孫杰

摘?要：研究雙線性Hardy算子與加權(quán)BMO函數(shù)生成的交換子的有界性，并給出證明.

關(guān)鍵詞：Hardy算子;BMO空間;權(quán)

[中圖分類號]O174.2???[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]J

Weighted Estimates for Commutators generalized by HardyOperators and BMO Functions

SUN Jie

（Department of Mathematics，Mudanjiang Normal School，Mudanjiang 157012，China）

Abstract：In this paper， we discuss the boundedness of commutators generated by bilinear Hardy operator and weighted BMO functions， and give the proofs.

Key words：hardy operator;BMO space;weight

1976年，F(xiàn)aris[1]介紹了n維Hardy算子，并證明了Hardy算子是Lp（瘙 綆

n）有界的.1975年，Coifman和Meyer[2]研究了雙線性算子.本文將研究類似于n維Hardy算子的m -線性平均算子.假設(shè)1≤i≤m，yi=（y1i，y2i，…，yni）為瘙 綆

n中的元素，m∈瘙 綃

，f1，…，fm為定義在瘙 綆

n上的非負(fù)局部可積函數(shù)，f→=（f1，…，fm），m -線性Hardy算子定義為

H（f→）（x）=1Ωm n|x|m n∫{|（y1，…，ym）|<|x|}f1（y1）…fm（ym）dy1…dym，x∈瘙 綆

n＼{0}.

2-線性算子被稱為雙線性算子. m -線性Hardy算子交換子定義如下：Hb→（f→）（x）=∑mi=1Hibi（f→）（x），其中，Hibi（f→）（x）=bi（x）H（f→）（x）-H（f1，…，fi-1，fibi，fi+1，…，fm）（x）.2012年，Gao[5]證明了Hardy算子與加權(quán)BMO函數(shù)生成的交換子的加權(quán)有界性，更多結(jié)論可參見文獻(xiàn)[3-6].本文主要研究雙線性Hardy算子與加權(quán)CBMO函數(shù)生成的交換子的有界性.

1?預(yù)備知識及引理

記Bk=x∈瘙 綆

n：|x|≤2k，Ck=Bk＼Bk-1，χk（k∈瘙 綄

）表示Ck上的特征函數(shù).

定義1?設(shè)α∈瘙 綆

，0

n＼{0}，w2），fkqα，p（w1，w2）<∞.

其中，fkα，pq（w1，w2）=∑∞k=-∞wαp/n1（Bk）fχkpLq（w2）1/p.當(dāng)w1=w2=1時(shí)，Kα，pq（瘙 綆

n）=Kα，pq（w1，w2），當(dāng)α=0，p=q時(shí)，Kα，pq（w1，w2）=Lp（w2）.

定義2[4]?設(shè)1≤p≤∞，w∈A∞，CBMOpw，定義為由所有滿足

fCBMOpw=supr>01w（B（0，r））∫B（0，r）f（x）-fB（0，r）pw（x）1-pdx1/p≤C<∞

的局部可積函數(shù)全體構(gòu)成的空間.當(dāng)p=1時(shí)，CBMO1w=CBMOw，1≤p，q≤∞，fCBMOpw～fCBMOqw.

引理1[4]?設(shè)w∈A1，b∈CBMOw，對于j>k存在C>0，使得bBj-bBk≤C（j-k）w（Bk）|Bk|bCBMOw.

引理2[7]?設(shè)w∈A1，0<δ<1，若k>j，有w（Bk）w（Bj）≤C2n（k-j），若k≤j，有w（Bk）w（Bj）≤C2n δ（k-j）.

2?主要結(jié)果及證明

定理1?假設(shè)H為雙線性Hardy算子.若w∈A1，b1，b2∈CBMOw.設(shè)1

定理2?假設(shè)H為雙線性Hardy算子.若w∈A1，b1，b2∈CBMOw.設(shè)0<δ<1，0

定理2中的δ是引理2中定義的δ，定理1和定理2結(jié)論對Hjbj（f1，f2），j=1，2成立.

定理2的證明?首先考慮

H1b1（f1，f2）χkqLq（w1-q）≤2-2knq∫Ck∫|（y1，y2）|<|x|f1（y1）f2（y2）b1（x）-（b1）Bkdy1dy2qw（x）1-qdx+C2-2knq∫Ck∫|（y1，y2）|<|x|f1（y1）f2（y2）b1（y1）-（b1）Bkdy1dy2qw（x）1-qdx=∶Ⅰ+Ⅱ.

由于1/q=1/q1+1/q2，且w∈A1，w∈Aq1，w∈Aq2.由1/q1+1/q′1=1，1/q2+1/q′2=1，應(yīng)用Holder不等式及定義2，有

Ⅰ≤2-2knq∫Ck∫Bk∫Bkf1（y1）f2（y2）b1（y1）-（b1）Bkdy1dy2qw（x）1-qdx

≤Cb1qCBMOw∑ki=-∞f1χiLq1（w）2（1-1/q1）n（i-k）×∑ki=-∞f2χjLq2（w）2（1-1/q2）n（i-k）q.

