孫四周

摘要：所有概念都處于一個(gè)系統(tǒng)之中，完全孤立的概念是沒(méi)有生命力的，或者說(shuō)“是無(wú)法存在的”。任何一個(gè)概念，必存有上位概念、下位概念或平行概念中的一種或全部。概念教學(xué)應(yīng)該始于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，遵循歸納的路徑，但并不意味著只能從下位概念開(kāi)始。讓上位概念和平行概念充當(dāng)先行組織者，實(shí)現(xiàn)對(duì)新概念的同化，倒是值得優(yōu)先考慮的方法。

關(guān)鍵詞：概念概念層級(jí)概念教學(xué)

一、為什么要談概念

先看兩個(gè)問(wèn)題。請(qǐng)先試著自己回答，然后再往下看解析。

題1螺母受熱均勻膨脹后，內(nèi)孔直徑是擴(kuò)大還是縮??？

題2lg x2=2lg x是不是恒等式？

第一個(gè)問(wèn)題，首先要弄明白“均勻膨脹”的概念，否則便無(wú)法進(jìn)入邏輯思考?！熬鶆蚺蛎洝笨梢岳斫鉃椋何矬w上任意兩點(diǎn)之間的距離增大相同的倍數(shù)。如此一來(lái)，內(nèi)孔直徑也“增大相同的倍數(shù)”，即擴(kuò)大。

第二個(gè)問(wèn)題中，什么叫“恒等式”？就是“在兩端都有意義時(shí)，等號(hào)一定成立的式子”，也就是說(shuō)，此題并不要求對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，也不要求兩端各自的定義域相同，只要兩端的定義域交集非空即可。因而是恒等式。

由此我們可以看到，做出判斷的唯一依據(jù)是概念，概念清晰了，推理也就清晰了。一個(gè)命題如此，一門學(xué)科也是如此。即使是一個(gè)非常龐大的理論體系，它的根本立足點(diǎn)還是概念。只要核心概念建立起來(lái)了，那個(gè)理論就算沒(méi)有完成，也至少是接近于完成。有人做過(guò)這樣的設(shè)想，假如把馬克思的《資本論》全部燒掉，僅僅留下“剩余價(jià)值”四個(gè)字，就可以把它重新寫出來(lái);如果把伽利略的物理書(shū)全部燒掉，僅僅留下“運(yùn)動(dòng)”二字，也可以重新寫出來(lái)。同理，牛頓體系只要一個(gè)“力”，愛(ài)因斯坦理論只要一個(gè)“相對(duì)”，量子力學(xué)只要一個(gè)“量子”，麥克斯韋電磁理論只要一個(gè)“場(chǎng)”，微積分只需要一個(gè)“極限”……

美國(guó)科學(xué)哲學(xué)權(quán)威庫(kù)恩說(shuō)：“如果因?yàn)橐粋€(gè)突然的災(zāi)難，人類喪失了所有的知識(shí)，那么，只要留下一個(gè)概念，人類遲早還會(huì)把這些知識(shí)重新寫出來(lái)，這個(gè)概念就是原子?！币馑际钦f(shuō)，只要人類還有“原子”這個(gè)概念，那么此后的科學(xué)發(fā)展就能沿著曾經(jīng)走過(guò)的路再走一遍。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚主張?jiān)趯W(xué)習(xí)中遇到困難的時(shí)候，要“退，足夠地退，退到最基本而不失去重要性的地方”。這樣的“地方”，其實(shí)就是概念。

這就是概念的作用，概念不僅僅是知識(shí)的固化，還蘊(yùn)含著知識(shí)與能力，凝聚著過(guò)程與方法，體現(xiàn)著情感態(tài)度與價(jià)值觀。羅增儒教授在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）》2016年第3期和第4期上連載了長(zhǎng)文《數(shù)學(xué)概念的理解和教學(xué)》，說(shuō)明了他對(duì)概念教學(xué)的高度重視。此文也載入了我所見(jiàn)到的關(guān)于概念的最新的、比較有價(jià)值的材料。

二、概念的來(lái)源

（一）什么是概念

按照習(xí)以為常的說(shuō)法，概念“是對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)”。但也有一種觀點(diǎn)，認(rèn)為概念只是一種“心理表征”——愛(ài)因斯坦就是這樣認(rèn)為的。概念并不一定反映“本質(zhì)屬性”，有的概念只是一種約定。有的概念表征的是本質(zhì)，更多的則不是。

但不論哪種觀點(diǎn)，都認(rèn)為概念是“思維的單元”，這個(gè)單元不論大小皆具有整體性，回想和應(yīng)用時(shí)它都是整體呈現(xiàn)的，不耗費(fèi)時(shí)間和精力，就像我們一眼就認(rèn)出大象一樣。而且，認(rèn)出大象并不比認(rèn)出小狗耗費(fèi)更多時(shí)間，因?yàn)閮烧叨疾缓臅r(shí)。

古希臘哲學(xué)家認(rèn)為形而上的知識(shí)是不變的，形而下的知識(shí)是可變的。老子也說(shuō)：“天不變，道亦不變。”現(xiàn)在看來(lái)，他們?nèi)疾粚?duì)，所有的概念包括“宇宙”的概念都是不斷發(fā)展的，宇宙之下更不應(yīng)該有不變的東西。古希臘的宇宙是“月下世界”，哥白尼的宇宙是太陽(yáng)系，愛(ài)因斯坦的宇宙限于銀河系，而現(xiàn)在我們知道，宇宙中有無(wú)數(shù)多個(gè)銀河系，可測(cè)的大約就有2000億個(gè)。

根據(jù)現(xiàn)象學(xué)的觀點(diǎn)，我對(duì)“本質(zhì)認(rèn)識(shí)”的說(shuō)法抱有懷疑的態(tài)度。因?yàn)椤氨举|(zhì)”是無(wú)從知道的，我們只知道“認(rèn)識(shí)”。小孩子頭腦中就有“爸爸”的概念，但他們肯定不知道爸爸的“本質(zhì)是什么”;原始人也有“太陽(yáng)”的概念（20000多年前的原始壁畫里出現(xiàn)了太陽(yáng)），但他們也肯定不知道太陽(yáng)的“本質(zhì)是什么”;而我們對(duì)電子的認(rèn)識(shí)是不是本質(zhì)，還要等待檢驗(yàn)，因?yàn)樗呀?jīng)變過(guò)多次了。所有的概念都是隨時(shí)可以發(fā)展、隨時(shí)可能被推翻的，就連陰陽(yáng)、以太、燃素那樣曾經(jīng)統(tǒng)治人們思想的“絕對(duì)核心”概念，都已經(jīng)被徹底拋棄了。我們現(xiàn)在的認(rèn)識(shí)有沒(méi)有真的反映“本質(zhì)”，實(shí)在很難說(shuō)。

