熊寧欣,王應(yīng)明

(福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福州 350108)

由于客觀現(xiàn)實的復(fù)雜性和信息的模糊性,決策問題研究面臨著大量的不確定性.在不確定性多屬性決策領(lǐng)域,通過模糊數(shù)學(xué)[1]、概率統(tǒng)計等經(jīng)典方法處理不確定性問題的研究已趨于成熟,而灰色系統(tǒng)理論[2,3]自80年代由中國學(xué)者鄧聚龍教授創(chuàng)立以來,產(chǎn)生了廣泛的國際影響,得到了眾多學(xué)者廣泛的關(guān)注和深入的研究.灰數(shù)是灰色系統(tǒng)理論的基本單元,針對模糊數(shù)學(xué)與統(tǒng)計概率難以描述的不確定信息,主要通過對部分已知信息進(jìn)行生成和開發(fā)以提取和分析有價值的信息,實現(xiàn)對不確定系統(tǒng)的準(zhǔn)確描述.

針對屬性值為區(qū)間灰數(shù)的不確定多熟悉決策問題,謝乃明和劉思峰[4]深入研究了灰數(shù)的排序問題,針對連續(xù)型灰數(shù)與區(qū)間型灰數(shù)分別給出排序規(guī)則.王堅強(qiáng)等[5]針對概率和信息值均為區(qū)間灰數(shù)的灰色風(fēng)險型多屬性決策問題,提出一種基于前景理論的決策方法,采用離差最大化思想對方案進(jìn)行排序.閆書麗等人[6]研究了信息值為區(qū)間灰數(shù),指標(biāo)權(quán)重未知的動態(tài)風(fēng)險決策問題,提出一種基于累積前景理論和灰靶思想的決策方法.王俊杰和黨耀國[7]構(gòu)建了兩個區(qū)間灰數(shù)間比較的可能度函數(shù),通過在灰數(shù)區(qū)間上積分,求得兩區(qū)間灰數(shù)間排序的可能度大小.劉中俠和劉思峰等[8]利用基于區(qū)間灰數(shù)相離度的灰色關(guān)聯(lián)分析法解決屬性值為區(qū)間灰數(shù)的多屬性決策問題,計算綜合關(guān)聯(lián)相對貼近度,以給出備選方案的優(yōu)劣排序.在目前已有的研究中,許多方法仍是參照區(qū)間數(shù)排序問題提出,或?qū)^(qū)間灰數(shù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)或?qū)崝?shù)進(jìn)行計算,這些方法忽視了區(qū)間灰數(shù)的本質(zhì)特征,無法充分利用區(qū)間灰數(shù)的原始信息.

綜上,本文針對屬性值為區(qū)間灰數(shù),考慮決策者主觀風(fēng)險偏好的多屬性決策問題,提出了基于前景理論和證據(jù)推理的區(qū)間灰數(shù)決策方法.首先,定義保留區(qū)間灰數(shù)特性的距離測度公式,計算方案屬性值與正負(fù)理想解之間的偏差程度.其次,構(gòu)建基于距離測度的前景價值函數(shù),依據(jù)相對于參照點的收益和損失建立前景價值矩陣.最后,運用證據(jù)推理算法綜合前景值,通過實例驗證該方法的有效性.

1 預(yù)備知識

1.1 區(qū)間灰數(shù)

定義1[9].灰數(shù) ?是指依賴于某一背景或命題P下的命題信息p(θ),在某一個覆蓋集合D內(nèi)取值的不知其確切取值的實數(shù),取值范圍內(nèi)包含其唯一真值d*.灰數(shù)的定義為：

定義2[4].設(shè)D為灰數(shù) ?的覆蓋集合,集合D可能是某個區(qū)間或一般的數(shù)集,根據(jù)數(shù)值覆蓋集合可將灰數(shù)分為離散型和連續(xù)型兩類.

