白 金，陳曲珊，樊寬軍

(華中科技大學(xué) 強(qiáng)電磁工程與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074)

束團(tuán)長(zhǎng)度是高性能電子加速器束流參數(shù)的重要指標(biāo)之一，尤其是在自由電子激光領(lǐng)域，往往需要通過(guò)相位調(diào)制、磁壓縮等技術(shù)來(lái)獲得亞ps級(jí)的超短電子束團(tuán)，從而提高自由電子激光的增益和亮度。因此，束團(tuán)長(zhǎng)度測(cè)量對(duì)了解此類(lèi)機(jī)器的運(yùn)行狀態(tài)、優(yōu)化運(yùn)行參數(shù)有重要意義。目前，針對(duì)超短電子束團(tuán)長(zhǎng)度測(cè)量的方法主要有相干輻射光譜法、條紋相機(jī)法、射頻偏轉(zhuǎn)腔測(cè)量法等[1-3]。偏轉(zhuǎn)腔測(cè)量法直接以束流本身為被測(cè)量信號(hào)，可實(shí)現(xiàn)單發(fā)測(cè)量，在穩(wěn)定性和普適性上具有一定優(yōu)勢(shì)，因而被各類(lèi)加速器機(jī)構(gòu)深入研究[4-10]。本文建立基于偏轉(zhuǎn)腔的束團(tuán)長(zhǎng)度測(cè)量系統(tǒng)的模型，對(duì)該模型的約束條件進(jìn)行分析，為計(jì)算束團(tuán)長(zhǎng)度提供理論依據(jù)。采用粒子跟蹤軟件Parmela進(jìn)行束流動(dòng)力學(xué)模擬，根據(jù)仿真結(jié)果計(jì)算測(cè)量點(diǎn)的束團(tuán)長(zhǎng)度，驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性。

1 測(cè)量模型

圖1 偏轉(zhuǎn)腔束團(tuán)長(zhǎng)度測(cè)量系統(tǒng)模型Fig.1 Model of bunch length diagnostic system based on deflecting cavity

偏轉(zhuǎn)腔對(duì)束團(tuán)不同縱向位置的粒子施加不同的橫向踢力，使得束團(tuán)的縱向長(zhǎng)度與橫向偏轉(zhuǎn)角產(chǎn)生對(duì)應(yīng)關(guān)系，偏轉(zhuǎn)腔束團(tuán)長(zhǎng)度測(cè)量系統(tǒng)的模型如圖1所示。電子束經(jīng)過(guò)偏轉(zhuǎn)腔作用后，漂移至下游熒光屏上成像。若采用薄透鏡近似模型，偏轉(zhuǎn)腔的作用可由其中心產(chǎn)生的單次剪切力近似描述[2]。假設(shè)偏轉(zhuǎn)腔系統(tǒng)中腔體的縱向長(zhǎng)度為D，腔體與電子槍之間的距離為D0，與熒光屏之間的距離為L(zhǎng)。本文以駐波矩形腔為例，諧振模式為T(mén)M120模，工作頻率為2 856 MHz，依靠磁場(chǎng)對(duì)粒子進(jìn)行偏轉(zhuǎn)?？杉僭O(shè)束團(tuán)中心經(jīng)過(guò)腔體中心時(shí)磁場(chǎng)相位為0(約定磁場(chǎng)作正弦變化)。利用偏轉(zhuǎn)腔束團(tuán)長(zhǎng)度測(cè)量系統(tǒng)的模型，通過(guò)測(cè)量熒光屏處(C點(diǎn))的束團(tuán)橫向尺寸倒推出偏轉(zhuǎn)腔出口處(B點(diǎn))的束團(tuán)偏轉(zhuǎn)角，再找到這一角度與偏轉(zhuǎn)腔入口處(A點(diǎn))束團(tuán)長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此計(jì)算出束團(tuán)長(zhǎng)度。在實(shí)際測(cè)量中，需分別測(cè)量偏轉(zhuǎn)腔在工作狀態(tài)(on)和非工作狀態(tài)(off)時(shí)熒光屏上的束團(tuán)橫向尺寸[11-13]。

