力。

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）