任蕾 薄華 金欣磊

摘要：信號分解是線性時不變系統(tǒng)分析的理論基礎之一。包含直流信號的一般信號可分解為直流信號與某因果信號之和的形式，且此類信號是時間無限信號。針對連續(xù)直流信號，由于其微分后的積分運算無法恢復原信號，因此在應用卷積微積分性質(zhì)、傅里葉變換時域積分性質(zhì)、拉普拉斯變換時域積分性質(zhì)時，需特別注意直流信號的特殊性，不能直接使用上述性質(zhì)。同理，針對離散直流信號，在應用卷積和的差分求和性質(zhì)、離散傅里葉變換的時域求和性質(zhì)時，同樣需注意直流信號的特殊性。本文總結(jié)了直流信號的各類基本特性，以及在各類應用中的特殊方法，并給出實例說明如何應用上述性質(zhì)。

關鍵詞：直流信號;卷積的微積分性質(zhì);傅里葉變換的時域積分性質(zhì);拉普拉斯變換的時域積分性質(zhì);卷積和的差分求和性質(zhì);離散時間傅里葉變換的時域求和性質(zhì);信號與系統(tǒng)

中圖分類號：TN911? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）21-0259-03

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Abstract： Signal decomposition is one of the theoretical fundamentals in time-invariant system analysis. Signal which contain DC signal can be decomposed into DC signal and causal signal. And， the signal is time infinite signal. When the differential or difference of DC signal is integrated or summed， the result is not the original signal. Therefore this results in particularity for continuous DC signal when differential and integration property of convolution， time-domain integration property of Fourier transform and time-domain integration property of Laplace transform are applied. It is same for discrete DC signal when applying difference and summation property of convolution， as well as time-domain summation property of DTFT. Those mentioned properties cannot be directly used for DC signal. Several basic properties of DC signal are summarized and examples are given to demonstrate how to apply them.

Key words： DC signal， differential and integration property of convolution， time-domain integration property of Fourier transform， time-domain integration property of Laplace transform ， difference and summation property of convolution， time-domain summation property of DTFT， signals and systems

線性時不變系統(tǒng)分析應用了兩個重要的理論基礎，一是信號的分解，二是系統(tǒng)的線性性與時不變性。線性時不變系統(tǒng)分析時，首先將信號分解為沖激（或脈沖）信號或復指數(shù)信號的線性組合，令其分別通過系統(tǒng)后，再將各響應進行線性組合得到系統(tǒng)響應。信號分解是線性時不變系統(tǒng)分析的基礎，根據(jù)不同的分解方法，信號分解包括直流、交流分解，因果分量和反因果分量分解，偶分量、奇分量分解，各類正交函數(shù)分解等[1-6]。本文總結(jié)了包含直流信號的一般連續(xù)信號，在卷積運算、傅里葉變換和拉普拉斯變換中的特殊性，以及包含直流信號的一般離散序列，在卷積和運算、離散時間傅里葉變換中的特殊性。同時，我們分別給出例子說明這些性質(zhì)的應用方法，總結(jié)了直流信號作用于因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)時的響應，以此加強對直流信號這一特殊信號的理解。

1 直流信號在信號與系統(tǒng)分析中的特殊性

1.1 包含直流信號的一般信號

包含直流信號的一般信號[ft]或[fn]，是時間無限信號。此類信號，除了可以按照直流與交流分量、因果與反因果分量分解以外，還可以分解為直流信號疊加一個因果信號的形式，即有：

其中，[f+t]和[f+n]分別表示上述信號的因果分量，此類分解不同于直流分量與交流分量分解，也區(qū)別于因果分量和反因果分量的分解形式，這樣處理的優(yōu)勢在于當此類信號作為激勵作用于因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)時，其響應的求解可以通過時域的卷積或卷積和與變換域的方法進行。但由于包含了直流信號，在應用時域和變換域的某些性質(zhì)時，有特殊性，需單獨處理。

1.2 直流信號在時域卷積和變換域中的特殊性

由于微分和差分運算皆為不可逆的，因此對上述信號[ft]或[fn]進行微分或差分后，再積分或求和運算得到的結(jié)果與原信號不同，即：

這導致其時域和變換域分析中的相關性質(zhì)無法直接應用，下面分別總結(jié)如下。

1）卷積的微積分性質(zhì)[2]

其中[n， m]取整數(shù)，取正整數(shù)時為導數(shù)階次，取負整數(shù)時為積分階次。根據(jù)（5）可以得到下列推論：

推論1：兩個信號卷積的一階微分等于其中之一的信號微分與另一信號的卷積，即：

對式（1）類型的連續(xù)信號，由于其微分后再進行積分與原信號不一致，因此無法直接應用式（5）-（7）的微積分性質(zhì)進行卷積運算，而需單獨計算其中的直流信號與其他信號的卷積。

2）卷積和的差分求和性質(zhì)

上式中[?]表示一階后向差分。當信號[f1n]中包含直流信號時，無法直接應用上述性質(zhì)，需單獨計算其中的直流信號與信號[f2n]的卷積和。

3）傅里葉變換的時域積分性質(zhì)[1]

