徐有杰，劉啟國，王 瑞，劉義成

（1.西南石油大學(xué)石油與天然氣工程學(xué)院，成都610500；2.石油工業(yè)出版社，北京100000；3.中國石油西南油氣田分公司勘探開發(fā)研究院，成都610000）

0 引言

我國非常規(guī)油氣資源豐富、發(fā)展?jié)摿Υ?，高效開發(fā)非常規(guī)油氣資源對于滿足我國能源需求具有重要意義［1-2］。隨著水力壓裂技術(shù)的不斷進(jìn)步，為了改善油藏的開發(fā)效果，通常對水平井實(shí)施多段射孔壓裂，增加油藏泄油面積，改善儲層與井筒之間的流體連通狀況，從而提高單井產(chǎn)量［3-4］。壓力動態(tài)特征分析作為油氣藏評價(jià)以及儲層物性參數(shù)求取的重要手段，對于指導(dǎo)油氣田開發(fā)具有重要意義。

點(diǎn)源函數(shù)的發(fā)展對于求解儲層滲流模型解析解起到了重要作用。在早期，Gringarten等［5］基于Green函數(shù)得到實(shí)空間源函數(shù)解；Ozkan等［6-7］成功地將實(shí)空間源函數(shù)解擴(kuò)展到Laplace空間；Cinco-Ley等［8］建立并求解了傾斜水力壓裂裂縫試井解釋數(shù)學(xué)模型。水力壓裂裂縫的分布因水力壓裂過程中各種地質(zhì)因素的存在而變得十分復(fù)雜［9］。關(guān)于水力壓裂所形成的復(fù)雜裂縫試井模型，國內(nèi)外均有研究，分別針對不對稱縫［10-11］、多翼裂縫井［12］試井模型開展了研究，分析了其主控因素對壓力和產(chǎn)量曲線的影響。多段壓裂水平井對于高效開發(fā)儲層原油具有重要的作用，研究其壓力動態(tài)變化特征成為油氣開發(fā)的重要環(huán)節(jié)，一些學(xué)者［13-21］對多段壓裂水平井壓力和產(chǎn)量模型進(jìn)行了研究，考慮了裂縫傾斜和裂縫不對稱的影響。水力壓裂過程中井筒附近往往會形成壓裂改造區(qū)，該區(qū)域儲層滲透率高于儲層原始滲透率。何吉祥等［22］和袁淋等［23］針對氣、水兩相壓裂水平井產(chǎn)能計(jì)算給出了相關(guān)公式，并分析了水氣體積比對產(chǎn)量曲線的影響。關(guān)于多段壓裂水平井體積壓裂改造試井模型的研究，姜瑞忠等［24］、蘇玉亮等［25］、李道倫等［26］分別針對復(fù)合油藏多段壓裂水平井試井模型展開研究，繪制了相應(yīng)的典型特征曲線，并進(jìn)行了影響因素分析。

在實(shí)際多段壓裂體積改造時(shí)，由于地層條件復(fù)雜，導(dǎo)致井筒附近形成了復(fù)雜的縫網(wǎng)體積，因此，在前人研究成果的基礎(chǔ)上，對水平井體積壓裂改造試井模型進(jìn)一步研究十分必要。針對水力壓裂所形成的復(fù)雜裂縫，首先分別建立儲層和裂縫試井解釋數(shù)學(xué)模型，通過Laplace積分變換求得Laplace空間解析解，其次耦合儲層與裂縫模型求解得到其均勻流量面源解，采用裂縫離散的方式求得Laplace空間井底壓力解，最后通過Stehfest數(shù)值反演計(jì)算并繪制雙對數(shù)曲線圖，分析裂縫分布方式以及改造區(qū)半徑對典型特征曲線的影響，以期為多段壓裂水平井試井資料解釋和壓裂方式設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 物理模型描述

在水力壓裂過程中由于地層條件等各種因素的影響，使得實(shí)際多段壓裂水平井水力壓裂裂縫分布不規(guī)律。水平井經(jīng)多段壓裂之后井筒附近儲層的滲透率高于距井筒較遠(yuǎn)區(qū)域，即井筒附近由于壓裂體積改造形成了壓力改造區(qū)（內(nèi)區(qū)），而未改造區(qū)（外區(qū)）儲層滲透率不變。為了更好地建立水平井體積壓裂改造試井?dāng)?shù)學(xué)模型，可以將多段壓裂水平井裂縫分布物理模型抽象為徑向復(fù)合模型，內(nèi)區(qū)半徑為rm（圖1）。其他假設(shè)條件如下：①內(nèi)區(qū)和外區(qū)儲層平均滲透率分別為k1，k2；②水平井位于頂?shù)追忾]、側(cè)向無窮大外邊界儲層中；③裂縫寬度為wf且相等，第i條裂縫長度為Lfi，與井筒的夾角為θi，裂縫內(nèi)滲透率為kf；④流體在儲層和裂縫中的流動符合達(dá)西滲流規(guī)律，且為等溫滲流；⑤每條裂縫都完全壓開，即裂縫高度與儲層厚度相等。

