費(fèi)馬風(fēng)云錄
2019-09-26 08:05涂興佩
科學(xué)中國人 2019年15期
文 涂興佩
“當(dāng)整數(shù)n＞2時，Xn+Yn=Zn沒有正整數(shù)解?！?637年，在閱讀古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的著作《算術(shù)》拉丁文譯本時，法國學(xué)者皮耶·德·費(fèi)馬隨手在空白處寫下了這樣一句話。隨即，他又留下了一個讓人咬牙切齒的批注：“關(guān)于這一命題，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種十分美妙的證明，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！?/p>
358年，就為了這一“留白”的命題，整整358年，跨越了4個世紀(jì)，甚至牽動了整個星球上最有才智的科學(xué)家，卻依然沒有一個人能最終證明命題的正確性。在數(shù)學(xué)界，可以毫不猶豫地說，費(fèi)馬大定理的地位完全不亞于中國文壇的《紅樓夢》。巨額賞金、自殺性的絕望、黎明前的決斗……圍繞費(fèi)馬大定理衍生出來的戲劇性故事超出了人們的想象。
“有本事就來證明吧！”
費(fèi)馬是一個“不討喜”的家伙。
不管是對于與他同時期還是后來的人而言，提起費(fèi)馬都恨得咬牙切齒。他是解析幾何的發(fā)明者之一；在微積分領(lǐng)域，他的貢獻(xiàn)僅次于艾薩克·牛頓；與此同時，他還是概率論的主要創(chuàng)始人，以及獨(dú)撐17世紀(jì)數(shù)論天地的人。但偏偏，他還不是數(shù)學(xué)從業(yè)者。
一生中從未接受過專門數(shù)學(xué)教育的費(fèi)馬，在法國擁有一份全職工作——律師，并且直到逝世前都沒有失去。1642年，在圖盧茲議會擔(dān)任議員的費(fèi)馬遇到了他職業(yè)生涯中的第一位“貴人”——法國最高法院顧問勃里斯亞斯。在他的推薦下，費(fèi)馬進(jìn)入了最高刑事法庭和法國大理院主要法庭，這無疑為他以后的升遷提供了更加便利的機(jī)會。1646年，費(fèi)馬升任議會首席發(fā)言人，后來還曾擔(dān)任過天主教聯(lián)盟主席。不過據(jù)記載，費(fèi)馬并沒有什么突出政績值得稱道，應(yīng)付官場的能力也極普通，更談不上有什么出色的領(lǐng)導(dǎo)才能。也許，他的發(fā)光點(diǎn)注定不在官場。
從小生活在富裕家庭環(huán)境中的費(fèi)馬，幼年時期曾接受過良好的啟蒙教育，這為他日后廣泛的興趣愛好打下了基礎(chǔ)，尤其是數(shù)學(xué)。中學(xué)畢業(yè)后，費(fèi)馬先后在法國奧爾良大學(xué)和圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律，畢業(yè)后也成了全職律師，但這些并不能阻止他對數(shù)學(xué)的熱愛。
利用學(xué)習(xí)和工作的業(yè)余時間，費(fèi)馬開始研究數(shù)學(xué)。1621年，年僅20歲的費(fèi)馬在巴黎買到了一本書——公元3世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖所寫的《算術(shù)》。誰也想不到這普通平凡的一天竟然將費(fèi)馬送到了數(shù)論的天地。
皮耶·德·費(fèi)馬
全部大于2的素?cái)?shù)可分為4n+1和4n+3兩種形式；存在第二對親和數(shù)：17296和18416；沒有一個形如4n+3的素?cái)?shù)，能表示為兩個平方數(shù)之和；邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個平方數(shù)……
研之越深，問題也就越多，到了費(fèi)馬這兒簡直“開了掛”。他不但一邊求證，一邊發(fā)現(xiàn)，還喜歡挑釁當(dāng)代的數(shù)學(xué)家，時常寫信敘述自己的最新定理，卻不提供相應(yīng)證明，以此挑戰(zhàn)和嘲弄別人。和他同時代的天才、被譽(yù)為“近代科學(xué)的始祖”的笛卡爾也對之毫無辦法，無可奈何。就算是后來的“數(shù)學(xué)王子”高斯，表面上對費(fèi)馬大定理不屑一顧，私底下也曾對n=7的情況久思不解。靠業(yè)余時間自學(xué)成才的費(fèi)馬著實(shí)是數(shù)學(xué)界的一朵奇葩，但他孩子般的炫耀盡管讓人著惱卻真正恨不起來，因?yàn)樗^人的聰明才智完全有驕傲的資本?。?/p>
接力賽