1) 若D為一個離散集合,稱灰數(shù)?為離散型灰數(shù),記為? ??d*∈D,D=[d1,d2,···,dn],θ ∈D,p(θ).

2)既有下界又有上界的灰數(shù)稱為連續(xù)型灰數(shù),也稱為區(qū)間灰數(shù).若D為一個連續(xù)集合(即區(qū)間集合),記???d*∈D,D=[a,b],θ ∈D,p(θ),a和b分別稱為區(qū)間灰數(shù) ?的下界和上界.

相較于區(qū)間數(shù),區(qū)間灰數(shù)內(nèi)每一點的取值可能性不相等,依據(jù)決策者掌握的信息,區(qū)間內(nèi)最可能為真值的點的取值可能性最大,當(dāng)區(qū)間內(nèi)每一點的取值可能性都相等,即對于任意 θi,θj∈D,有p(θi)=p(θj),區(qū)間灰數(shù)退化為傳統(tǒng)的區(qū)間數(shù).

在實際灰色決策問題中,灰數(shù)最常見的表現(xiàn)形式為區(qū)間灰數(shù),本文以討論區(qū)間灰數(shù)為主.

定義3[10].區(qū)間灰數(shù) ?∈[a,b]的最大可能取值稱為白化值,用符號表示.

其中 α稱為灰數(shù)的定位系數(shù).當(dāng)α=0.5時得到的白化值稱為均值白化值.對于區(qū)間灰數(shù),灰數(shù)的均值白化值稱為核 ??：

定義4.設(shè)區(qū)間灰數(shù)?∈[a,b],稱l(?)=b-a為區(qū)間灰數(shù)的信息域.

定義5.假設(shè)兩個區(qū)間灰數(shù) ?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],兩個區(qū)間灰數(shù)之間的距離為：

定義6[6].假設(shè)兩個區(qū)間灰數(shù)?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],信息域分別記為l(?1)=b1-a1和l(?2)=b2-a2,和分別表示區(qū)間灰數(shù)的核,若

則?1??2,否則?1??2.

定義7.假設(shè)兩個區(qū)間灰數(shù) ?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],區(qū)間灰數(shù)?1和?2的并表示為：

定義8.假設(shè)兩個區(qū)間灰數(shù) ?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],區(qū)間灰數(shù)?1和?2的交表示為：

1.2 前景理論

前景理論由Kahneman和Tversky[11]在1979年提出,它以人的“有限理性”為前提,反映了決策者的主觀風(fēng)險偏好.

定義9[12].Tversky和Kahneman 給出了價值函數(shù)的具體形式是：

上述公式中,α和β稱為風(fēng)險態(tài)度系數(shù),分別表示價值函數(shù)在收益和損失區(qū)域的凹凸程度,滿足條件0 ≤α,β ≤1.σ為損失規(guī)避(厭惡)系數(shù),表示相對于收益,決策者對損失更加敏感,σ＞1.Δx表示結(jié)果相對于參照點的收益或損失,Δx≥0表示收益,Δ ≤0表示損失.

1.3 證據(jù)推理理論

證據(jù)推理方法建立在證據(jù)理論[13,14]和不確定決策理論的基礎(chǔ)上,自Yang[15]首次提出以來,經(jīng)過20 多年的發(fā)展已稱為處理不確定信息的重要工具.證據(jù)推理算法具體如下所示：

Step 1.在證據(jù)推理框架中,方案ai(i=1,2,···,m)在屬性cj(j=1,2,···,n)下的屬性值表示證據(jù),在使用證據(jù)推理算法前需要將證據(jù)轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一的信度結(jié)構(gòu).定義一 組 評 價 集H={Hn|Hn?Hn+1,n=1,2,···,N},假 設(shè)βn,i表示方案在屬性cj下被評價為等級Hn的信任度,方案在屬性cj下的置信度分布評價表示為：

Step 2.計算基本概率分配及未分配概率.