1.1 A點(diǎn)到B點(diǎn)

偏轉(zhuǎn)腔出口處粒子的工作狀態(tài)可用入口處粒子的工作狀態(tài)來(lái)表示。根據(jù)束流傳輸理論和偏轉(zhuǎn)腔工作原理，可將偏轉(zhuǎn)腔的傳輸矩陣Rd表示為：

(1)

束流矩陣的變換關(guān)系可表示為：

(2)

其中：σ0為束團(tuán)進(jìn)入偏轉(zhuǎn)腔前的束流矩陣；σ為束團(tuán)經(jīng)過(guò)1個(gè)束流傳輸元件后的束流矩陣。記束流傳輸矩陣元為σmn，并用上標(biāo)A、B、C表示不同位置處的束流矩陣參數(shù)，用上標(biāo)on和off分別表示偏轉(zhuǎn)腔工作狀態(tài)與非工作狀態(tài)時(shí)的束流矩陣參數(shù)。由式(1)、(2)可得到:

(3)

(4)

(5)

當(dāng)偏轉(zhuǎn)腔處于非工作狀態(tài)時(shí)，整個(gè)腔體等效為長(zhǎng)度為D的漂移段，根據(jù)束流傳輸理論，其偏轉(zhuǎn)方向的傳輸矩陣RL可表示為：

(6)

則由式(2)、(6)可得到：

(7)

(8)

(9)

由以上關(guān)系可知，B點(diǎn)的粒子狀態(tài)可用A點(diǎn)的粒子狀態(tài)表示，所研究的問(wèn)題則可轉(zhuǎn)化為求解B點(diǎn)粒子狀態(tài)和C點(diǎn)粒子狀態(tài)之間的關(guān)系。

1.2 B點(diǎn)到C點(diǎn)

從B點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，其傳輸矩陣同式(6)。根據(jù)式(2)可得到：

(10)

當(dāng)偏轉(zhuǎn)腔處于非工作狀態(tài)時(shí)，熒光屏上束流矩陣參數(shù)有相似的表達(dá)形式：

(11)

用式(10)減去式(11)可得到：

(12)

將式(3)～(5)、(7)～(9)代入式(12)得到(一般的束團(tuán)滿足σ15=σ25=0)：

(13)

將熒光屏上測(cè)得的偏轉(zhuǎn)方向上的束團(tuán)橫向尺寸與偏轉(zhuǎn)腔入口處束團(tuán)的縱向長(zhǎng)度建立聯(lián)系，只需解得偏轉(zhuǎn)腔傳輸矩陣中的矩陣元R25，即可求出束團(tuán)的長(zhǎng)度?？捎墒鱾鬏斃碚摰玫狡D(zhuǎn)腔處于工作狀態(tài)和非工作狀態(tài)時(shí)，束團(tuán)產(chǎn)生的偏角之差Δy′為：

Δy′=R25σz

(14)

其中，σz為束團(tuán)縱向尺寸的均方根值。這一偏角差值可用橫向動(dòng)量與縱向動(dòng)量的比值表示為：

(15)

其中：p⊥為束團(tuán)橫向動(dòng)量；pz為束團(tuán)縱向動(dòng)量；q為粒子電荷量；k為偏轉(zhuǎn)場(chǎng)的波數(shù)；c為自由空間中的光速；Vd為偏轉(zhuǎn)電壓有效值；φ為束團(tuán)中心在經(jīng)過(guò)腔體中心時(shí)的相位。當(dāng)滿足λ遠(yuǎn)大于σz且φ=0時(shí)，利用式(13)～(15)可推導(dǎo)出束團(tuán)長(zhǎng)度σt計(jì)算公式為：

(16)

其中，ω為偏轉(zhuǎn)場(chǎng)的角頻率。根據(jù)束流傳輸理論，束團(tuán)長(zhǎng)度的測(cè)量公式也可表示為：

(17)

其中，σon和σoff分別為偏轉(zhuǎn)腔處于工作狀態(tài)和非工作狀態(tài)時(shí)偏轉(zhuǎn)方向上的束團(tuán)橫向尺寸。

(18)