教師很特殊。第一，從角色定位上看，他必須把知識(shí)看作是穩(wěn)定的，否則其所傳的“道”和所授的“業(yè)”便失去正當(dāng)性;第二，在工作中，教師還要把學(xué)生眼里的知識(shí)看作是發(fā)展的，處于動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程中。第三，如果剝離掉社會(huì)角色、撇開(kāi)工作，作為獨(dú)立的人怎樣看待人類知識(shí)，是需要繼承還是需要反思，就在于各人了，因此又具有更大的不確定性。

（二）概念的形成過(guò)程

概念形成于人的頭腦之中，源于外界信息的刺激;但是如果離開(kāi)了人腦的反映，一切的刺激都不具有意義。人腦對(duì)感知到的信息給予解釋，如果解釋是凝聚的、有獨(dú)立建構(gòu)傾向的，就會(huì)指向一個(gè)具體的外界物體或人類意識(shí)，就有可能形成一個(gè)表象。比如光線進(jìn)入人的眼睛，如果你把它解釋成“光明”，那就不是凝聚性的而是發(fā)散的，在這個(gè)解釋下你不能形成任何具體的認(rèn)識(shí);而如果你把它解釋成“光源”，就是向著剝離出獨(dú)立物體的方向邁進(jìn)了;很可能你不會(huì)就此停止，而是再做辨認(rèn)，也許經(jīng)過(guò)多次的反復(fù)，最后認(rèn)出了發(fā)光物體的輪廓，把它與鄰近的物體區(qū)分開(kāi)來(lái)。這就形成了表象。表象是模糊的、整體性的，人能感覺(jué)其存在，卻不能清晰地描述出來(lái)。這有點(diǎn)像中國(guó)畫中的寫意山水，飄忽不定。對(duì)表象進(jìn)一步解釋，即在內(nèi)部細(xì)節(jié)上確認(rèn)，在外部聯(lián)系上豐富，就形成了一個(gè)獨(dú)立的認(rèn)知單元，就像西洋畫中的寫生實(shí)物，清晰而穩(wěn)定。這就形成了概念。概念以其清晰，故而可以表述，也可用于論證。表象因其含混，難以為外人道，但它代表了想象的自由，在創(chuàng)造性上更有潛力。心理學(xué)上有一種“舌尖現(xiàn)象”，是說(shuō)某個(gè)東西只差一點(diǎn)點(diǎn)就能說(shuō)出來(lái)，卻又始終說(shuō)不出，指的就是表象的發(fā)展已經(jīng)到了概念的邊緣。

概念的演進(jìn)過(guò)程是：感知→表象→概念。而人為了在頭腦中建構(gòu)起一個(gè)概念，可能在感知和表象之間進(jìn)行多次的反復(fù)（如圖1），一旦某個(gè)概念建構(gòu)完成以后，它就穩(wěn)定了下來(lái)，并可用以組織其他概念。清晰起來(lái)的，不會(huì)再模糊;穩(wěn)定下來(lái)的，不會(huì)再含混。這就是認(rèn)識(shí)發(fā)展的棘輪效應(yīng)，即只向前進(jìn)不向后退的認(rèn)知規(guī)律（遺忘不是認(rèn)識(shí)的倒退，而是失去認(rèn)識(shí)）。

當(dāng)然，清晰性與穩(wěn)定性不是自動(dòng)形成的，它不是知識(shí)本身的屬性，而是人腦對(duì)知識(shí)的組織程度。如果不經(jīng)過(guò)自己主動(dòng)、積極的建構(gòu)，人就無(wú)法形成一個(gè)概念。比如，老師把一個(gè)概念的形成過(guò)程的每一步都告訴學(xué)生，學(xué)生也“知道”或記住了這個(gè)過(guò)程，這并不能讓學(xué)生在頭腦中形成概念，甚至連表象都不能形成。這樣的“告知教學(xué)”就沒(méi)有效果。就算學(xué)生聽(tīng)得非常認(rèn)真，每一個(gè)字都沒(méi)有遺漏，全都清清楚楚地記在筆記本上，也不能有任何收獲——所以，一定不要用“告知”的方法教概念，這應(yīng)該作為教師的職業(yè)倫理。

（三）如何定義概念

概念必須能夠被清晰地表達(dá)，學(xué)術(shù)上的行為就是“下定義”。即用已知概念說(shuō)明未知概念，前者叫作定義項(xiàng)，后者叫作被定義項(xiàng)。例如，“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)”，“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”是定義項(xiàng)，“實(shí)數(shù)”是被定義項(xiàng);“平行四邊形是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形”，“平行四邊形”是被定義項(xiàng)，“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形”是定義項(xiàng)。也許你會(huì)想：最原始的概念又是如何定義的呢？最原始的概念是不加定義的，其意義借助于其他術(shù)語(yǔ)和對(duì)它們各自的特征給予形象的描述。

下定義（或形成定義）的方法一般有下列幾種：

1.直覺(jué)定義法——最初的定義方法。

直覺(jué)定義法就是憑直覺(jué)產(chǎn)生概念，這些概念不能用其他概念來(lái)解釋，故稱為原始概念。如幾何中的點(diǎn)、直線、平面、集合、元素、對(duì)應(yīng)等。

2.“屬+種差”定義法——內(nèi)涵式定義方法。

“屬+種差”定義法，即：被定義的概念=最鄰近的屬概念+種差?！白钹徑膶俑拍睢?，就是包含被定義概念的最小的屬概念;“種差”，就是被定義概念在“屬”內(nèi)最鄰近的種概念里區(qū)別于其他概念的屬性。如“等腰梯形是兩腰相等的梯形”“直角梯形是有一個(gè)底角是直角的梯形”“等腰三角形是兩邊相等的三角形”等。這種定義方法揭示了概念的內(nèi)涵，既準(zhǔn)確又明了，有助于建立概念之間的聯(lián)系，使知識(shí)系統(tǒng)化，因此應(yīng)用較多。