定義10[16].令mn,i為基本概率分配函數(shù),表示方案在屬性cj下屬于評價等級Hn的信任度,計算公式如下：

定義11[16].令mH,i為未分配概率指派函數(shù),表示方案在屬性cj下未分配給任何評價等級Hn的信任度,計算公式如下：

未分配的概率指派函數(shù)mH,i從源頭上可分解為和兩個部分,其中表示由于權(quán)重而未分配的概率函數(shù),表示由于無知而未分配的概率函數(shù),它是因不完全評價引起的.具體計算公式如下：

Step 3.采用解析合成算法[17]對基本概率分配函數(shù)實現(xiàn)證據(jù)集成.具體算法如下所示：

βn表示方案被評價為等級Hn的 置信度,βH表示分配到確定評價等級的不確定性,綜合置信度為：

其中,評價等級Hn上的置信度范圍為βn,(βn+βH)].

2 決策模型

2.1 問題描述

考慮某屬性值為區(qū)間灰數(shù)的不確定多屬性決策問題由m個候選方案A={a1,a2,···,am},(i=1,2,···,m)及n個評價屬性C={c1,c2,···,cn},(j=1,2,···,n)組成.由于決策信息的不確定性,方案ai在 屬性cj下的屬性值表現(xiàn)為區(qū)間灰數(shù)形式xij(?)∈[,],構(gòu)成原始區(qū)間灰數(shù)決策矩陣D=[xij(?)]m×n.

2.2 改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)距離公式

如式(2)所示,傳統(tǒng)的區(qū)間灰數(shù)距離公式只考慮了灰區(qū)間的上下界測度,與區(qū)間數(shù)距離計算方法較為類似,忽略了區(qū)間數(shù)與區(qū)間灰數(shù)之間的本質(zhì)區(qū)別,得到的結(jié)果并不理想.設(shè)3 個區(qū)間灰數(shù)為?1=[-3,2],?2=[0,1],?3=[1,4],根據(jù)式(2)可得：

從上述結(jié)果可知,d(?1,?2)=d(?3,?2).實際上,?2的 取值區(qū)間在 ?1內(nèi) 且在 ?3外,應(yīng)該與 ?1的距離更為接近,理應(yīng)由d(?1,?2)＜d(?3,?2),因此該結(jié)果與實際不符.

文獻(xiàn)[6]認(rèn)為,區(qū)間灰數(shù)的真實值可能取在核的左右半個區(qū)間內(nèi)的任一點,因此距離公式應(yīng)考慮核之間的距離和兩個灰數(shù)半?yún)^(qū)間長度的不確定影響.基于此定義了如下區(qū)間灰數(shù)距離公式.

定義12[6].假設(shè)兩個區(qū)間灰數(shù)?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],區(qū)間灰數(shù)距離公式為：

該公式考慮了區(qū)間灰數(shù)的特性,主要根據(jù)灰數(shù)的核與信息域定義距離公式,但未考慮到區(qū)間灰數(shù)內(nèi)每一點的差值,容易造成信息的丟失.

因此,本文針對以上距離公式的不足,考慮區(qū)間灰數(shù)的內(nèi)在特性,通過信息補充,基于灰數(shù)的核和信息域,將兩個區(qū)間灰數(shù)內(nèi)的每一個對應(yīng)點的偏差值都考慮在內(nèi),同時剔除兩區(qū)間灰數(shù)重疊部分中任意兩點之間的偏差,給出一種改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)距離公式.

定義13.設(shè)兩個區(qū)間灰數(shù) ?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],?1的 核表示為,?2的 核表示為,l(?1)和l(?2)分 別表示倆區(qū)間灰數(shù)的信息域,ζ1=?1∩?2為兩個區(qū)間灰數(shù)的交.令：

定理1.設(shè)d(?1,?2) 為區(qū)間灰數(shù) ?1與 ?2之間的距離,則具有如下性質(zhì)：

(1)非負(fù)性：d(?1,?2)≥0.

