郭德俊 王悅 唐旭偉 崔惠娟

摘要：基于信息熵理論，計(jì)算了大通水文站的流量歷時(shí)曲線。利用兩個(gè)簡(jiǎn)單約束方程對(duì)流量歷時(shí)曲線進(jìn)行建模，運(yùn)用概率總和與平均流量以及約束方程推導(dǎo)最大熵獲得曲線參數(shù)，最終確定了流量歷時(shí)曲線。通過(guò)對(duì)大通控制站觀測(cè)到的流量數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)基于信息熵理論得到的流量歷時(shí)曲線與觀測(cè)到的曲線一致。自2003年三峽工程建設(shè)投運(yùn)以來(lái)，大通水文站觀測(cè)到的均值流量和最大流量趨勢(shì)發(fā)生了變化，卻未發(fā)現(xiàn)均值與最大值的比值存在顯著差異。在此期間，其表征分布形態(tài)的熵參數(shù)也并未發(fā)生顯著變化。

關(guān)鍵詞：流量歷時(shí)曲線;信息熵;熵參數(shù);大通水文站

中圖法分類(lèi)號(hào)：P337

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.15974/j .cnki.slsdkb.2019.08.001

1 研究背景

大通水文站位于安徽省池州市梅隴，為長(zhǎng)江下游的控制水文站，距長(zhǎng)江口約700 km，控制面積約170萬(wàn)km2。該站于1922年10月設(shè)立，1949年10月1日后由長(zhǎng)江水利委員會(huì)管轄，觀測(cè)資料包括水位、流量、泥沙、雨量等。

流量歷時(shí)曲線代表水文控制站不同頻率對(duì)應(yīng)的流量由低到高排列，一般在某一時(shí)間尺度用0-100%的數(shù)值刻畫(huà)。流量歷時(shí)曲線可看作某一站點(diǎn)某一時(shí)段的流量累積頻率曲線，而非時(shí)間序列。由于流量歷時(shí)曲線是通過(guò)觀測(cè)范圍內(nèi)所有觀測(cè)到的流量判定的，考慮到流域的綜合水文條件，可用來(lái)比對(duì)不同河流的情況，經(jīng)常用來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)供水流量的分布[1]、水力發(fā)電量[2]、沉積物負(fù)荷[3]及污染指數(shù)[4]。

一般來(lái)說(shuō)，可通過(guò)每日平均流量構(gòu)建流量歷時(shí)曲線，也可根據(jù)需要建立周、月和季步長(zhǎng)上的流量歷時(shí)曲線，但隨著時(shí)間間隔增加，流量變化的細(xì)節(jié)變得模糊。對(duì)于多數(shù)河流，月流量的歷時(shí)曲線并不能充分反映流量的變化情況，而基于年平均流量建立的流量歷時(shí)曲線由于其變化范圍較小，幾乎沒(méi)有價(jià)值。H.A. Foster[5]研究表明，基于日流量確定的流量歷時(shí)曲線與基于月流量確定曲線的差異可能高達(dá)35%。對(duì)于不同的河道，時(shí)間間隔變化的影響也不盡相同。對(duì)于一些日流量幾乎均勻的河道，周流量的歷時(shí)曲線可能與日流量的歷時(shí)曲線幾乎相同。而對(duì)于突然發(fā)生洪水的河道，其日流量和周流量的歷時(shí)曲線將存在較大差異。通常根據(jù)經(jīng)驗(yàn)分布構(gòu)建流量歷時(shí)曲線。本文采用2014年V.P.Singh等[6]研發(fā)的信息熵模型，結(jié)合最大熵理論，確定大通水文站流量歷時(shí)曲線，并與其觀測(cè)值進(jìn)行比較驗(yàn)證。

2 研究方法

為利用信息熵理論計(jì)算流量歷時(shí)曲線，需假設(shè)大通站觀測(cè)到的日流量Q為獨(dú)立隨機(jī)變量，服從未知概率分布f（Q）。

V.P.Singh等[6]基于信息熵理論的流量歷時(shí)曲線計(jì)算步驟包括：①定義信息熵;②確定流量約束條件;③利用拉格朗日方程求最大熵并獲得流量概率分布;④計(jì)算拉格朗日參數(shù)并求得流量歷時(shí)曲線。