估計(jì) Ⅱ：

Ⅱ≤C2-2knqBkqw（Bk）1-q∑ki=-∞∫Cif1（y1）b1（y1）-（b1）Bidy1∑kj=1∫Cjf2（y2）dy2q+

C2-2knqBkqw（Bk）1-q∑ki=-∞∫Cif1（y1）（b1）Bk-（b1）Bidy1∑kj=1∫Cjf2（y2）dy2q=∶Ⅱ1+Ⅱ2.

類似于Ⅰ的估計(jì)，由引理2，有

Ⅱ1≤C2-2knqBkqw（Bk）1-q∑ki=-∞f1χiLq1（w）∫Cib1（y1）-（b1）Biq′1w（y1）-q′1/q1dy11/q′1×

∑kj=1∫Cif2（y2）q2w（y2）（dy21/q2∫Ciw（y2）-q′2/q2dy1/q′2q

≤Cb1qCBMOw∑ki=-∞2（i-k）n δ（1-1/q+1/q2）f1χiLq1（w）×∑kj=∞2（j-k）n（1-1/q2）f2χjLq2（w）q.

估計(jì)Ⅱ2.由引理1及引理2，有

Ⅱ2≤CBk-qw（Bk）1-q∑ki=-∞∫Cif1（y1）（k-i）bCBMOww（Bi）Bidy1×∑kj=-∞∫Cif2（y2）dy2q

≤CbqCBMOw∑ki=-∞（k-i）2（i-k）n δ（1-1/q1）f1χiLq1（w）q∑kj=-∞2（j-k）n δ（1-1/q2）f2χjLq2（w）q.

由定義2，有

H1b1（f1，f2）Kqα，p（w1-q）=∑∞k=-∞w（Bk）αp/nH1b1（f1，f2）χkpLq（w1-q）1/p1

≤C ∑∞k=-∞w（Bk）αpn∑ki=-∞f1χiLq1（w）2（1-1/q1）n（i-k）p×∑kj=-∞f2χjLq1（w）2（1-1/q2）n（i-k）p1/p+

C ∑∞k=-∞w（Bk）αpn∑ki=-∞2（i-k）n δ（1-1/q+1/q2）f1χiLq1（w）p×∑kj=-∞2（j-k）n（1-1/q2）f2χjLq1（w）p1/p+

C ∑∞k=-∞w（Bk）αpn∑ki=-∞（k-i）2（i-k）n δ（1-1/q1）f1χiLq1（w）p×∑kj=-∞2（j-k）n δ（1-1/q2）f2χjLq2（w）p1/p

=∶U+V+W.

由于α=α1+α2，1/p=1/p1+1/p2，應(yīng)用Holder不等式，有

U≤C ∑∞k=-∞∑ki=-∞f1χiLq1（w）w（Bk）α1/n2（1-1/q1）n（i-k）p11/p1×

∑∞k=-∞∑kj=-∞f2χjLq2（w）w（Bk）α2/n2（1-1/q2）n（j-k）p21/p2=U1×U2.

首先估計(jì)U1≤Cf1Kα，p1q1（w，w）.

對于0

U1≤C ∑∞k=-∞∑ki=-∞w（Bi）α1/nf1χiLq1（w）2（n-n/q1-α1）（i-k）p11/p1

≤C ∑∞k=-∞∑ki=-∞w（Bi）α1p1/nf1χip1Lq1（w）2（n-n/q1-α1）（i-k）p11/p1≤Cf1Kα1，p1q1（w，w）.

對于1

Up11≤C∑∞k=-∞∑ki=-∞w（Bi）α1/nf1χiLq1（w）2（n-n/q1-α1）（i-k）p1·∑ki=-∞2（n-n/q1-α1）（i-k）p′1/2p1/p′1

≤Cf1p1Kα1，p1q1（w，w）.

類似地，有Up22≤Cf2p2Kα2，p2q2（w，w），所以U≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.

上述結(jié)論對V，W也成立.因此，H1b1（f1，f2）Kα，p1q1（w1-q）≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.

同理，H2b2（f1，f2）Kα，p1q1（w1-q）≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.

綜上，Hb→（f1，f2）Kα，p1q1（w1-q）≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.

由于K0，pp（w，w）=Lp（w），定理1的證明只需證明定理2.

3?結(jié)論

本文給出了雙線性Hardy算子與加權(quán)CBMO函數(shù)生成的交換子在加權(quán)Lebesgue空間及加權(quán)Herz型空間的有界性.推廣了已有的一些結(jié)論，為后續(xù)研究提供了基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

[1]Faris W. Weak Lebesgue spaces and quantum mechanical binding[J].Duke Math.J.，1976，43：365-373.

[2]Coifman R. R. Meyer Y. On commutators of singular integrals and bilinear singular intergrals[J]. Trans. Amer. Math. Soc.，1975，212： 315-331.

[3]Boza S. Soria J. Norms estimates for the Hardy operator in terms of Bp weights[J]. Proc. Amer.Math. Soc.，2017，6（145）： 2455-2465.

[4]Gao G. L. Hausdorff operator and its related research[D]. Hang Zhou：Zhejiang University， 2012.

[5]季丹丹，Musielak-Orlicz-Sobolev空間中的復(fù)凸性[J]. 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2018（3）：7-10.

[6]張菁，Hahn-Banach定理的幾個(gè)應(yīng)用[J]. 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016（2）：15-16.

[7]Garcia-Cuerva J. Weighted Hp spaces[M]. Diss. Math.，1979：1-63.

編輯：琳莉