圖1 多段壓裂水平井裂縫分布物理模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of fracture distribution of multi-stage fractured well

2 數(shù)學(xué)模型的建立與求解

根據(jù)上述假設(shè)條件，頂?shù)追忾]、側(cè)向無窮大外邊界存在點(diǎn)源P，t=0時(shí)刻從點(diǎn)源中采出流體的流量為～q，而該時(shí)刻采出流體的流量使得線源周圍的壓力波向外傳播，進(jìn)而使得內(nèi)外區(qū)的流體均流入井筒（圖2）。

圖2 徑向復(fù)合油藏點(diǎn)源物理模型示意圖Fig.2 Point-source schematic diagram with radial composite reservoirs

2.1 儲層數(shù)學(xué)模型的建立與求解

對于多段壓裂水平井復(fù)雜裂縫井底壓力的計(jì)算，先以裂縫的單翼為研究對象建立儲層試井解釋數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)壓降疊加原理得到M條裂縫總的井底壓降。根據(jù)狀態(tài)方程、運(yùn)動方程和連續(xù)性微分方程，分別得到無因次內(nèi)區(qū)與外區(qū)滲流數(shù)學(xué)模型和邊界條件，無因次變量定義為其中：C為井筒儲集系數(shù)，m3/MPa；CfD為無因次裂縫導(dǎo)流能力；Ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；h 為儲層厚度，m；k1，k2分別為內(nèi)、外區(qū)儲層平均滲透率，D；kf為裂縫滲透率，D；Lf為裂縫長度，m；Lref為參考長度，m；M12為內(nèi)外區(qū)流度比；p1，p2分別為內(nèi)、外區(qū)儲層壓力，MPa；pf為裂縫壓力，MPa；pw為考慮井儲和表皮效應(yīng)的井底壓力，MPa；pe為原始儲層壓力，MPa；pwH為不考慮井儲和表皮效應(yīng)的井底壓力，MPa；qsc為地下生產(chǎn)總流量，m3/d；r為任意位置徑向距離，m；rm為內(nèi)區(qū)半徑，m；t為生產(chǎn)時(shí)間，h；Wf為裂縫寬度，m；x，y，z為計(jì)算點(diǎn)位置，m；xw，yw，zw為點(diǎn)源所在位置，m；ε為無窮小長度，m；～qf為裂縫線流量，m2/d為瞬時(shí)線源流量，m2/d；φ1，φ2分別為內(nèi)、外區(qū)介質(zhì)孔隙度，%；μ1，μ2分別為內(nèi)、外區(qū)流體黏度，mPa·s；η12為導(dǎo)壓系數(shù)比；下標(biāo)D表示無因次。

關(guān)于無因次時(shí)間進(jìn)行Laplace變化，得到Laplace空間方程組為

分別對內(nèi)區(qū)和外區(qū)滲流微分方程關(guān)于zD從0到hD進(jìn)行有限余弦Fourier變換，得到只考慮徑向方向的徑向復(fù)合滲流微分方程，根據(jù)Bessel方程基本解的結(jié)構(gòu)，得到內(nèi)外區(qū)滲流微分方程的通解，再根據(jù)有限余弦Fourier逆變換得到內(nèi)外區(qū)任意位置處點(diǎn)源解為

其中

式中：s為拉普拉斯變量；I0（x）為零階第1類修正Bessel函數(shù)；K0（x）為零階第2類修正Bessel函數(shù)。

聯(lián)立內(nèi)外邊界條件并根據(jù)內(nèi)外區(qū)界面條件得到式（2）和式（3）中的系數(shù)分別為

根據(jù) Ozkan 等［6-7］和 Restrepo 等［27］的研究，為了求得任意形狀裂縫的井底壓力解，對式（2）分別關(guān)于zD從0到hD和關(guān)于xD從0到LfD積分得到均勻流量面源解，再根據(jù)坐標(biāo)變換和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)得到第i條裂縫均勻流量面源解為

根據(jù)質(zhì)量守恒關(guān)系，M條裂縫的總流量等于每條裂縫流量的總和。

2.2 裂縫數(shù)學(xué)模型的建立與求解

基于 Cinco-Ley等［8］的研究，建立裂縫數(shù)學(xué)模型，經(jīng)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)之后使裂縫沿坐標(biāo)方向分布，假定所有裂縫的寬度都相等，基于滲流力學(xué)基本原理，第i條裂縫Laplace空間無因次裂縫數(shù)學(xué)模型為

