白素芳

幾何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的作用，它能使一些抽象的概念變得非常的形象，但是其又靈活多變，與很多知識(shí)都有著聯(lián)系，比如方程、不等式等。初二學(xué)生初次接觸幾何證明，由于研究對(duì)象從數(shù)變到形，研究方法也以運(yùn)算為主轉(zhuǎn)到以推理為主，以前只是簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)了一些平面幾何圖形，對(duì)于圖形的性質(zhì)及判定都是全新的概念，這就需要學(xué)生從知識(shí)的學(xué)習(xí)、技能和能力的形成，還有學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面作調(diào)整來(lái)適應(yīng)新知識(shí)的學(xué)習(xí)。

由此引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用幾何語(yǔ)言證明幾何問(wèn)題是學(xué)習(xí)平面幾何起始階段的關(guān)鍵工作，將為進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何證明打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

一、使學(xué)生初具論證的能力

1、.要求學(xué)生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)。

在這個(gè)基礎(chǔ)上我們才能談如何學(xué)好的問(wèn)題，要求學(xué)習(xí)在熟記定義、定理的同時(shí)，要養(yǎng)成能根據(jù)圖形據(jù)理敘述的習(xí)慣，而在文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言三者互相轉(zhuǎn)換時(shí)一定要做到準(zhǔn)確無(wú)誤。例如我們?cè)谧C明相似的時(shí)候，圖形中已找到兩個(gè)三角形相似，而且也確定要使用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等的方法時(shí)，必須注意所找的角是兩邊的夾角，而不能是其它內(nèi)角，像這樣的細(xì)節(jié)，我們必須在平時(shí)就要引起足夠的重視并且牢固掌握。

平時(shí)一些學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固，就會(huì)出現(xiàn)主觀臆斷，做不到有理有據(jù)，把自己的主觀思想強(qiáng)加于題目來(lái)達(dá)到結(jié)果。例如，有這樣的一道題，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，如圖①所示試觀察比較 的周長(zhǎng)與 的周長(zhǎng)的大小，并說(shuō)明理由。有一位同學(xué)在做輔助線時(shí)，寫(xiě)道連接AD，但圖上并沒(méi)有D點(diǎn)。我問(wèn)他“D點(diǎn)在哪？”他說(shuō)：“D點(diǎn)在BC上”，我又追問(wèn)：“你從題目的哪方面確定D點(diǎn)在BC上？”他回答不知道，“那你怎么確定的D點(diǎn)”我繼續(xù)追問(wèn)。他說(shuō)是連接AP并延長(zhǎng)AP就和BC有交點(diǎn)是D點(diǎn)。很顯然，他的想法和他寫(xiě)出來(lái)的完全不是一回事，這也從側(cè)面反映出他幾何語(yǔ)言應(yīng)用不熟練。同樣的一道題，還有一位同學(xué)在做題時(shí)連接AP，要用到在三角形中，兩邊之和大于第三邊，但他在應(yīng)用時(shí)就忽略了前提條件是在三角形中，需指出哪個(gè)三角形中，不在同一個(gè)三角形的兩邊之和是不能和第三邊作比較的。顯然他的基礎(chǔ) 知識(shí)學(xué)的不過(guò)關(guān)，不能準(zhǔn)確地用幾何語(yǔ)言寫(xiě)出證明過(guò)程。

2、.要學(xué)會(huì)看圖。

學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)看規(guī)范 易懂的圖形，還要善于觀察復(fù)雜的圖形中的基本圖形，把復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化。平時(shí)注意把基本圖形歸類(lèi)，讓學(xué)生熟悉掌握。說(shuō)到圖形，難免用到輔助線的作法，把大問(wèn)題細(xì)化成各個(gè) 小問(wèn)題，從而各個(gè)擊破，解決問(wèn)題。在對(duì)一個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有切實(shí)的解決辦法時(shí)，要善于捕捉題目中的關(guān)鍵詞，例如在一個(gè)非直角三角形中出現(xiàn)了特殊的角，就應(yīng)該馬上想到作垂直構(gòu)造直角三角形，因?yàn)樘厥饨侵挥性谔厥庑沃胁拍馨l(fā)揮作用。再比如在園中出現(xiàn)了直徑，馬上就應(yīng)該想到連出90°的圓周角。遇到梯形問(wèn)題都有哪些輔助線可作，然后再具體問(wèn)題具體分析。舉個(gè)例子說(shuō)，如果題目中說(shuō)到梯形的腰的中點(diǎn)，第一要想到梯形的中位線，第二要想到可以過(guò)一腰的中點(diǎn)平移另一腰，第三必須想到可以連接一個(gè)頂點(diǎn)和腰的中點(diǎn)，然后延長(zhǎng)去構(gòu)造全等三角形。做到這些要在平時(shí)訓(xùn)練時(shí)注意要求學(xué)生歸納總結(jié)，讓學(xué)生系統(tǒng)練習(xí)，總結(jié)模型，學(xué)會(huì)應(yīng)用、套用題目模型，熟練添加輔助線去挖掘圖形中的隱藏屬性。