3.發(fā)生式定義法——構(gòu)造性定義方法。

發(fā)生式定義法，是通過(guò)對(duì)被定義概念的發(fā)生過(guò)程或形成的特征的描述，來(lái)揭示被定義概念的屬性的定義方法。如“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于定值的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓（附加數(shù)值限制）”“矩形繞著它的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體叫圓柱”。

這種定義法也被有些人看作是“屬+種差”定義法的一種特殊形式。定義中的種差是描述被定義概念的發(fā)生過(guò)程或形成的特征，而不是揭示被定義概念的特有屬性。而羅增儒教授則認(rèn)為，“‘屬+種差’定義法是發(fā)生式定義法的特例”。

4.逆式定義法——外延式定義方法。

逆式定義法又叫歸納定義法。如“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”“正弦、余弦、正切和余切函數(shù)叫作三角函數(shù)”“橢圓、雙曲線和拋物線叫作圓錐曲線”“邏輯的和、非、積運(yùn)算叫作邏輯運(yùn)算”等。

5.約定式定義法。

指由于實(shí)踐需要或自身發(fā)展的需要而被指定的概念。比如，一些特定的數(shù)，圓周率π、自然對(duì)數(shù)的底e等;一些人為的約定，“0！=1”“零向量的方向是任意的”等。約定要符合兩個(gè)原則：一是有必要，二是無(wú)矛盾。0的0次方不能規(guī)定為任何數(shù)，只能說(shuō)它無(wú)意義?！盁o(wú)意義”也是一種規(guī)定，在這種規(guī)定下，“無(wú)意義”就是它的意義。對(duì)此我們?cè)缫咽煜?，比如?0°的正切”意義是非常明確的，那就是“無(wú)意義”。相應(yīng)的，復(fù)數(shù)0的輻角的意義就不是“無(wú)意義”而是“任意實(shí)數(shù)值”。

此外，還有刻畫性定義、過(guò)程性定義、公理法定義等。

既然是定義，就必須符合下列要求：第一，定義應(yīng)當(dāng)相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴(kuò)大也不能縮小，既不寬也不窄。如“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫作無(wú)理數(shù)”，以“無(wú)限小數(shù)”來(lái)定義無(wú)理數(shù)則外延過(guò)寬，以開(kāi)不盡方根的數(shù)來(lái)定義無(wú)理數(shù)則外延過(guò)窄，它們都是錯(cuò)誤的。第二，定義不能循環(huán)。即在同一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來(lái)定義B概念，同時(shí)又以B概念來(lái)定義A概念。如“90°的角叫作直角，直角的九十分之一叫作1°的角”，這就發(fā)生了循環(huán)。第三，定義應(yīng)清楚、簡(jiǎn)明，一般不用否定的形式，絕不能用未知的概念。比如，“筆直筆直的線叫作直線”是定義不清楚;“兩組對(duì)邊互相平行的平面四邊形叫平行四邊形”是定義不簡(jiǎn)明;“不是有理數(shù)的數(shù)叫作無(wú)理數(shù)”是否定形式;對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，“在復(fù)數(shù)a+bi中，虛部b=0的數(shù)叫作實(shí)數(shù)”則是應(yīng)用了未知概念。這些都是不妥的。用否定形式下定義，即使符合邏輯，也不符合人的心理習(xí)慣。我留意過(guò)這樣的現(xiàn)象：在老師問(wèn)“什么叫平面外直線”時(shí)，學(xué)生更愿意回答“是指直線與平面相交或者平行”，而不愿意回答“直線不在平面內(nèi)”，盡管后一個(gè)說(shuō)法是正確的而且更簡(jiǎn)潔。

以上是邏輯學(xué)中的要求，知道這一點(diǎn)，有利于教師塑造自己對(duì)概念的看法。在具體面對(duì)一個(gè)概念的時(shí)候，可以不去深究它是用哪種方式定義的，因?yàn)檫@基本不影響對(duì)概念本身的理解和掌握。

三、概念教學(xué)的現(xiàn)狀

張奠宙、羅增儒、章建躍、李善良等對(duì)目前概念教學(xué)的形勢(shì)都有分析，認(rèn)為一線教師對(duì)概念教學(xué)的態(tài)度大致存在以下一些不足：

其一，直接呈現(xiàn)結(jié)果，然后是記憶和辨析。張奠宙稱之為“掐頭去尾燒中斷”。

其二，盡快地告知學(xué)生定義，還從多個(gè)方面諄諄告誡。這就是李善良在多個(gè)場(chǎng)合質(zhì)疑過(guò)的“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”，羅增儒和章建躍的文章中對(duì)此也都有批評(píng)。

其三，學(xué)生自己看書(shū)記定義，然后相互背誦;或者老師提問(wèn)背誦，名曰“閱讀”或“自學(xué)”。

上述做法的出發(fā)點(diǎn)是“盡快進(jìn)入問(wèn)題解決的教學(xué)”，認(rèn)為解題的能力才是數(shù)學(xué)能力，因?yàn)椤皶?huì)解題”與“得高分”是等價(jià)的?！暗酶叻帧钡亩ㄎ皇艿搅藢W(xué)生、家長(zhǎng)和社會(huì)的一致歡迎，以至于大量的解題教學(xué)屢禁不絕，概念教學(xué)反被虛化。

在路上走得久了，我們已經(jīng)忘了為什么出發(fā)，還以為走路就是我們的全部;題目解得多了，我們忘了為什么要解題，還以為解題就是數(shù)學(xué)的全部。當(dāng)然，反復(fù)操練或者題海戰(zhàn)術(shù)，也會(huì)在不同角度、不同場(chǎng)合應(yīng)用概念，也能在一定程度上促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的差異性及共同性的認(rèn)識(shí)。也就是說(shuō)，解題教學(xué)并不是反概念的，但其教學(xué)重心不在概念而在程序或技巧。

最近，李邦河院士的一句話很流行：“數(shù)學(xué)是玩概念的，技巧無(wú)足道也?！薄盎貧w概念，不忘初心?！边@是筆者寫作本文的立意。

四、概念的相對(duì)層級(jí)：上位概念、平行概念和下位概念

（一）概念分層

所有概念都處于一個(gè)系統(tǒng)之中，完全孤立的概念是沒(méi)有生命力的，或者說(shuō)“是無(wú)法存在的”。任何一個(gè)概念，必存有上位概念、下位概念或平行概念中的一種或全部（如圖2）。相對(duì)來(lái)說(shuō)，下位概念是特殊的、具體的、可感的;上位概念是一般的、抽象的、不可感的。心理學(xué)告訴我們，人的認(rèn)識(shí)總是從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性的。這就是說(shuō)，“人的認(rèn)識(shí)是從下位概念走向上位概念的”，它遵循的是歸納的思維方式。教育學(xué)又