2.3 儲層與裂縫模型耦合求解

在裂縫壁面處壓力和流量相等，根據(jù)裂縫模型與儲層模型在裂縫壁面處的銜接條件得到井底壓力解。因此，有如下表達(dá)式：

將式（4）、式（9）和式（10）代入式（8）得到

式（11）中含有Fredholm積分方程，直接求解比較困難，基于均勻流量模型解，將每條裂縫離散為N 段，每段流量均不變，式（6）和式（11）離散之后的表達(dá)式為

式中：Δ rDi為第i條裂縫第j個(gè)網(wǎng)格步長；rwDi,j為第i條裂縫第j個(gè)網(wǎng)格中點(diǎn)；rDi,j為第i條裂縫第j個(gè)網(wǎng)格端點(diǎn)；M為裂縫條數(shù)；N為裂縫離散個(gè)數(shù)。

利用上述M×N+1個(gè)方程組求得M×N+1個(gè)未知數(shù)，從而求得井底壓力解。

當(dāng)裂縫條數(shù)M=2時(shí)，裂縫不對稱因子定義為

根據(jù)Duhamel原理，考慮井儲和表皮效應(yīng)影響時(shí)無因次井底壓力表示為

3 模型驗(yàn)證與特征曲線分析

3.1 模型驗(yàn)證

在進(jìn)行模型驗(yàn)證時(shí)，如果本文模型M=2，Lf1=20，Lf2=60，θ1=0°，θ2=180°，該模型就可以簡化為不對稱垂直裂縫，并與文獻(xiàn)［11］針對不對稱垂直裂縫的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。對于有限導(dǎo)流裂縫而言，裂縫導(dǎo)流能力的大小對于計(jì)算的準(zhǔn)確性和精度都有很大的影響，因此，分別取無因次裂縫導(dǎo)流能力為1和10進(jìn)行對比，從圖3可以看出無論無因次裂縫導(dǎo)流能力是大還是小，文獻(xiàn)［11］的計(jì)算結(jié)果都能與本文簡化模型計(jì)算結(jié)果吻合。需要注意的是，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力很低時(shí)，將單個(gè)裂縫離散的段數(shù)越多，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確。

圖3 模型驗(yàn)證對比Fig.3 Comparison of model verification

3.2 特征曲線分析

圖4為復(fù)合油藏多段壓裂水平井復(fù)雜裂縫分布井底壓力響應(yīng)特征曲線。根據(jù)壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征，該典型特征曲線可以分為9個(gè)流動階段：第Ⅰ階段為井儲階段，純井儲階段該曲線特征表現(xiàn)為壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線重合，且斜率均為1；第Ⅱ階段為雙線性流階段，該階段儲層內(nèi)流體向裂縫流動和裂縫內(nèi)流體向井筒流動同時(shí)發(fā)生，理想狀態(tài)下該階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為1/4的直線；第Ⅲ階段為線性流階段，該階段只有儲層內(nèi)流體向裂縫流動，理想狀態(tài)下該階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為1/2的直線；第Ⅳ階段為早期橢圓流階段，該階段為流體圍繞單個(gè)裂縫的橢圓流；第Ⅴ階段為早期徑向流階段，該階段為流體圍繞單個(gè)裂縫的徑向流，壓力導(dǎo)數(shù)曲線為0.5/M的水平線；第Ⅵ階段為過渡流階段；第Ⅶ階段為內(nèi)區(qū)徑向流階段，該階段為內(nèi)區(qū)流體圍繞水平井的徑向流，壓力導(dǎo)數(shù)曲線為0.5的水平線；第Ⅷ階段為內(nèi)區(qū)向外區(qū)過渡流階段；第Ⅸ階段為外區(qū)徑向流階段，該階段為整個(gè)儲層流體圍繞水平井的徑向流，表現(xiàn)為外區(qū)徑向流特征，壓力導(dǎo)數(shù)曲線為0.5 M12的水平線。

圖4 復(fù)合油藏多段壓裂水平井復(fù)雜裂縫分布井底壓力響應(yīng)特征曲線Fig.4 Wellbore pressure response curve of multi-stage fractured horizontal well with complex fracture in composite reservoirs