在分析過(guò)程中，用到4個(gè)近似條件:1) 初始束團(tuán)z方向與x方向無(wú)耦合關(guān)系(σ15=σ25=0)，這一條件在一般束團(tuán)中均能得到滿足；2) 認(rèn)為束團(tuán)在經(jīng)過(guò)偏轉(zhuǎn)腔后，其能量偏差項(xiàng)對(duì)其偏轉(zhuǎn)方向無(wú)影響(R16=R26=0)；3) 束團(tuán)中粒子的縱向位置的不同不會(huì)對(duì)偏轉(zhuǎn)方向上的偏移造成影響(R15=0)，實(shí)際上，這一參數(shù)是粒子相位φ的函數(shù)，當(dāng)φ=0時(shí)，R15恒等于0；4) 自由空間中的波長(zhǎng)λ遠(yuǎn)大于束團(tuán)長(zhǎng)度，當(dāng)工作頻率為2 856 MHz時(shí)，波長(zhǎng)約為105 mm，而一般所測(cè)的束團(tuán)長(zhǎng)度都在10-1mm量級(jí)，這一條件也可滿足。

2 矩形單腔體優(yōu)化

圖2 腔體與耦合器連接模型Fig.2 Connection model between cavity and coupler

本文設(shè)計(jì)的目標(biāo)是在束流能量為10 MeV、初始束團(tuán)橫向尺寸為0.3 mm、偏轉(zhuǎn)腔測(cè)量系統(tǒng)長(zhǎng)度小于1 m、饋入功率不高于1 MW時(shí)，偏轉(zhuǎn)腔系統(tǒng)的時(shí)間分辨率優(yōu)于200 fs。根據(jù)式(18)，可計(jì)算出所需的偏轉(zhuǎn)電壓至少為1.1 MV。在三維電磁場(chǎng)仿真軟件CST中建立矩形偏轉(zhuǎn)腔模型并進(jìn)行仿真?？紤]到真實(shí)的偏轉(zhuǎn)腔應(yīng)用場(chǎng)景，將圓倒角、束流管道、耦合器等對(duì)場(chǎng)分布有影響的因素考慮在內(nèi)進(jìn)行模擬。由于偏轉(zhuǎn)腔中依靠磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)束團(tuán)，對(duì)束流不做功，也不存在束流負(fù)載效應(yīng)，因而為了將微波功率更好地饋入到腔體中，耦合器的最佳耦合度應(yīng)為1。耦合器與腔體的連接如圖2所示，耦合度主要通過(guò)修改耦合孔的尺寸進(jìn)行調(diào)節(jié)。設(shè)定耦合孔的寬度為n，高度為m，由于耦合孔高度將影響連接處的機(jī)械強(qiáng)度，故綜合考慮后選擇m=1 mm。用CST進(jìn)行仿真后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=10.16 mm時(shí)，反射系數(shù)最小可達(dá)-36 dB，對(duì)應(yīng)的耦合度為1.05。確定偏轉(zhuǎn)腔結(jié)構(gòu)后，通過(guò)選擇合適的功率源、偏轉(zhuǎn)腔與熒光屏距離等系統(tǒng)參數(shù)，來(lái)實(shí)現(xiàn)所需的分辨率[14-16]。優(yōu)化后的偏轉(zhuǎn)腔束團(tuán)長(zhǎng)度測(cè)量系統(tǒng)參數(shù)列于表1?？紤]到該系統(tǒng)的長(zhǎng)度要求小于1 m，漂移段長(zhǎng)度選擇L=0.8 m。當(dāng)饋入功率為1 MW、諧振模式為T(mén)M120模、工作頻率為2 856 MHz時(shí)，最優(yōu)的矩形腔腔體尺寸為120.59 mm×106.64 mm×47.25 mm，此時(shí)偏轉(zhuǎn)腔能達(dá)到的最大偏轉(zhuǎn)電壓為1.2 MV。根據(jù)式(18)，偏轉(zhuǎn)腔系統(tǒng)的時(shí)間分辨率可達(dá)182 fs，在理論上滿足設(shè)計(jì)要求。