告訴我們，教學(xué)行為必須遵循人類認(rèn)識(shí)的一般規(guī)律。這就得出一個(gè)推論：學(xué)習(xí)概念必須從下位概念開(kāi)始，按照歸納的路徑獲得。教育學(xué)理論普遍要求我們這樣做。

但是，上位概念有更大的概括性和更強(qiáng)的認(rèn)識(shí)功能。比如，愛(ài)斯基摩人從來(lái)沒(méi)有一個(gè)“雪”的概念，他們對(duì)綿軟的雪、干硬的雪、斜飄的雪、飛舞的雪、落在地上的雪、落在石頭上的雪、落在樹(shù)上的雪、將化的雪、化了一半的雪，等等，都給出了具體的名稱。滿族人也類似，老滿語(yǔ)中記錄雪的單詞達(dá)110多個(gè)，卻不見(jiàn)統(tǒng)一的“雪”的名稱，說(shuō)“降雪量”這個(gè)詞他們是不懂的。如果要問(wèn)一年下了多少雪，愛(ài)斯基摩人就會(huì)分別告訴你綿軟的雪下了多少、干硬的雪下了多少……我們用一個(gè)“降雪量”就夠了，他們卻不能聽(tīng)懂。而在我們用降雨量、降雪量、降雹量、降霜量等做思考的時(shí)候，氣象學(xué)家卻用上了“降水量”這個(gè)詞。所以，如果有可能，我們就應(yīng)該不斷去追求更上位的概念。人類文明的進(jìn)化亦是如此。

我們知道，最初幾何概念的形成相當(dāng)艱難。在300萬(wàn)年的歷史中，一直到了古希臘才有明確的幾何概念。歐氏幾何發(fā)展了2000多年才進(jìn)化出羅氏幾何，而且羅氏幾何竟然是幾乎同時(shí)、在不同地方由多個(gè)人獨(dú)立完成的（已知的就有羅巴切夫斯基、高斯、鮑耶）。這說(shuō)明，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的具體研究，人類已經(jīng)走到了形成頓悟的門檻邊。在羅氏幾何問(wèn)世后，黎曼幾何立刻就被構(gòu)造出來(lái)，原因很簡(jiǎn)單，羅氏幾何與黎曼幾何是平行概念，而且兩者的種差（“三角形的內(nèi)角和小于180°”和“三角形的內(nèi)角和大于180°”）太容易被發(fā)現(xiàn)，幾乎一眼就可以看到。再接下來(lái)，在歐氏、羅氏、黎氏之上，還有更上位的幾何學(xué)嗎？有的，那就是絕對(duì)幾何。這個(gè)上位概念的產(chǎn)生又非一般人可以完成，連高斯都沒(méi)有做到，黎曼也沒(méi)有做到（他太早地去世被認(rèn)為是一個(gè)原因）。完成絕對(duì)幾何的是20世紀(jì)初的頂尖數(shù)學(xué)大師希爾伯特，他的《幾何基礎(chǔ)》構(gòu)造了一種到現(xiàn)在仍然是最上位的幾何概念。那么，還有沒(méi)有比“絕對(duì)幾何”更上位的概念？目前人類連想象它的勇氣都沒(méi)有。“絕對(duì)幾何”這個(gè)名字體現(xiàn)的究竟是傲慢還是無(wú)知，就在于各人的理解了。

很顯然，如果從上位概念開(kāi)始學(xué)習(xí)，則效率一定會(huì)很高，前提是必須掌握了這個(gè)上位概念;從平行概念開(kāi)始學(xué)習(xí)，也很好，同樣必須已經(jīng)掌握了這個(gè)平行概念;如果前面兩個(gè)前提條件都不具備，便只有從下位概念開(kāi)始學(xué)習(xí)了。也就是說(shuō)，選擇概念教學(xué)的先行組織者應(yīng)該遵循這樣的次序：上位概念→平行概念→下位概念。比如，從“對(duì)稱圖形”來(lái)學(xué)習(xí)“橢圓的對(duì)稱性”，是從上位概念開(kāi)始學(xué)習(xí);從“橢圓的對(duì)稱性”學(xué)習(xí)“雙曲線的對(duì)稱性”，是從平行概念開(kāi)始學(xué)習(xí);從“點(diǎn)的對(duì)稱性”學(xué)習(xí)“橢圓的對(duì)稱性”，則是從下位概念開(kāi)始學(xué)習(xí)。

這似乎與上面所說(shuō)的“人類的認(rèn)知規(guī)律”相矛盾，也為教育學(xué)理論所不容。但是，我實(shí)在無(wú)法割舍對(duì)上位概念和平行概念的偏愛(ài)，我也相信會(huì)有許多人與我持類似的觀點(diǎn)。難道我們的直覺(jué)錯(cuò)了，我們的堅(jiān)持是無(wú)理的？進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)并非如此。

人類的認(rèn)識(shí)從特殊到一般、從具體到抽象是毫無(wú)疑問(wèn)的，但那是在人類認(rèn)識(shí)推進(jìn)的過(guò)程中，是在沒(méi)有上位概念和平行概念下的無(wú)奈之舉。教學(xué)是在人類認(rèn)識(shí)已經(jīng)完成的情況下的學(xué)習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)式教學(xué)、探究式教學(xué)也不是學(xué)生完全自己在做，還有老師在場(chǎng)。那么，老師能做什么？能選擇學(xué)習(xí)資料和學(xué)習(xí)次序。在上位概念已經(jīng)學(xué)會(huì)的前提下，我們當(dāng)然可以選擇從它開(kāi)始，平行概念也是如此。有這種可能性嗎？不光有，還很多。人可以通過(guò)某一些下位概念把某個(gè)上位概念掌握了。再回過(guò)頭來(lái)認(rèn)識(shí)其余的下位，到那時(shí)就當(dāng)然可以用那個(gè)上位概念充當(dāng)先行組織者。比如蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一對(duì)函數(shù)的處理就是這樣：先講“函數(shù)”概念，然后再講指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等;先講一般函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，再講具體函數(shù)的性質(zhì)。至于“函數(shù)”的概念是怎么學(xué)會(huì)的呢？那是通過(guò)學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，由下位概念發(fā)展而來(lái)。它起到了非常好的先行組織者作用，為后續(xù)的數(shù)學(xué)教學(xué)提供了難以估量的幫助。