已知傅里葉變換對：[ft?Fjω]，則傅里葉變換的時域積分性質(zhì)為：

在應用本性質(zhì)時，往往待求信號[f-1t]微分后的傅里葉變換易求或已知，但若信號[f-1t]中含有直流信號，則同樣無法直接應用上述性質(zhì)，原因同上。

4）離散時間傅里葉變換的時域求和性質(zhì)[3]

類似的，對離散序列有已知傅里葉變換對：[fn?Fejω]，則離散時間傅里葉變換的時域求和性質(zhì)為：

在應用本性質(zhì)時，一般的，待求信號的一階后向差分信號[fn]的傅里葉變換已知或易求得，但若信號[k=-∞nfk]中含有直流信號，則無法直接應用上述性質(zhì)。

5）拉普拉斯變換的時域積分性質(zhì)[3]

由于拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，若[ft?Fs，ROC]，則拉普拉斯變換的時域積分性質(zhì)為[3]：

與傅里葉變換類似，當信號[f-1t]中包含直流信號時，無法直接應用上述性質(zhì)。

2 直流信號應用舉例與總結(jié)

為說明直流信號分析的特殊性，分別給出連續(xù)和離散信號的幾個例子說明總結(jié)的各性質(zhì)應用方法。針對連續(xù)信號，以包含直流信號的一般信號[1+ut]為例，針對離散序列，以[1+un]為例。進而，計算該信號與因果信號的卷積或卷積和，以及信號[1+ut]的傅里葉變換與拉普拉斯變換，序列[1+un]的離散傅里葉變換。

通過上述例題說明，應用卷積的微積分性質(zhì)時，若信號中包含直流信號，則該信號不能直接作為微分的信號。此外，該例題可視作全激勵信號[1+ut]作用于沖激響應為[e-2tut]的連續(xù)因果穩(wěn)定線性時不變系統(tǒng)的全響應求解，此響應中包括了零時刻之前的響應，這是由于無窮遠時刻接入的激勵導致的[7]。

通過上述例題說明，應用卷積和的差分求和性質(zhì)時，若序列中包含直流信號，則該信號不能直接作為差分的信號。此外，該例題同樣可視作全激勵離散信號作用于脈沖響應為[12nun]的離散因果穩(wěn)定線性時不變系統(tǒng)的全響應，此響應中包括了零時刻之前的響應，是由于無窮遠時刻接入的激勵導致的。

例5：求信號[1+un]的離散時間傅里葉變換。

解：注意到離散直流信號不僅是直流信號，同時還是周期為1的周期序列。因此借助單位離散直流信號的傅里葉變換[3]為：

值得注意的是，由于直流序列的z變換收斂域不存在，此處對其差分求和性質(zhì)不做討論。同時，根據(jù)上述總結(jié)和例題分析，我們將直流信號作用于因果穩(wěn)定線性時不變系統(tǒng)時的響應的一般情況總結(jié)如下。

假設符合上述條件的N階連續(xù)或離散系統(tǒng)的沖激響應或脈沖響應（僅給出系統(tǒng)特征根無重根情況）分別為：[ht=i=1Npieλitut]，[hn=j=1Nkjanjun]，其中，[λi，i=1，…，N]和[aj，j=1，…，N]分別是上述系統(tǒng)的特征根，且滿足：[Reλi<0，?i=1，…，N]和[aj<1，?j=1，…，N]。因此，當直流激勵[ft=A]或[fn=B]分別作用于此類系統(tǒng)時，其響應分別為：

即當直流激勵作用于因果穩(wěn)定線性時不變系統(tǒng)時，其得到的響應也是直流信號。

3 結(jié)語

直流信號是一類特殊的信號。在應用卷積的微積分性質(zhì)、卷積和的差分求和性質(zhì)、傅里葉變換的時域積分性質(zhì)、離散時間傅里葉變換的時域求和性質(zhì)、拉普拉斯變換的時域積分性質(zhì)中，針對直流信號都需單獨處理，不能直接應用。本文對上述特性進行了總結(jié)，并給出了應用實例。

參考文獻：

[1] 鄭君里，應啟珩，楊為理.信號與系統(tǒng)[M]. 北京：高等教育出版社，2000.

[2] 楊忠根，任蕾，陳紅亮. 信號與系統(tǒng)[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2009.

[3] 奧本海姆. 信號與系統(tǒng)（第二版）[M]. 劉樹棠， 譯. 西安：西安交通大學出版社，1998.

[4] 管致中， 夏恭恪， 孟橋. 信號與線性系統(tǒng)（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

[5] 吳大正， 信號與線性統(tǒng)分析（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[6] B.P Lathi.線性系統(tǒng)與信號（第2版）[M]. 劉樹棠， 等譯. 西安：西安交通大學出版社，2006.

[7] 任蕾， 薄華， 金欣磊， 張韻農(nóng)， 陳紅亮. 非因果輸入的LTI系統(tǒng)全響應求解方法，電氣電子教學學報， 2011， 33（4）： 44-46.

【通聯(lián)編輯：王力】