(2) 對稱性：d(?1,?2)=d(?2,?1).

(3) 三角不等式：d(?1,?2)≤d(?1,?3)+d(?2,?3).易證本文提出的區(qū)間灰數(shù)距離公式滿足定理1 中的3 條性質(zhì).

2.3 決策模型構(gòu)建

因決策者自身認(rèn)知的局限性和外部環(huán)境的不確定性,考慮決策者主觀偏好,本文提出一種基于前景理論和證據(jù)融合的區(qū)間灰數(shù)多屬性決策方法,具體步驟如下所示：

Step 1.數(shù)據(jù)規(guī)范化

已知給定樣本數(shù)據(jù),為消除效益型、成本型屬性值,以及不同物理量綱之間的差異可能會對決策結(jié)果造成的影響,避免數(shù)量級相差過大,使各個屬性值之間具有可比性,首先需要對原始樣本進(jìn)行規(guī)范化處理.使屬性值xij(?) 規(guī) 范化后變?yōu)閤ij().

當(dāng)評價指標(biāo)為效益型時,對區(qū)間灰數(shù)的上界與下界處理如下：

當(dāng)評價指標(biāo)為成本型時,對區(qū)間灰數(shù)的上界與下界處理如下：

Step 2.選取決策參考點

前景理論是描述性范式的決策模型,考慮了不確定條件下決策者的心理行為因素.決策者根據(jù)參考點來衡量各個方案的收益和損失情況,體現(xiàn)出決策者損失規(guī)避與參照依賴等心理行為特征.因此決策參考點的選取對結(jié)果有著重要影響.本文在處理區(qū)間灰數(shù)多屬性決策問題過程中,借鑒TOPSIS 理論思想,以區(qū)間灰數(shù)正理想解和負(fù)理想解作為決策過程中的參考點.設(shè)X+(?)為正理想解,X-(?)為負(fù)理想解,定義如下：

采用定義6 中的區(qū)間灰數(shù)大小比較規(guī)則確定正負(fù)理想解,該公式考慮了區(qū)間灰數(shù)在區(qū)間內(nèi)取值概率不相等的特點.

Step 3.計算距離測度

采用本文開發(fā)的區(qū)間灰數(shù)距離測度計算各個方案偏離正負(fù)理想解的大小.

由于區(qū)間灰數(shù)決策矩陣的正負(fù)理想方案也是以區(qū)間灰數(shù)的形式表示,因此可以使用本文定義的區(qū)間灰數(shù)距離公式計算方案在屬性下各方案與正負(fù)理想方法之間的偏離程度.

令D(xi,)和D(xi,)分 別表示方案xij與正理想解X+(?)和負(fù)理想解X-(?)之間的距離集,即：

Step 4.構(gòu)建前景價值矩陣

上文利用區(qū)間灰數(shù)距離測度公式,計算各方案偏離正負(fù)理想解的程度,再結(jié)合前景理論的定義及前景價值函數(shù),根據(jù)偏離程度定義了區(qū)間灰數(shù)環(huán)境下,方案ai下屬性cj相對于決策參考點距離的前景價值函數(shù)為：

根據(jù)實驗結(jié)果,取參數(shù)α=β=0.88,λ=2.25.

若以正理想解為參考點,則各個方案相對于正理想解是損失的：

反之,若以負(fù)理想解為參考點,則各個方案是獲益的：

由公式(22)和(23)可得負(fù)前景價值矩陣和正前景價值矩陣,以負(fù)前景和正前景分為作為區(qū)間前景值的下界和上界,構(gòu)建前景價值區(qū)間矩陣

Step 5.規(guī)范化前景決策矩陣

根據(jù)區(qū)間數(shù)無量綱化的差異不變性和規(guī)范化公式,對前景決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理,得到規(guī)范化前景價值區(qū)間矩陣

Step 6.融合前景值

區(qū)間灰數(shù)很大程度上描述了信息的不確定性,為得到各方案的綜合前景值,本文采用證據(jù)推理算法計算綜合前景值.