如此，我們?cè)谛睦砩峡梢哉J(rèn)為對(duì)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)清楚了一些。

按照認(rèn)識(shí)論，從下位概念到上位概念，是歸納;平行概念之間，是類比;從上位概念到下位概念，是演繹。歸納更貼近于人的經(jīng)驗(yàn)，更親切;演繹更有學(xué)術(shù)味，更有力。如果能找到一個(gè)既親切又有力的途徑，那是最理想的。這只能到上位概念或平行概念那里去找，因?yàn)橹挥小坝辛Α钡牟拍鼙粺釔?ài)，它可以給人的學(xué)習(xí)帶來(lái)實(shí)際收益。單純的“親切”在“有力”面前沒(méi)有競(jìng)爭(zhēng)力，更別說(shuō)在那些“既親切又有力”的面前了。

按照學(xué)習(xí)論，同化比順應(yīng)更容易。那么，從下位概念到上位概念，兩個(gè)平行概念之間，以及從上位概念到下位概念，哪一種路徑是同化，哪一種路徑是順應(yīng)呢？這不是可以簡(jiǎn)單劃分的。不過(guò)，我確信已經(jīng)找到了“在概念教學(xué)中把本屬于順應(yīng)的處理成同化”的方法，這會(huì)給概念教學(xué)帶來(lái)巨大的實(shí)用價(jià)值。

（二）概念分層對(duì)教育的價(jià)值

看兩個(gè)案例。

第一個(gè)案例——說(shuō)到“山竹”一詞，別人不知道，你就要進(jìn)行解釋，你很可能按如下的順序：

第一句：“它是一種水果”;

第二句：“像獼猴桃那樣大小”;

第三句：“肉是白色的，很好吃”;

第四句：“三分酸，七分甜，糯糯的，還有一點(diǎn)香味”。注意，你是從大往小說(shuō)的，開(kāi)始是一個(gè)很大的“屬”概念，越說(shuō)越具體，而不是相反。

第二個(gè)案例——中國(guó)古代有個(gè)概念叫“陽(yáng)數(shù)”，如果你問(wèn)“陽(yáng)數(shù)”是什么？我可以有不同的回答：

“陽(yáng)數(shù)是一種數(shù)”——這是上位概念;

“陽(yáng)數(shù)就是奇數(shù)”——這是等價(jià)概念;

“陽(yáng)數(shù)是與陰數(shù)相對(duì)的數(shù)”——這是平行概念;

“1、3、5、7等，就是陽(yáng)數(shù)”——這是下位概念。哪一種介紹更高效？第二種，等價(jià)概念！等價(jià)概念其實(shí)就是它本身，名稱不同而已。當(dāng)然，不是所有的概念都有等價(jià)概念。除去等價(jià)概念以外，哪一個(gè)更好？上位概念和平行概念。有人可能認(rèn)為“告訴他1、3、5、7”也很好，確實(shí)如此，但是這里有個(gè)前提：他的頭腦里必須有“奇數(shù)”的概念，在別人說(shuō)到1、3、5、7的時(shí)候，他就把奇數(shù)的概念提取出來(lái)。實(shí)際上，他“聽(tīng)到”的不是1、3、5、7這幾個(gè)具體數(shù)，而是頭腦中熟悉的一個(gè)“類”。反之，對(duì)于沒(méi)有“奇數(shù)”概念的人，這樣的學(xué)習(xí)效率是很低下的。

概念的分層可以讓你在設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)有全局的分析，從而有開(kāi)闊的視野。

五、概念教學(xué)四原則

（一）經(jīng)驗(yàn)原則

并不是上位概念就更難理解，下位概念就更好理解?；蛘哒f(shuō)，并不是“一般的”就比“特殊的”更難認(rèn)識(shí)。比如，整數(shù)與質(zhì)數(shù)，還是“一般的”整數(shù)比“特殊的”質(zhì)數(shù)好認(rèn)識(shí);理想數(shù)更特殊，卻更難認(rèn)識(shí)。認(rèn)識(shí)的難易程度決定于人們的生活經(jīng)驗(yàn)，與人類感官最接近的東西是最容易認(rèn)識(shí)的。尺寸上和人體大小比較接近的物體容易被認(rèn)識(shí)，太大或太小都不容易。比如，太大的宇宙、太小的夸克就不好認(rèn)識(shí)，而石頭、樹(shù)木很好認(rèn)識(shí);豬、馬、牛、羊都好認(rèn)識(shí)，細(xì)菌、病毒就不好認(rèn)識(shí)。

常熟有位高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)斜率時(shí)，用了上虞山和下虞山所體會(huì)到的不同坡度——上山時(shí)有些路段是坡度較小的，有些路段是坡度較大的，有些路段則是平的;下山時(shí)也是。常熟的學(xué)生對(duì)此有真切的體驗(yàn)，或者說(shuō)有生活的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)比較輕度的抽象就可以形成數(shù)學(xué)上的斜率概念。這是非常值得稱道的教學(xué)設(shè)計(jì)。

類似的設(shè)計(jì)還有通過(guò)站隊(duì)講排列組合、通過(guò)抓鬮講概率、通過(guò)旗桿講線面垂直等，優(yōu)秀課例很多。

即使是離生活很遠(yuǎn)的概念，在教學(xué)時(shí)也要盡量拉近它與生活的距離，從而降低抽象的梯度。比如蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一首先給出了映射的概念，而這個(gè)概念在其他地方?jīng)]有用到過(guò)，以后也不再用，引入這個(gè)概念干什么？我認(rèn)為，它的一個(gè)重要作用就是為理解函數(shù)提供更好的上位概念。難道映射比函數(shù)更好理解嗎？是的。因?yàn)橛成涫怯谩凹稀焙汀皩?duì)應(yīng)”來(lái)定義的，而我們太清楚了，“集合”和“對(duì)應(yīng)”都是原始概念，是不需要定義卻又在我們的經(jīng)驗(yàn)之中的。如此，用直觀、經(jīng)驗(yàn)先建立一個(gè)上位概念，再用它統(tǒng)領(lǐng)更難理解的下位概念，可見(jiàn)教材處理確實(shí)高明。