2.1 定義流量的Shannon熵

考慮觀測(cè)到的流量Q服從未知分布f（Q），利用Shannon熵[7]，流量的信息熵H（Q）可定義為式中，Qmax和Qmax分別為上下限，表征最大及最小流量。H表征流量概率分布f（Q）所包含的不確定性，代表樣本Q所包含信息量的期望。通過(guò)式（1），根據(jù)最大熵理論求得最不偏的概率分布f（Q）。最大熵理論由E.T.Jaynes[8]的研究成果發(fā)展而來(lái)，只需明確流量約束條件即可求得。根據(jù)最大熵理論可知，對(duì)僅知部分信息的變量或關(guān)系，對(duì)其最不偏的判斷滿足熵最大的情況。

2.2 約束條件

首先，作為Q的概率分布f（Q）必須滿足其總和等于1的條件：

能量守恒定律也能作為約束條件，然而D.E.Barbe等[9]的研究表明，對(duì)于河道流速的分布，利用信息熵理論時(shí)僅需上述兩個(gè)約束條件就已足夠。為不增加計(jì)算的復(fù)雜性，該研究中僅采用上述兩個(gè)約束條件進(jìn)行計(jì)算。

2.3最 大化

利用拉格朗日算子，可以將式（1）所定義的信息熵最大化，并求得熵最大時(shí)的概率分布：

2.4 流量歷時(shí)曲線

流量歷時(shí)曲線代表了流量和不小于該流量時(shí)長(zhǎng)之間的關(guān)系，因此可假設(shè)觀測(cè)到的時(shí)均流量為在其最大值Qmax與最小值Qmin之間的概率分布。這符合實(shí)際情況和Laplacian不充分原則。為此，流量的累積概率F（Q）可表示為

F（Q）=1-t/T=1-τ，τ=t/T

（6）式中，t為流量不小于Q的時(shí)長(zhǎng)（天數(shù)），T為考慮的總時(shí)長(zhǎng)（365 d）。值得注意的是，F(xiàn)（Q）為關(guān)于流量Q的函數(shù)，t/T是關(guān)于τ的函數(shù)。上述線性累積分布假設(shè)是對(duì)流量Q與時(shí)長(zhǎng)百分比τ的線性假設(shè)，相似的假設(shè)已應(yīng)用于不少研究[10-12]。相應(yīng)地，也可假設(shè)流量與時(shí)長(zhǎng)百分比間具有非線性關(guān)系。為簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，本文采用上述線性假設(shè)關(guān)系。

參照文獻(xiàn)[6]，對(duì)通過(guò)最大化信息熵獲得的概率分布，在Qmax和Qmax之間進(jìn)行積分，即可得到流量歷時(shí)曲線：

3 計(jì)算結(jié)果

3.1 大通站日流量

采用大通水文控制站1951-2013年日均流量進(jìn)行計(jì)算，以2003年三峽工程建成投運(yùn)為界，分為2003年前后兩個(gè)序列。表1總結(jié)了2003年前后大通站年均流量、年最大流量、年最小流量的歷史平均值（Qmax，Qmax，Qmax）及其觀測(cè)到的歷史最大流量Qpeak。由表1可以看出，三峽工程建設(shè)投運(yùn)以來(lái)，年均流量變化幅度不顯著，年最大流量減少，年最小流量增加，其流量變化范圍減小，然而該變化并不顯著。

為更準(zhǔn)確地表明2003年前后的流量變化，圖1顯示了2003年前后兩組觀測(cè)流量的概率分布。由圖1可以看出，2003年之后的流量概率分布相比2003年前更為集中，流量在12 000-20 000m3/s之間的情況明顯增加，無(wú)流量小于9 000m3/s或大于65 000 m3/S的觀測(cè)值。對(duì)2003年前后的概率進(jìn)行配線并對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩組序列所配的概率分布存在明顯差異，通過(guò)t檢驗(yàn)得知2003年前后的流量不服從同一分布。