表1 偏轉(zhuǎn)腔束團(tuán)長(zhǎng)度測(cè)量系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameter of deflecting cavity bunch length diagnostic system

3 束流仿真

將CST仿真得到的電磁場(chǎng)數(shù)據(jù)導(dǎo)入Parmela后，即可進(jìn)行粒子跟蹤。束團(tuán)參數(shù)列于表2，圖3為當(dāng)偏轉(zhuǎn)腔處于不同工作狀態(tài)時(shí)熒光屏上對(duì)應(yīng)的束團(tuán)橫向尺寸，在偏轉(zhuǎn)方向上，這一尺寸從0.3 mm增加到0.88 mm。根據(jù)式(17)，可計(jì)算得到初始的束團(tuán)長(zhǎng)度為504 fs，這一計(jì)算值與理論值之間有0.8%的誤差。

這里需要說(shuō)明的是，在進(jìn)行束流動(dòng)力學(xué)模擬的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)束團(tuán)中心參考粒子相位設(shè)置為理想相位后，下游熒光屏上得到的束團(tuán)仍有一段較小的橫向偏移。通過(guò)研究偏轉(zhuǎn)場(chǎng)對(duì)粒子的作用過(guò)程發(fā)現(xiàn)，參考粒子在通過(guò)駐波偏轉(zhuǎn)場(chǎng)時(shí)，不同縱向位置處的場(chǎng)相位不同，雖然在理想相位下注入可保證參考粒子通過(guò)偏轉(zhuǎn)腔后的橫向動(dòng)量增量為0，但橫向位置偏移不為0，該偏移在束團(tuán)下游漂移過(guò)程中也一直存在，但由于這一較小的偏移對(duì)束團(tuán)橫向尺寸的測(cè)量幾乎沒(méi)有影響，因此可忽略不計(jì)。當(dāng)束團(tuán)注入相位為非理想相位時(shí)，計(jì)算所得束團(tuán)長(zhǎng)度與參考粒子偏離中心線距離如圖4所示。相位的偏差對(duì)熒光屏上束團(tuán)橫向尺寸造成的影響可忽略不計(jì)，即此時(shí)計(jì)算得到的束團(tuán)長(zhǎng)度不會(huì)有太大誤差。但需注意的是，相位偏差會(huì)對(duì)參考粒子在下游熒光屏上的位置造成很大的影響，當(dāng)參考粒子遠(yuǎn)離束流中心線時(shí)，會(huì)給實(shí)際測(cè)量束團(tuán)橫向尺寸帶來(lái)一定困難。

表2 束團(tuán)參數(shù)Table 2 Bunch parameter

a——非工作狀態(tài)；b——工作狀態(tài)圖3 熒光屏上的束團(tuán)橫向尺寸Fig.3 Transverse size of bunch on screen

圖4 束團(tuán)長(zhǎng)度與參考粒子偏離中心線距離Fig.4 Bunch length and reference particle off centerline distance

4 小結(jié)

本文通過(guò)建立基于RF偏轉(zhuǎn)腔測(cè)量電子束團(tuán)長(zhǎng)度系統(tǒng)的模型，從束流的角度對(duì)偏轉(zhuǎn)腔測(cè)量束團(tuán)長(zhǎng)度的理論進(jìn)行推導(dǎo)，為束團(tuán)長(zhǎng)度的計(jì)算提供依據(jù)。用三維電磁場(chǎng)仿真軟件CST進(jìn)行仿真，得到了最優(yōu)的單腔腔體尺寸和最優(yōu)的耦合器尺寸，偏轉(zhuǎn)腔測(cè)量系統(tǒng)的時(shí)間分辨率達(dá)到182 fs，滿足了設(shè)計(jì)要求。將仿真得到的場(chǎng)分布導(dǎo)入Parmela軟件中進(jìn)行粒子跟蹤，分析了束團(tuán)在熒光屏上產(chǎn)生橫向偏移的原因，驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。