（二）直觀原則

講一個(gè)我認(rèn)識(shí)絞股藍(lán)的故事——絞股藍(lán)是一種植物，可以做成茶，有降血脂、護(hù)血管的功效，對(duì)中老年人有很大的保健作用。又因?yàn)樗簧L(zhǎng)在南方，因而被稱為南方人參。蘇州的野外就生長(zhǎng)有很多的絞股藍(lán)，你想不想認(rèn)識(shí)它？

——如果你說(shuō)“想”，那么我這個(gè)情境設(shè)置就是成功的。但是在我從北方初到蘇州的時(shí)候，北方的朋友告訴我可以自己去采摘，但我卻不認(rèn)識(shí)絞股藍(lán)。朋友就跟我說(shuō)絞股藍(lán)是××科、××屬、××種，說(shuō)得很詳細(xì)、很準(zhǔn)確，并且拍了照片發(fā)給我，可我還是不能認(rèn)識(shí)它。后來(lái)他改變了方法說(shuō)：拉拉秧你認(rèn)識(shí)不？我說(shuō)那太熟悉了。他就說(shuō)：絞股藍(lán)與拉拉秧幾乎一模一樣，就是沒(méi)有那些小刺，因而不刺人。這樣我一下子就在路邊發(fā)現(xiàn)了好多絞股藍(lán)植株，而且發(fā)現(xiàn)了好幾個(gè)不同的品種，比如5葉的、7葉的、9葉的。朋友給我提供了一個(gè)平行概念“拉拉秧”，而且是非常形象、非常清晰的平行概念。而“××科、××屬、××種”之類的，雖然是上位概念但是它不屬于我，對(duì)我而言就沒(méi)有意義。

最好的理解是形成直覺(jué)。事實(shí)上，我們的行為多數(shù)也是基于直覺(jué)，在生活中動(dòng)用嚴(yán)密的邏輯思維的時(shí)候并不多。一方面，邏輯思維耗費(fèi)太大的能量;另一方面，人需要快速反應(yīng)，反應(yīng)快的個(gè)體才能獲得機(jī)會(huì)。

（三）歸納原則

歸納是學(xué)習(xí)的重要原則，但是不能將其當(dāng)作教條。因?yàn)闅w納代價(jià)太大，視野也太有限。

比如，我們追求“深刻而全面地認(rèn)識(shí)世界”，“全面”需要依靠歸納，“深刻”就只能利用演繹了。歸納是綜合性的，依賴經(jīng)驗(yàn)，所至不遠(yuǎn);演繹是解析性的，依靠邏輯，可到無(wú)限。蘇格拉底說(shuō)“一切的經(jīng)驗(yàn)科學(xué)都是材料的奴隸”，而且，材料越多人所受的奴役就越大。丹麥天文學(xué)家第谷對(duì)星空做了一生的觀測(cè)，積累了海量的數(shù)據(jù)，其精確度達(dá)到了人類視力的極限，但是，他只能把數(shù)據(jù)用以繪制更為精確的星圖和星表，在理論上他基本沒(méi)有建樹(shù)。接替他的是開(kāi)普勒，他高度近視、體弱多病，連起碼的天文觀測(cè)都不能做，但是他用數(shù)學(xué)的推演發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)三大定律，成為“太空立法者”。牛頓則更近一步，他把行星的運(yùn)動(dòng)與地面物體的運(yùn)動(dòng)放在一起，建構(gòu)了更一般化的力學(xué)公理化體系，威力更大——開(kāi)普勒用了十余年時(shí)間發(fā)現(xiàn)的行星周期律，牛頓只用5分鐘就推演出來(lái)了。這就是演繹的力量！

當(dāng)然，這不是要拋棄歸納，而是要時(shí)刻記得演繹是可選項(xiàng)之一。如果能將演繹與歸納并用，則毫無(wú)疑問(wèn)要放棄純粹的歸納。越是體系成熟的學(xué)科越是這樣。越是到高年級(jí)的學(xué)習(xí)，越要這樣。

（四）整體原則

這是龐加萊講過(guò)的一個(gè)故事——教室里，先生對(duì)學(xué)生說(shuō)“圓周是平面內(nèi)到同一個(gè)定點(diǎn)的距離等于同一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，學(xué)生抄在筆記上，可是誰(shuí)也不明白圓周是什么。于是，先生拿起粉筆在黑板上畫了一個(gè)圓圈，學(xué)生立刻歡呼：“圓周就是圓圈啊，明白了。”整體認(rèn)知的重要性由此可見(jiàn)。

圓的上位概念是“軌跡”，是否能用“軌跡”來(lái)教圓，要看學(xué)生頭腦里有沒(méi)有“軌跡”這個(gè)實(shí)在概念。

下面說(shuō)一個(gè)盲人摸象的故事——盲人可以通過(guò)摸，知道象腿的高度和粗度、象牙的長(zhǎng)度和硬度、象鼻的溫度和柔軟度、象耳朵的寬度和厚度等，但是，不論他們各自把局部屬性認(rèn)識(shí)到何等精細(xì)的程度，也不會(huì)形成正確的“大象”概念。以前我們認(rèn)為那是因?yàn)槊と藳](méi)能全面地掌握信息，現(xiàn)在看來(lái)這種說(shuō)法不對(duì)?？梢赃@樣設(shè)想：如果這些盲人都非常善于表達(dá)，都把自己知道的精細(xì)感覺(jué)或數(shù)據(jù)全部轉(zhuǎn)告同一個(gè)人——同樣是一個(gè)盲人。也就是說(shuō)，最后的那個(gè)盲人掌握了大象的各個(gè)部分的全部信息，并且那些信息都是準(zhǔn)確無(wú)誤的。試問(wèn)：那個(gè)“全知的”盲人是否能形成對(duì)“大象”的正確認(rèn)識(shí)？我認(rèn)為不會(huì)。與之相反的是，我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)地望見(jiàn)哪怕是很模糊的身影，就能認(rèn)出大象來(lái)。即使我們沒(méi)有去測(cè)量各種尺寸，沒(méi)有去感受各種細(xì)節(jié)。