3、.要求學(xué)生學(xué)會(huì)全面考慮問(wèn)題。

幾何證明的思維方法是多種多樣的，在教學(xué)中要努力挖掘和開(kāi)拓學(xué)生的思維能力。在幾何的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到分兩種或多種情況來(lái)解決的問(wèn)題，那么怎么能更好地解決這部分問(wèn)題呢？這要靠平時(shí)的點(diǎn)滴積累，對(duì)比較常見(jiàn)的分情況考慮的問(wèn)題要熟悉。例如遇到等腰三角形的角要考慮是頂角還是底角，說(shuō)到等腰三角形的邊要考慮是底還是腰，說(shuō)到過(guò)一點(diǎn)作直線和圓相交，要考慮到點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系，所以要畫(huà)出三種圖形。這樣的情況在幾何學(xué)習(xí)中是非常常見(jiàn)的，這要求在平時(shí)注意練習(xí)和積累。學(xué)生只有熟悉這種問(wèn)題，做題時(shí)才會(huì)做到不重不漏。

二、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程

1、.畫(huà)圖

幾何題一般要根據(jù)題意畫(huà)出圖形，書(shū)寫(xiě)過(guò)程中的字母和數(shù)字也要與圖形一致，這樣的圖形能幫助學(xué)生理解題意，便于論證。例如在RT△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°O為BC的中點(diǎn)，如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)，移動(dòng)中AN=BM，請(qǐng)判斷△OMN的形狀并證明你的結(jié)論。正確畫(huà)出圖形是關(guān)鍵。再如證明兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等。對(duì)于這種題型，我們須先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知求證，才能書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程。

2、.書(shū)寫(xiě)：書(shū)寫(xiě)規(guī)范條理是幾何證明的重要部分

（1）在教學(xué)中結(jié)合簡(jiǎn)單的推理“三段論”法。

許多同學(xué)在幾何證明時(shí)，并不能給出嚴(yán)密的邏輯推理，而是羅列一些定義、定理或是公理，而這樣做非但起不到證明的目的，反而更是讓自己找不到一個(gè)方向，尋不到一條出路。同學(xué)們就像是走迷宮一樣，每一個(gè)不同的出路都走不下去，走不到頭，最終題目也不可能順利完整的進(jìn)行解答，而 “三段論”這一方法便可省略“大前提”直接書(shū)寫(xiě)“小前提”便是由常規(guī)推理符號(hào)∵引出已知條件部分，結(jié)論便是由符號(hào)∴引出的相關(guān)結(jié)果。例如題目：如圖（2），

已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，問(wèn)直線

DF與AE平行嗎？

解：等角的余角相等（大前提）

∠1=∠2，∠1與∠3互余∠2與∠4互余（小前提）

∠3=∠4（結(jié)論）

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（大前提）

∠3與∠4為內(nèi)錯(cuò)角，∠3=∠4（小前提）

DF∥AE（結(jié)論）

選擇幾何命題，對(duì)照答案要求學(xué)生獨(dú)立閱讀思考，然后填注理由，這樣深化了對(duì)概念定理等的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步熟悉推理過(guò)程，步驟及推理論證思路，培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力。

（2）書(shū)寫(xiě)步驟。

在推理過(guò)程的敘述中要分三步書(shū)寫(xiě)：1、講原因，以∵符號(hào)開(kāi)頭，寫(xiě)出小前提；2、講結(jié)論，以∴符號(hào)開(kāi)頭寫(xiě)出結(jié)果；3、講清依據(jù)，把大前提寫(xiě)在結(jié)果后的括號(hào)內(nèi)。

（3）注意條理。

由于復(fù)雜的推理是由若干簡(jiǎn)單推理組成的，因此要讓學(xué)生組織好推理步驟。

例如：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC與點(diǎn)E，求證∠AFD=∠CBE

根據(jù)結(jié)論∠AFD=∠CBE，我們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角既不在同一個(gè)三角形內(nèi)，也放不到全等三角形的對(duì)應(yīng)角上，我們只能找中間等量關(guān)系來(lái)證明。根據(jù)棱形的性質(zhì)，對(duì)邊平行，我們發(fā)現(xiàn)∠AFD=∠CDE通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)△CBE≌△CDE得出∠CBE=∠CDE故此得出結(jié)論。以下是推理步驟：

證明：∵四邊形ABCD是菱形

∴CB=CD CA平分∠DCE

∴∠BCE=∠DCE

又CE=CE

∴△CBE≌△CDE（SAS）

∴∠CBE=∠CDE

∵在菱形ABCD中，AB∥CD

∴∠AFD=∠CDE

∴∠AFD=∠CBE

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明，僅通過(guò)較短時(shí)間的強(qiáng)化訓(xùn)練是不夠的，必須在初中數(shù)學(xué)（幾何）教學(xué)的各個(gè)階段各個(gè)環(huán)節(jié)上有計(jì)劃、按步驟實(shí)施，才能見(jiàn)效。