令mn,ij為基本概率分配,表示xij() 支持ai接近正理想解的程度,mH,ij為未分配概率,根據(jù)公式(6-10)可得：

結(jié)合式(11),利用證據(jù)推理解析合成算法融合正負(fù)前景值,可得方案ai被 評為等級Hn的 綜合置信度 βn.因此綜合前景值表示為方案ai在 評價等級H1上的綜合置信度,即：V(ai)=[β1,(β1+βH)].

Step 7.根據(jù)文獻(xiàn)[18]提出的區(qū)間數(shù)大小可能度比較公式確定綜合前景值的大小,并對方案做出排序.

對于任意兩個綜合前景值分別為V(a)=[aL,aR]和V(b)=[bL,bR],記l(a)=aR-aL,l(b)=bR-bL,則 稱V(a)?V(b)的可能度為：

若p(V(a)?V(b))≥則稱V(a)?V(b),否則反之.

3 算例分析

3.1 問題描述

某部隊計劃采購火炮武器,現(xiàn)有4 種火炮方案可供選擇ai(i=1,2,3,4).選擇時主要考慮火炮的5 項指標(biāo)cj(j=1,2,3,4,5),c1為火力突擊能力指數(shù)：c2為反應(yīng)能力指數(shù)：c3為機(jī)動能力指數(shù)：c4為生存能力指數(shù)：c5為成本(元).除成本指標(biāo)為成本型指標(biāo)外,其余均為效益性指標(biāo).決策者給出的各屬性權(quán)重為w=(0.19,0.21,0.22,0.23).各指標(biāo)屬性值以區(qū)間灰數(shù)形式表示,算例來自于文獻(xiàn)[19],具體數(shù)值如表1所示.

表1 原始區(qū)間灰數(shù)決策矩陣

3.2 決策過程

Step 1.數(shù)據(jù)規(guī)范化

對效益型指數(shù)采用式(12)和式(13)進(jìn)行規(guī)范化處理.對成本型屬性采用式(14)和式(15)進(jìn)行規(guī)范化處理.可得到規(guī)范化后的區(qū)間灰數(shù)決策矩陣,最終結(jié)果如表2所示.

表2 規(guī)范化后的區(qū)間灰數(shù)決策矩陣

Step 2.選取決策參考點

采用式(3)的區(qū)間灰數(shù)大小比較規(guī)則可確定正理想解和負(fù)理想解分別為：

Step 3.計算距離測度

采用式(18)分別計算各個方案屬性值與正理想和負(fù)理想解的距離集,結(jié)果如下所示.

Step 4.構(gòu)建前景價值矩陣

根據(jù)式(22)和式(23)中的基于區(qū)間灰數(shù)距離的前景價值函數(shù),可分別確定各個方案的負(fù)前景值和正前景值,以負(fù)前景值作為區(qū)間前景價值的下界,以正前景值作為區(qū)間前景價值的上界,構(gòu)建前景價值區(qū)間矩陣,并采用式(24)和式(25)得到規(guī)范化前景價值矩陣,結(jié)果如表3所示.

Step 5.綜合前景值

根據(jù)式(6)-式(11)得到綜合前景值：

Step 6.方案排序

根據(jù)區(qū)間數(shù)大小比較式(28)對綜合前景值進(jìn)行排序.最終各方案的排序結(jié)果為：a1?a4?a3?a2.