如果你要教孩子認(rèn)識(shí)大象，一定是把他帶到大象跟前說(shuō)：“看，這就是大象?！睂?shí)在不得已，也會(huì)指著大象圖片這樣教。而有了這個(gè)總體印象以后，再說(shuō)鼻子、腿、耳朵等細(xì)節(jié)才有意義，這時(shí)，那些器官是作為“象的鼻子”“象的腿”“象的耳朵”被認(rèn)識(shí)的。在教孩子認(rèn)識(shí)大象的時(shí)候，沒(méi)有人會(huì)從細(xì)節(jié)到整體——比如先蓋住整個(gè)大象——一點(diǎn)一點(diǎn)地順次介紹說(shuō)：“看，這是腿;看，這是鼻子……”

這里，我們看到的以及你想向孩子呈現(xiàn)的都是一個(gè)東西：現(xiàn)象。從現(xiàn)象中，人的感官采集到了一個(gè)結(jié)構(gòu)性的信息，大象的概念瞬間形成。教學(xué)就應(yīng)該這樣：給學(xué)生一個(gè)現(xiàn)象，學(xué)生通過(guò)自己的信息采集和加工形成認(rèn)知。那樣的知識(shí)就是實(shí)在的，也是可以牢固記憶的。

要特別說(shuō)明的是，概念教學(xué)最初呈現(xiàn)的應(yīng)該是正面例子，而不是反面例子。反面例子是用來(lái)辨析的，我以為，辨析必須在概念形成之后。就比如教孩子認(rèn)識(shí)大象，先牽出一匹馬說(shuō)：“看，這不是大象。”——這是荒唐可笑的。但這恰恰又是從局部到整體的概念教學(xué)的常態(tài)，必須通過(guò)差異性識(shí)別、通過(guò)對(duì)比，來(lái)凸顯自己所要的“本質(zhì)屬性”。而在整體原則之下，我們不可能這樣做，這時(shí)就看出整體原則的好處了。

羅增儒教授說(shuō)，“提供一類事物的不同例子，通過(guò)辨別，分化出各個(gè)例子的屬性”，“再概括出各個(gè)例子的共同屬性，進(jìn)而提煉出本質(zhì)屬性”，我不認(rèn)可。我認(rèn)為羅教授所說(shuō)的“不同例子”的最大作用在于形成整體印象，這是“整合”而不是“分化”。所提供的例子固然是不同的，但要照顧到它們的相同特征，從而容易歸類。至于“各個(gè)例子的屬性”，那是太多了，即使單就它們的公共部分來(lái)說(shuō)，也是很多的。而對(duì)它們共有的“本質(zhì)屬性”的選擇，首先需要一個(gè)“選擇的標(biāo)準(zhǔn)”。但是，在概念建立起來(lái)之前，你的眼里是沒(méi)有明確標(biāo)準(zhǔn)的，這時(shí)候，就必須要體驗(yàn)“類”的標(biāo)準(zhǔn)。就好像在滿屋的美人中，你一眼就看到令你心動(dòng)的那一位，說(shuō)明她與你的審美標(biāo)準(zhǔn)最契合，如果你根本就沒(méi)有審美標(biāo)準(zhǔn)，那看誰(shuí)都一樣。

六、概念教學(xué)設(shè)計(jì)

你看中國(guó)古代的數(shù)學(xué)書(shū)時(shí)不知道什么叫“圭竇”，但當(dāng)別人說(shuō)“就是拋物線”，便一下子明白了。同樣地，“陶丘”就是雙曲線。顯然，從等價(jià)概念開(kāi)始教學(xué)是最理想的（前提是有等價(jià)概念）。其次就是上位概念或平行概念，最次的是下位概念。孫子兵法云：“上計(jì)罰謀，其次伐交，再次伐兵，其下攻城。攻城之法為不得已?！睂?duì)應(yīng)來(lái)看，上位概念就是“謀”，平行概念就是“交”，下位概念就是“兵”和“城”。最幸運(yùn)的情況是用等價(jià)概念進(jìn)行教學(xué)，那就是“不戰(zhàn)而屈人之兵”，屬于“上之上者也”。

對(duì)于常態(tài)化的概念教學(xué)，按照優(yōu)先次序列出的方案如表1所示。

對(duì)表中方案，有四點(diǎn)說(shuō)明：（1）“最簡(jiǎn)單”和“最困難”是對(duì)同一個(gè)概念的學(xué)習(xí)而言的，不同的概念之間沒(méi)有可比性。某一個(gè)概念，如果上位概念、等價(jià)概念、平行概念、下位概念都可以選，則通過(guò)等價(jià)概念來(lái)學(xué)習(xí)是最容易的，通過(guò)下位概念來(lái)學(xué)習(xí)是最困難的。（2）盡量找等價(jià)概念。很多概念沒(méi)有等價(jià)概念，這時(shí)，要看看能否根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)或直觀感受臨時(shí)建構(gòu)一個(gè)，哪怕粗略地建構(gòu)一個(gè)也行，如“橢圓就是壓扁的圓”“等差數(shù)列就是這些（用手比畫）差相等的數(shù)列”。不要害怕“不嚴(yán)謹(jǐn)”，因?yàn)閹追昼姾笏蜁?huì)嚴(yán)謹(jǐn)起來(lái)。教育形態(tài)本身就是一個(gè)生長(zhǎng)的形態(tài)，而不是定型的形態(tài)。過(guò)程之中，就該給其生機(jī)、促其生長(zhǎng)，這就是生態(tài)課堂的本質(zhì)。（3）讓學(xué)生通過(guò)歸納完成學(xué)習(xí)（比如用具體實(shí)例讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“種差”或“種差之間的區(qū)別”）。歸納與演繹并用也是可以的，盡量避免純演繹的方式，切忌“告知”。（4）用以歸納的“實(shí)例”一般不少于3個(gè)。有時(shí)可以讓學(xué)生舉例，有時(shí)則需要老師提供。通過(guò)一個(gè)例子就把意義提出來(lái)，那不是歸納，只能是老師告知、學(xué)生認(rèn)可。

當(dāng)然，并不是所有的概念學(xué)習(xí)都從上位概念或平行概念開(kāi)始，因?yàn)檫€要考慮“兩個(gè)概念間的心理距離”。有的概念，其最近的上位概念離它都很遠(yuǎn)，而某個(gè)下位概念卻離它很近，用這個(gè)下位概念充當(dāng)先行組織者就是合適的。