3.2 熵參數(shù)變化

如式（8）所示，該研究方法中唯一的參數(shù)熵M取決于均值與最大值的比值。圖2展示了大通站日均流量與最大日流量隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，由圖可知，2003年三峽工程建成投運(yùn)對(duì)其最大流量帶來(lái)了較顯著影響，2003年為最大流量的顯著拐點(diǎn)。2003年前，最大流量呈現(xiàn)增加趨勢(shì);而2003年后，不僅最大流量值明顯小于歷時(shí)平均，且具有下降趨勢(shì)。相反地，大通站觀測(cè)的日均流量2003年前后并未發(fā)生顯著差異，其趨勢(shì)也不明顯。結(jié)合Mann-Kendall趨勢(shì)檢驗(yàn)方法來(lái)檢驗(yàn)其變化趨勢(shì)，結(jié)果如表2所示。只有2003年前的最大流量和最小流量的變化具有顯著趨勢(shì)（p<0.05），且2003年后這些變化也不再顯著，與圖2所展示的結(jié)果一致。

本研究分析了日均流量與最大流量的比值是否受三峽工程的影響。圖3展示了2003年前后日均流量與最大流量的比值范圍，圖中藍(lán)點(diǎn)展示2003年前后的均值與最大流量的比值，其范圍在0.28-0.57之間，而2003年后其比值范圍僅在0.32-0.43之間。利用式（8），求得各個(gè)時(shí)段對(duì)應(yīng)的熵參數(shù)M值。相應(yīng)地，2003年前絕大多數(shù)M值分布在2.1-3.2之間，1955年出現(xiàn)最大值3.55。2003年后M值范圍縮小為2.3-3.2之間，這是由于三峽水庫(kù)運(yùn)行后流量范圍明顯減小。然而通過(guò)配線擬合發(fā)現(xiàn)，2003年前后所有點(diǎn)幾乎都落到同一條曲線上，雖然參數(shù)略有差異，但差異并不顯著。上述分析說(shuō)明，雖然2003年三峽水庫(kù)運(yùn)行導(dǎo)致大通站的流量發(fā)生了變化，然而從信息熵的角度來(lái)講，兩組數(shù)據(jù)所包含的信息量并不存在顯著差異，數(shù)據(jù)分布形態(tài)并無(wú)顯著區(qū)別。

3.3 流量歷時(shí)曲線

通過(guò)計(jì)算所得的熵參數(shù)M值，可根據(jù)式（7）確定大通站每年的流量歷時(shí)曲線。圖4展示了1960年的流量歷時(shí)曲線，圖中圓點(diǎn)代表觀測(cè)值由大到小排序計(jì)算的流量歷時(shí)曲線，紅線代表利用信息熵理論算得的曲線。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩者十分接近，進(jìn)一步說(shuō)明由信息熵理論算得的流量歷時(shí)曲線符合觀測(cè)結(jié)果。

為比較三峽工程對(duì)流量歷時(shí)曲線的影響，圖5中將2003年前的流量歷時(shí)曲線用灰色范圍表示，用不同的顏色線代表2003年后的大通站的流量歷時(shí)曲線。圖5結(jié)果表明，雖然三峽工程運(yùn)行導(dǎo)致其流量發(fā)生了顯著變化，尤其是最大流量明顯減小，但其流量歷時(shí)曲線并沒(méi)有超出歷史范圍，這一結(jié)論也與熵參數(shù)M沒(méi)有發(fā)生顯著變化一致。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于信息熵理論，確定了大通水文控制站的流量歷時(shí)曲線。假設(shè)觀測(cè)得到的流量為隨機(jī)變量，利用概率總和與均值定理作為約束條件，對(duì)流量歷時(shí)曲線進(jìn)行建模。基于最大熵理論推導(dǎo)流量歷時(shí)曲線過(guò)程中，采用線性累積分布假設(shè)，最終確定流量歷時(shí)曲線。利用信息熵確定的流量歷時(shí)曲線，由于無(wú)需提前確定流量具體服從何種分布，不需要擬合，簡(jiǎn)化了計(jì)算難度，僅需基于觀測(cè)確定參數(shù)。本研究通過(guò)對(duì)大通控制站觀測(cè)到的流量數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)基于信息熵理論得到的流量歷時(shí)曲線與觀測(cè)數(shù)據(jù)曲線一致。2003年三峽工程建成投運(yùn)以來(lái)，大通水文站觀測(cè)到的均值流量和最大流量的趨勢(shì)發(fā)生了變化，然而均值對(duì)最大值的比值卻未發(fā)現(xiàn)顯著差異，其表征分布形態(tài)的熵參數(shù)在三峽工程建成投運(yùn)前后也并未發(fā)生顯著變化，因?yàn)槿龒{工程建成投運(yùn)并未對(duì)大通水文站的流量歷時(shí)曲線帶來(lái)顯著影響。

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