3.3 分析比較

為說明本文所提方法的有效性,將其與文獻(xiàn)[19]與[20]中所提的決策方法進(jìn)行比較,這兩種區(qū)間灰數(shù)決策方法分別分為以下兩種情況：

表3 規(guī)范化前景價值矩陣

(1) 未考慮決策面對損失和收益時的風(fēng)險態(tài)度,文獻(xiàn)[19]提出基于正負(fù)靶心的灰靶決策模型,定義最優(yōu)和最劣方案分別作為灰靶的正負(fù)靶心,在綜合考慮方案與正負(fù)靶心的距離基礎(chǔ)上,建立單目標(biāo)優(yōu)化方程,再根據(jù)綜合靶心距 εi對方案排序.采用文獻(xiàn)[19]對4 種火炮方案進(jìn)行綜合靶心距求解的結(jié)果為ε1=0.287 005,ε2=0.334 964,ε3=0.325 629,ε4=0.404 164.該方法未考慮決策者的心理因素,可與本文考慮決策者心理因素下的結(jié)果進(jìn)行比較.

(2)考慮決策的心理行為,文獻(xiàn)[20]提出一種基于改進(jìn)的TODIM 方法的區(qū)間灰數(shù)多屬性決策模型,TODIM 方法在前景理論的基礎(chǔ)上提出的一種多屬性決策方法,根據(jù)兩兩方案相比較時的收益和損失求解優(yōu)勢度Φ (ai),并對方案做出選擇,該方法與前景理論方法有類似之處,因此具有可比性.采用文獻(xiàn)[20]的方法得到4 種火炮方案的總優(yōu)勢度為Φ (a1)=0.5665,Φ(a2)=-0.2791,Φ (a3)=-0.1107,Φ (a4)=-0.1767.

對比不同決策方法下的方案排序結(jié)果,如表4所示.

表4 不同決策方法的排序結(jié)果對比

由表4可知,三種不同決策方法下的排序結(jié)果不完全一致,但最優(yōu)方案均為a1,說明了本文方法的有效性.與文獻(xiàn)[19]相比,最大的不同在于方案a4的排序位置.直觀看來,方案a4在c3和c5兩個指標(biāo)上均遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于方案a2和a3,且加上屬性權(quán)重的影響,方案a4理應(yīng)優(yōu)于a2和a3.此外,該方法未考慮決策者的心理因素,也對決策結(jié)果造成了一定影響.與文獻(xiàn)[20]相比,前景理論和TOMID 方法均考慮了決策者心理因素,從排序結(jié)果上看僅中間兩個方案的排序存在差異,文獻(xiàn)[20]直接使用方案間兩兩比較的優(yōu)勢度,本文采用證據(jù)推理方法對不確定信息進(jìn)行融合,能夠減少信息丟失,更好地處理決策信息.

綜上所述,本文方法與文獻(xiàn)[19]中的方法進(jìn)行比較,本文在決策過程中考慮了決策者對收益和損失的風(fēng)險態(tài)度,更加貼近實際決策情況,更具優(yōu)越性.與文獻(xiàn)[20]中的方法進(jìn)行比較,本文基于區(qū)間灰數(shù)距離公式定義前景價值函數(shù),并采用不確定推理方法融合信息,較大程度地保留了原始信息,使決策過程更加合理和科學(xué),為解決區(qū)間灰數(shù)多屬性決策提供了一種有效方法.

4 結(jié)論與展望

本文提出了一種前景理論和證據(jù)推理相結(jié)合的區(qū)間灰數(shù)多屬性決策方法.該方法中的區(qū)間灰數(shù)距離測度公式采用區(qū)間灰數(shù)的核和信息域進(jìn)行定義,保留了區(qū)間灰數(shù)的特性.采用前景理論和證據(jù)推理算法解決區(qū)間灰數(shù)多屬性決策問題,一方面前景理論考慮了決策者面臨收益和損失的差異性,更加符合實際.另一方證據(jù)推理算法在面對不確定信息時能夠進(jìn)行有效處理,融合過程避免了原始信息的丟失.綜上,本文提出的方法為處理區(qū)間灰數(shù)多屬性決策問題提供了新的思路及有效途徑,具有一定應(yīng)用價值.