3.3 裂縫分布對曲線的影響

圖5為裂縫分布方式對壓力響應(yīng)特征曲線的影響。地層應(yīng)力分布不均勻和射孔壓裂都會導(dǎo)致壓裂裂縫呈現(xiàn)出不對稱分布、單側(cè)交錯分布、不對稱交錯分布及呈一定夾角分布。單裂縫呈現(xiàn)出不對稱分布時(shí)，裂縫不對稱只影響早期線性流和雙線性流階段壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的變化，裂縫越不對稱，早期階段流體流入井筒所消耗的壓力越大，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線均越高［圖5（a）］。在水平井長度和裂縫條數(shù)相等的條件下，當(dāng)沿水平井一側(cè)壓開或以一定的夾角兩側(cè)壓開時(shí)，裂縫與井筒夾角越小，流體流入裂縫所消耗的壓降越大。當(dāng)裂縫單側(cè)壓開時(shí)，由于b情形縫間距離是c情形的一半，因此，早期徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線低［圖5（b）］。當(dāng)裂縫呈a，b，c等3種情形分布時(shí)，c情形下流體流入井筒所消耗的壓力最低。當(dāng)裂縫與井筒存在一定夾角時(shí)，裂縫與水平井筒所存在的夾角越小，裂縫所控制的流體范圍越小，裂縫與裂縫之間的干擾性越強(qiáng)，因此，裂縫與井筒之間的夾角越小，雙對數(shù)坐標(biāo)壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線均越高［圖5（c）］。裂縫交錯分布可以有效地?cái)U(kuò)大裂縫控制區(qū)域，當(dāng)裂縫呈現(xiàn)不對稱式交錯分布時(shí)，裂縫與裂縫之間長短互補(bǔ)可以有效地使井筒附近流體流入井筒時(shí)所消耗的壓力變小，因此，相比于對稱分布和不對稱分布，當(dāng)裂縫呈不對稱交錯分布時(shí)早期壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線均最低［圖5（d）］。

圖5 裂縫分布方式對壓力響應(yīng)特征曲線的影響Fig.5 Effects of fracture distribution on wellbore pressure response curves

結(jié)合以上幾種裂縫分布方式來看，當(dāng)裂縫呈不對稱交錯分布時(shí)可以更有效地降低流體流入井筒所消耗的壓力，從而可以最大限度地提高單井產(chǎn)量。因此，在實(shí)際壓裂過程中應(yīng)避免裂縫不對稱分布、單側(cè)分布及呈夾角分布的情形。

3.4 內(nèi)區(qū)半徑大小和流度比對曲線的影響

圖6反映了內(nèi)區(qū)半徑大小和流度比對壓力響應(yīng)特征曲線的影響。水平井體積壓裂之后所形成的內(nèi)區(qū)大小和內(nèi)區(qū)滲透率大小都對壓力響應(yīng)特征曲線有很大的影響。內(nèi)區(qū)半徑主要影響內(nèi)區(qū)徑向流持續(xù)時(shí)間長短和曲線形態(tài)，較大的內(nèi)區(qū)半徑容易形成內(nèi)區(qū)徑向流，因此，在壓力導(dǎo)數(shù)曲線上其0.5水平線也越長；此外，內(nèi)區(qū)半徑越大，儲層改造范圍越大，流體流入井筒所消耗的壓力損失越小，對應(yīng)的壓力曲線越靠下［圖6（a）］。內(nèi)外區(qū)流度比是指徑向復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)與外區(qū)流動系數(shù)比值的大小，內(nèi)外區(qū)流度比越大，外區(qū)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)值為0.5 M12的水平線越高。由于內(nèi)區(qū)滲透率增大，流體流動阻力減小，因此，內(nèi)外區(qū)流度比越大，對應(yīng)的壓力曲線越高［圖6（b）］。

圖6 內(nèi)區(qū)半徑（a）和內(nèi)外區(qū)流度比（b）對壓力響應(yīng)特征曲線的影響Fig.6 Effects of inner radius（a）and mobility ratio（b）on wellbore pressure response curves

4 結(jié)論

（1）綜合考慮裂縫不對稱、裂縫夾角等因素，建立了徑向復(fù)合油藏多段壓裂水平井復(fù)雜裂縫分布試井?dāng)?shù)學(xué)模型，通過Laplace變換和Stehfest數(shù)值反演得到了定產(chǎn)條件下的井底壓力解。通過對比、分析，驗(yàn)證了本文模型的正確性。

（2）根據(jù)壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征，本文模型壓力動態(tài)特征曲線主要的流動階段有6個(gè)，即井儲階段（斜率為1）、雙線性流階段（斜率為1/4）、線性流階段（斜率為1/2）、早期徑向流階段（0.5/M水平線）、內(nèi)區(qū)徑向流階段（0.5水平線）和外區(qū)徑向流階段（0.5 M12水平線）。

（3）綜合分析各種裂縫分布方式，當(dāng)裂縫不對稱交錯分布時(shí)壓裂改造效果最好，壓力曲線越低；內(nèi)區(qū)半徑越大，內(nèi)外區(qū)流度比越小，外區(qū)徑向流階段壓力曲線越靠下。