在費(fèi)馬的一生中，曾提出過無數(shù)猜想與定理，除了他自己顯露的一些成就以外，絕大部分都于死后才被發(fā)現(xiàn)。其中最出名的就是費(fèi)馬大定理：當(dāng)整數(shù)n＞2時，Xn+Yn=Zn沒有正整數(shù)解。
一個讀者留下的批注，除了他自己，還有誰會關(guān)注呢？在此，我們必須感謝一個人——費(fèi)馬的長子克萊曼特·薩摩爾。如果不是他在費(fèi)馬死后整理其論文、手稿并出版，我們不僅會錯過一位驚才絕艷的數(shù)學(xué)家，更會少了一段跌宕起伏、史詩般的接力賽。
1753年，瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在給哥德巴赫的信中說，他證明了n=3時的費(fèi)馬猜想，1770年其證明發(fā)表在《代數(shù)指南》一書中，方法是“無限下降法”和形如a+根號（-3）數(shù)系的唯一因子分解定理，這一方法也被后人多次引用。1816年，巴黎科學(xué)院把費(fèi)馬猜想轉(zhuǎn)化簡化歸結(jié)為n是奇素?cái)?shù)的情況，認(rèn)為費(fèi)馬猜想應(yīng)該成立，并稱為“費(fèi)馬大定理”（以區(qū)別費(fèi)馬關(guān)于同余的小定理），并為證明者設(shè)立大獎和獎?wù)?，費(fèi)馬大定理之謎從此進(jìn)一步風(fēng)靡全球。
但不久后，戲劇性的一幕便出現(xiàn)了。1847年，著名數(shù)學(xué)家拉梅和柯西先后宣布自己基本證明費(fèi)馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾復(fù)數(shù)系中的唯一因子分解定理，劉維爾則說這一定理源自歐拉和高斯的思想。一時間，大數(shù)學(xué)家都被牽扯其中，似乎十分可靠。但一個月后，德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柕囊环鈦硇欧鬯榱诉@一夢想。他指出了兩人共同犯下的邏輯錯誤。庫默爾的信使得拉梅一下子泄了氣，但柯西卻拒絕承認(rèn)失敗，幾個星期內(nèi)，他連續(xù)發(fā)表文章予以辯解，直到夏季結(jié)束才變得安靜下來。
高斯
庫默爾是高斯的學(xué)生。表面上，高斯對費(fèi)馬大定理不屑一顧，但實(shí)際上也在暗中較勁卻不可得。在指出拉梅和柯西的錯誤之后，庫默爾運(yùn)用獨(dú)創(chuàng)的“理想素?cái)?shù)”理論，一下子證明了100以內(nèi)除37、59、67以外的所有奇數(shù)費(fèi)馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。但其后的半個世紀(jì)卻再次停滯不前。
1908年6月27日，哥廷根皇家科學(xué)協(xié)會頒布了一則公告，使得費(fèi)馬大定理又一次轟動了世界?！案鶕?jù)達(dá)姆斯塔特斯基的保羅·沃爾夫斯凱爾博士授予我們的權(quán)力，在此設(shè)立10萬馬克的獎賞，擬授予第一個證明費(fèi)馬大定理者……如果到2007年9月尚未頒發(fā)此獎，將不再繼續(xù)接受申請?！?/p>
沃爾夫斯凱爾是德國一位實(shí)業(yè)家，同費(fèi)馬一樣，他的業(yè)余愛好也是研究數(shù)學(xué)。盡管沒有費(fèi)馬的天分，但一樁不可思議的事件卻將他和費(fèi)馬大定理永遠(yuǎn)聯(lián)系在了一起。
年輕時，沃爾夫斯凱爾迷戀上了一位漂亮姑娘。但遺憾的是，他被全然拒絕了，這對一位滿懷熱情的年輕人而言當(dāng)然是巨大的打擊，傷心至極之下沃爾夫斯凱爾決定自殺。盡管決心已下，但他并不魯莽。骨子里屬于德國人的嚴(yán)謹(jǐn)精神讓沃爾夫斯凱爾制訂了非常詳細(xì)的自殺計(jì)劃，并最終確定了自殺日期，決定在午夜鐘聲響起那一刻開槍射擊自己的頭部。
按照自殺計(jì)劃，沃爾夫斯凱爾有條不紊地處理其所有商業(yè)事務(wù)、立下遺囑，并在自殺的前一天為所有的親朋好友寫下了訣別信。然而，完成所有工作后離午夜還有好幾個小時。為了消磨這人生中最后的光陰，沃爾夫斯凱爾來到了圖書館翻閱數(shù)學(xué)書籍，隨即被其中一篇文章吸引住了，該文正是庫默爾在解釋為何柯西和拉梅證明費(fèi)馬大定理的方法行不通。看著看著，沃爾夫斯凱爾發(fā)現(xiàn)了文中的一個邏輯漏洞：庫默爾提出了一個假定，卻未在其論證中說明合理性。如果那一假定是合理的當(dāng)然沒問題，如果不合理就是巨大的邏輯缺陷！不知不覺間，沃爾夫斯凱爾拿起了筆演算起來……
時間一分一秒地過去，然后，天亮了。當(dāng)沃爾夫斯凱爾修正論文中的漏洞并放下手中的筆時，原定的自殺時間早已過去。而他當(dāng)然也不再有絲毫的絕望和悲傷，整個證明過程讓他充分感受到了成功的喜悅和數(shù)學(xué)魅力，正是數(shù)學(xué)喚起了他繼續(xù)生活下去的欲望！
