王兵銳 張新剛 馬曉普

摘? 要：在模擬信號(hào)轉(zhuǎn)數(shù)字信號(hào)的通信過(guò)程中，帶通采樣起著非常重要的作用。然而帶通采樣涉及連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換等知識(shí)，復(fù)雜難懂。一些文獻(xiàn)偏重?cái)?shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，涉及較多數(shù)學(xué)知識(shí)，難以理解。尤其不同的文獻(xiàn)采用的帶通采樣公式不同，導(dǎo)致帶通采樣公式有多種表達(dá)式。本文采用淺顯易懂的語(yǔ)言描述帶通采樣，并詳細(xì)推導(dǎo)不同公式之間的關(guān)聯(lián)性，揭示這些公式的統(tǒng)一性。仿真實(shí)驗(yàn)表明測(cè)試得到的帶通采樣結(jié)果與理論一致。

關(guān)鍵詞：帶通采樣;傅里葉變換;頻域;帶寬

中圖分類號(hào)：TN929? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2019）24-0055-03

Abstract：In the process of converting analog signal to digital signal，bandpass sampling plays a very important role. However，bandpass sampling involves of continuous Fourier transform and discrete Fourier transform，which is complex and difficult to understand. Some references lay particular stress on the deduction of mathematical formulas，which is not easy to understand. Especially，different bandpass sampling formulas are used between different references，which leads to many expressions of bandpass sampling formulas. In this study，the bandpass sampling is described in plain language，and the correlation between different formulas is deduced in detail to reveal the uniformity of these formulas. The simulation results show that test results are in agreement with the theory.

Keywords：bandpass sampling;Fourier transform;frequency domain;bandwidth

0? 引? 言

芯片只能處理數(shù)字信號(hào)，然而現(xiàn)實(shí)生活中的很多信號(hào)是模擬信號(hào)，因此需要將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)[1]。在轉(zhuǎn)換過(guò)程中需要三個(gè)步驟：采樣、量化、編碼。采樣又稱為抽樣或取樣，把時(shí)間連續(xù)的信號(hào)轉(zhuǎn)換為時(shí)間不連續(xù)的脈沖。該脈沖信號(hào)稱為采樣信號(hào)，采樣信號(hào)在時(shí)間軸上是離散的，但在函數(shù)軸上仍是連續(xù)的。把采樣信號(hào)變?yōu)樵跁r(shí)間上離散，在幅度上也離散的過(guò)程叫作量化。量化過(guò)程是一個(gè)數(shù)值分層過(guò)程。即四舍五入過(guò)程。編碼是將量化后的數(shù)字信號(hào)的幅值，變換成一組組對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)組。第一步的采樣最為關(guān)鍵，關(guān)系到模數(shù)轉(zhuǎn)換，再到數(shù)模轉(zhuǎn)換。經(jīng)過(guò)幾次變換，傳輸?shù)男盘?hào)還要保持不變，這樣的通信才算完整可靠。不失真的采樣是值得分析和研究的。而且采樣分為低通采樣和帶通采樣，帶通采樣涉及大量數(shù)學(xué)運(yùn)算，比較難懂，是通信相關(guān)課程中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。

1? 低通采樣分析

由于低通采樣比較容易理解，本文從低通采樣開(kāi)始討論，如圖1所示。

對(duì)一個(gè)連續(xù)時(shí)域信號(hào)m（t），采樣后變?yōu)闀r(shí)域離散但幅值連續(xù)的采樣信號(hào)s（t），如圖1（a）所示。該信號(hào)變化緩慢，頻率偏低。根據(jù)傅里葉理論，連續(xù)非周期信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻域曲線是非周期連續(xù)的波形，而離散非周期信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻域曲線是周期連續(xù)的波形。抽樣之后s（t）的頻域曲線，是m（t）的頻域曲線周期拓展的結(jié)果。經(jīng)過(guò)傅里葉變換，s（t）相應(yīng)的頻域曲線s（f）應(yīng)該在O附近，如圖1（b）所示。

由連續(xù)時(shí)域信號(hào)m（t）變?yōu)殡x散時(shí)域信號(hào)s（t）的過(guò)程是采樣，如果隨意采樣，也就是隨意把m（t）變?yōu)閟（t），傳輸中容易失真。如何采樣，才能保證信號(hào)無(wú)失真正確傳輸是關(guān)鍵問(wèn)題。奈奎斯特提出低通采樣定理[2，3]，采樣時(shí)的頻率fs的取值應(yīng)該滿足fs≥2fH，這樣才能保證最終不失真地還原出m（t），完成數(shù)模轉(zhuǎn)換?，F(xiàn)從頻域上進(jìn)行觀察，并舉例說(shuō)明，令fH為2，則fs的最小值為4，如圖2所示。通過(guò)圖2的示例可以清晰地發(fā)現(xiàn)，s（t）的頻域函數(shù)s（f）的曲線沒(méi)出現(xiàn)重疊的情況，換言之，頻域波形不出現(xiàn)重疊是無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)闹匾Ｕ稀?/p>

2? 帶通采樣推導(dǎo)分析

帶通采樣在通信接收中具有重要的作用[4，5]。設(shè)帶通時(shí)域波形x（t）如圖3（a）所示，相應(yīng)的頻域波形x（f）如圖3（b）所示。

（a）時(shí)域信號(hào)

（b）頻域波形

該測(cè)試中，實(shí)際使用的采樣頻率fs為300Hz，對(duì)測(cè)試信號(hào)進(jìn)行抽樣，得到帶通抽樣信號(hào)y（t）如圖6（a）所示。抽樣信號(hào)的頻譜為測(cè)試信號(hào)頻譜y（f）的拓展，如圖6（b）所示，可以發(fā)現(xiàn)拓展后的頻域波形沒(méi)有重疊，說(shuō)明采樣頻率fs設(shè)置為300Hz是合適的。

針對(duì)頻帶受限的帶通信號(hào)，在頻率范圍（fL，fH）內(nèi)，進(jìn)行采樣研究時(shí)，許多資料采用不同的公式定理，給學(xué)生們帶來(lái)一定困擾。且涉及傅里葉變換、時(shí)域頻域聯(lián)系等數(shù)學(xué)知識(shí)，不易理解。本文先引入易懂的低通采樣定理，進(jìn)行了分析，并用示例進(jìn)行了講解。然后針對(duì)兩種不同的帶通采樣定理，進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)分析證明這兩種公式都是正確的，且具有統(tǒng)一一致包含性。最后采用MATLAB對(duì)帶通采樣進(jìn)行具體的實(shí)驗(yàn)測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論相符合。

（a）時(shí)域信號(hào)

（b）頻域波形

圖6? 抽樣后的帶通信號(hào)

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作者簡(jiǎn)介：王兵銳（1986-），男，漢族，河南南陽(yáng)人，講師，博士，研究方向：衛(wèi)星通信、FPGA設(shè)計(jì)以及智能應(yīng)急;張新剛（1979-），男，漢族，河南南陽(yáng)人，副教授，碩士，主要研究方向：人工智能、計(jì)算機(jī)工程;馬曉普（1975-），男，漢族，河南南陽(yáng)人，教授，博士，主要研究方向：數(shù)據(jù)挖掘與云計(jì)算。