比如“任意角的三角函數(shù)”，它的上位概念是函數(shù)，但是不如“直角三角形中的三角函數(shù)”更近。

再如，“數(shù)列”概念的教學(xué)，怎樣引入較好？用上位概念、下位概念還是平行概念？函數(shù)是它的上位概念，但是更抽象，距離有點(diǎn)遠(yuǎn)，不合適。再看看，“列”也是它的上位概念，用“列”來(lái)組織它就很好（“按次序排列的一列數(shù)”就等于說(shuō)“數(shù)的列叫數(shù)列”）。“數(shù)”是它的下位概念，如果用其作為先行組織者也可以，但不如用“列”更直接。“列”揭示的是結(jié)構(gòu)，數(shù)列恰需要從結(jié)構(gòu)上來(lái)認(rèn)識(shí)而不是從數(shù)上來(lái)認(rèn)識(shí)。接下來(lái)，就要思考：什么叫“點(diǎn)列”？什么叫“函數(shù)列”？什么叫“三角形列”？——有了數(shù)列這個(gè)平行概念，再認(rèn)識(shí)點(diǎn)列、函數(shù)列、三角形列就容易了。

一般說(shuō)來(lái)，用偏正結(jié)構(gòu)命名的概念，可以用上位概念引入，如正三角形、奇函數(shù)、等差數(shù)列等。但是，從上位概念學(xué)習(xí)下位概念，是從一般到特殊、從抽象到具體的推理，邏輯上是演繹的，這與“歸納式的教學(xué)路徑”相反，怎么處理呢？有一個(gè)方法可以把演繹變?yōu)闅w納。具體是這樣的：“屬”概念是學(xué)生已經(jīng)掌握的，在這個(gè)前提下，學(xué)生需要完成意義建構(gòu)的是“種差”，我們可以設(shè)計(jì)一種教學(xué)方式，讓“種差”來(lái)自學(xué)生的歸納。這是完全可以做到的，而且“種差”的抽象度低于“屬”概念，“種差”也比概念本身簡(jiǎn)單明了，其意義容易建構(gòu)。這樣的始自上位概念的教學(xué)，顯然還是發(fā)現(xiàn)式教學(xué)。

七、概念教學(xué)的評(píng)價(jià)

在概念、原理、定理、方法、技巧等各項(xiàng)教學(xué)中，關(guān)于概念教學(xué)的評(píng)價(jià)是最被重視的，古今中外的論述也最多，在任何一本教學(xué)論專著中都可以找到，這里就不詳細(xì)羅列了。下面談兩點(diǎn)自己的看法。

（一）嚴(yán)謹(jǐn)性的度

一個(gè)奇怪的現(xiàn)象是：在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生會(huì)很自然地說(shuō)出“周期性”這個(gè)詞，如對(duì)太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)、四季的更替、星期的周而復(fù)始等，他們會(huì)說(shuō)那是“周期性重復(fù)的”。但是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)以后，學(xué)生反而不能自如地說(shuō)出“周期性”這個(gè)詞了。在提起“周期性”時(shí)，他們的頭腦里閃現(xiàn)的就是“三角函數(shù)”及其周期公式T=2π/ω（正余弦）或T=π/ω（正切），而對(duì)于周期性本身失去了關(guān)注。

對(duì)小學(xué)生，如果你問(wèn)長(zhǎng)方形的面積是什么，他們會(huì)說(shuō)“長(zhǎng)乘寬”。三角形面積是“底乘高除以2”。而如果你拿來(lái)一個(gè)不規(guī)則圖形（比如樹(shù)葉），他們會(huì)說(shuō)“這沒(méi)有面積”。在學(xué)會(huì)了計(jì)算公式以后，他們已經(jīng)把什么叫面積以及最初的“網(wǎng)格法估計(jì)面積”忘記了。

這是應(yīng)該引起我們警惕的。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“概念是人類思維的自由創(chuàng)造?！睉烟睾Ｕf(shuō)：“過(guò)分的嚴(yán)格化訓(xùn)練是有害的?！编嵷剐耪f(shuō)：“在教學(xué)中我們不應(yīng)該提倡任何一種強(qiáng)制的統(tǒng)一，即，應(yīng)當(dāng)明確反對(duì)任何過(guò)分的規(guī)范或人為的約束。”

（二）最好的理解是形成直覺(jué)

概念的重要功能有兩個(gè)：一是把一個(gè)對(duì)象以名詞的形式固定下來(lái)。這個(gè)對(duì)象可能是一個(gè)具體的個(gè)體（個(gè)概念），也可能包含一類個(gè)體（類概念）。二是把一個(gè)思維過(guò)程凝聚成一個(gè)整體，在需要的時(shí)候能夠整體再現(xiàn)。這里最重要的特征就是“整體性”。因此，概念的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)追求整體性認(rèn)知，教學(xué)時(shí)最好從整體認(rèn)知開(kāi)始，到整體認(rèn)知結(jié)束。最理想的教學(xué)，是讓學(xué)生形成對(duì)概念的直覺(jué)，使得在任何的環(huán)境中都能一眼就認(rèn)出××或××類。如果遇到需要辨別的場(chǎng)合，還要去一項(xiàng)一項(xiàng)地分析條件，這樣的學(xué)習(xí)是不合格的，它不可能帶來(lái)流暢的思維。

也許你已經(jīng)體會(huì)到了，概念學(xué)習(xí)的最高境界是形成對(duì)概念的直覺(jué)。

八、結(jié)語(yǔ)

概念教學(xué)應(yīng)該始于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，遵循歸納的路徑，但并不意味著只能從下位概念開(kāi)始。讓上位概念和平行概念充當(dāng)先行組織者，實(shí)現(xiàn)對(duì)新概念的同化，倒是值得優(yōu)先考慮的方法。而且，處理得好，可以不與歸納的路徑相抵觸。

所有學(xué)科，概念都是其中最重要的內(nèi)容，概念教學(xué)是教學(xué)的重中之重，對(duì)它的研究永遠(yuǎn)沒(méi)有終結(jié)之時(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 羅增儒.數(shù)學(xué)概念的理解和教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2016（3）.

[2] 羅增儒.數(shù)學(xué)概念的理解和教學(xué)（續(xù)）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2016（4）.

[3] 鄭毓信.數(shù)學(xué)教育之動(dòng)態(tài)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（1）.

[4] 孫寶翠.智者的思路[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1989.