“我想我就在這里結(jié)束?！?/h2>
1993年6月，當(dāng)英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯拿起粉筆寫下費(fèi)馬大定理證明的最后一步時，伴隨著巨大喜悅而來的是同樣濃重的失落感。
當(dāng)然，有著同樣感受的遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止他一個人。那跨越了4個世紀(jì)的偉大傳奇難道就要在此時此刻結(jié)束了嗎？仿佛是一部長長的紀(jì)錄片，與費(fèi)馬大定理相關(guān)的畫面一幀幀閃現(xiàn)在人們眼前……
第一個出現(xiàn)的是畢達(dá)哥拉斯，他是第一個證明勾股定理的人。接著是阿基米德，年近耄耋之年的老人正全神貫注地蹲在地上研究幾何問題，卻被闖入房中的羅馬士兵用長矛戳死。在書中看到這一幕的年輕女孩兒索菲·熱爾曼深受震撼，“如果一個人會如此癡迷于一個導(dǎo)致他死亡的幾何問題，那么數(shù)學(xué)必定是世界上最迷人的學(xué)科了”。
女孩兒馬上對這最迷人的學(xué)科著了迷，常常研究到深夜，并且在充滿大男子主義的時代用“勒布朗先生”的筆名和歐拉、高斯通信，共同探討最高深的數(shù)學(xué)問題。在拿破侖入侵普魯士時，這位自學(xué)成才的女?dāng)?shù)學(xué)家還拜托法國將軍保證了高斯的安全。她對費(fèi)馬大定理做出的貢獻(xiàn)成了很多人研究的基礎(chǔ)。就像兩千年間涌現(xiàn)出的大多數(shù)女?dāng)?shù)學(xué)家一樣，索菲·熱爾曼終生未婚。但她卻成了傳奇故事中最亮眼的一抹紅裝……
還有年輕的日本科學(xué)家谷山豐，這個心不在焉的天才人物于1958年11月17日選擇了自殺。幾個星期后，他的未婚妻也結(jié)束了自己的生命，遺書中寫道：“既然他去了，我也必須和他在一起。”為了這次自殺行為引起的種種麻煩，谷山在遺書中向他的同事們表示了歉意，但他遺留下的對數(shù)學(xué)的許多根本性想法，卻成了解開費(fèi)馬大定理的唯一一把鑰匙：谷山—志村猜想。30多年后，他的伙伴志村目睹了他們的猜想被證實(shí)，用克制和自尊的平靜對記者說：“我對你們說過這是對的?！?/p>
還有那場昏暗的黎明決斗。年僅20歲的天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦陷入了一樁風(fēng)流韻事中。與他相好的女人事實(shí)上已經(jīng)訂婚，那名紳士發(fā)現(xiàn)了未婚妻的不忠，憤怒地向伽羅瓦提出決斗。伽羅瓦非常清楚自己的實(shí)力：遑論開槍，就連數(shù)學(xué)演算他都是只在頭腦里進(jìn)行，而不屑于在紙上把論證寫清楚，也因此他的許多數(shù)學(xué)成果都得不到法國科學(xué)院的重視與承認(rèn)。決斗的前一晚他才知道，已經(jīng)來不及了！他匆匆將自己頭腦中存在的所有定理寫在紙上，最后一刻還在喃喃：“我沒有時間了，我沒有時間了！”
第二天，1832年5月30日，伽羅瓦死于決斗。直到此時，那些演算中迸發(fā)出的天才思想才讓人們意識到，他們錯過了一位怎樣的天才數(shù)學(xué)家。也是這一夜的工作，成了一個半世紀(jì)后安德魯·懷爾斯證明谷山—志村猜想的基礎(chǔ)……
傳奇的終結(jié)者懷爾斯
傳奇遠(yuǎn)沒有如此輕易結(jié)束。
1993年，正當(dāng)懷爾斯變成世界上最著名的數(shù)學(xué)家時，那個證明的核對工作也在進(jìn)行著。起初，審稿人向他提出了一個看似很小的問題，懷爾斯也沒太在意。但是，破綻開始百出，災(zāi)難降臨了。他花去半年時間修補(bǔ)錯誤，但沒有發(fā)生任何轉(zhuǎn)機(jī)。難道歷史又將再一次重演嗎？
就在懷爾斯準(zhǔn)備承認(rèn)失敗、宣布放棄的時候，一天清晨，他坐在桌前皺眉凝思，突然間靈光乍現(xiàn)，他找到那把“迷失的鑰匙”了！足足有20分鐘，懷爾斯難以置信，巨大的震驚、喜悅、失落之后，他的心中開始恢復(fù)平靜。
這一次，持續(xù)了358年的傳奇戲劇是真的結(jié)束了。但更大的傳奇卻將永遠(yuǎn)湮沒在歷史中——關(guān)于這一命題，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種十分美妙的證明，可惜這里空白的地方太小，寫不下。
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